数学模型课程设计要求
一. 三人为一组完成一个题目。
二. 答题时可以使用任何外部资源（如图书馆、计算机、软件包、书籍等），但不可以与本组外的人商量。
三. 答题时间：2011年11月25日—2011年12月6日.
四. 答卷以科研论文的形式提交，论文内容大体包括：300字左右的摘要，问题重述与分析（或引言），假设，建模，求解，分析，检验（模拟仿真），参考文献等。
五．论文书写格式如下
1.论文封面的规定：
论文的封面使用统一的封面样式（见下页），A4大小。
2.论文书写格式纸张的规定
论文（指摘要和正文），小四宋体，1.25倍行距，用A4纸打印。
3. 论文的摘要：
1）.论文的第一部分必须是论文摘要（300字左右的摘要），用单独一页书写，放在封面后正文前。
2）.摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。4. 论文主要部分的内容： 1）.要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程。 2）.对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。5. 论文附加部分的内容： 1）.有关计算过程的详细资料（例如程序和图表等）。 2）.作者认为需要交代的其他资料（例如参考文献等）。6. 论文打印要求： 论文打印稿要求有课程设计封面，和论文正文两部分。 注：论文要同时交书面和电子版的！ 资料查询方式 1）.图书馆数字书查阅 2）.外部资源利用（Google搜索，其它学校网站） 数学建模课程设计
题目
第 组 组员1 组员2 组员3
姓名
学号
专业
成绩
报童每天清晨从报社购进大量各种不同类型报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．由于顾客对各种类型报纸的喜好不同，常常碰到以下问题：
如果报纸购进太少，有些报纸会脱销，那么报童将会少赚钱；如果购进太多，有些报纸买不完，那么报童退回报纸将要赔钱．
为了解决这个问题，报童需要考虑不同类型报纸搭配的最佳订货策略。问题
（1）请你为报童筹划一下，制定一种最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润．
（2）假设报童每天投入的资金设为定值S，那么在资金一定的条件下，制定最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润．
（3）自己设计或调查一组数据对模型进行检验。
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题目2：举重问题
运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：
级别 最大体重（千克） 抓举（千克） 挺举（千克） 总重量（千克）
1 54 132.5 155.0 287.5
2 59 137.5 170.0 307.5世界记录
3 64 147.5 187.5 335.0
4 70 162.5 195.0 357.5世界记录
5 76 167.5 200.0 367.5
6 83 180.0 212.5 392.5世界记录
7 91 187.5 213.0 402.5
8 99 185.0 235.0 420.0世界记录
9 108 195.0 235.0 430.0
10 超过108 197.5 260.0 457.5
1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。
2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。
3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，
并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。
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题目3：道路改造项目中碎石运输的设计
在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。
建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：
A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。
河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。
桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。
此地区没有其它可以借用的道路。
上海名老中医诊疗所 为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。
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题目4:超额录取留学生的策略
众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。
通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：
（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；
（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。
当前的情况为：
学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。
学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。
签证被拒的比例在上升。
所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。
问题：
（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。
（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？
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题目5：高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。
假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。
考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表
相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁
校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6
录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3
年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7
就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5
生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8
生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8
气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6
学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8
师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65
可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8
博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5
经过建模计算，给出志愿排序的合理决策。
数学模型课程设计题目6：服务机构劳务安排的优化设计 在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段支付的劳务工资往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就某公司超市卖场营销人员工作安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。 超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1，每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的 吃饭和休息时间。为保证营业
时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。
序号 时间区间 最少需求人数
1 8：00－10：00 30
2 10：00－12：00 35
3 12：00－14：00 20
4 14：00－16：00 40
5 16：00－18：00 30
6 18：00－20：00 25
7 20：00－21：00 20
表2
班次 工作时间 休息时间 月工资
1 8：00－17：00 12：00－13：00 1200
2 8：00－17：00 13：00－14：00 1200
3 12：00－21：00 16：00－17：00 1500
4 12：00－21：00 17：00－18：00 1500
进一步讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次其劳务支出的变化。
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题目7：人类的演化
观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5--1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。
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题目8：火车弯道缓和曲线问题
火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。
现有一处铁路弯道，原转弯半径R=400m，适应列车时速 120km∕h导引头。由于火车提速，要求将此弯道改为适应列车时速200 km∕h，并要求将原长200 m的缓和曲线一并进行改造。试讨论下面问题：
（1王瓜根）求缓和曲线方程。mf8
（2）若要求外轨超高不改变，缓和曲线应如何改造？
（3）若外轨超高可以改变，缓和曲线又应如何改造？
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题目9：人力资源安排问题
“pe公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。
表1 公司的人员结构及工资情况
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员人数 日工资（元）
9 10 17 5 250 200 170 110
目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a地和b地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c地和d地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。
表2 不同项目和各种人员的收费标准
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员
收费（元/天）
a 1000 1500 1300 1000
b 800 800 900 800
c 600 700 700 700
d 500 600 400 500
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：
表3：各项目对专业技术人员结构的要求
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员
a 总计1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10
b 总计2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16
c 总计 2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11
d 总计1～2 2～8 ≥1 -- ≤18
说明：
表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；
项目d，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
各项目客户对总人数都有限制；
由于c、d两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。
由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？
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题目10：飞越北极
今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲
间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：
A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；
A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);
A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；
A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；
A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。
请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：
（1） 设地球是半径为6371千米的球体；
（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
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题目11：“南水北调”水的分配
南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。下表是2000年各城市基本状况的统计数据，可以看出，各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。
城市 城市 工业 综合服务业产值 (m3)万元工业 (m3)万元综合服务业 总数(万人) 年自然 (亿元) 年 (%)人均产值 年增长率
序号 人口 产值 黑山论坛人均生活用水量 增加值用水量 用水量(m3) 增长率(‰)增加值 增长率 (万元) (%)
王玉溪1 1285 2.04 737 11.1 1.16 13.2 160 143 354
2 682 3.03 739 11.7 0.83 12.2 140 72 209
3 56 9.15 193 10.0 0.30 10.0 180 102 245
4 87 5.90 268 12.5 0.23 12.1 360 96 325
5 46 5.87 480 9.8 0.22 8.6 315 110 185
6 78 6.12 256 7.6 0.20 7.6 318 120 178
7 218 5.41 464 10.2 0.44 11.8 235 86 267
8 52 4.50 189 10.9 0.15 12.0 315 131 165
9 81 3.69 721 10.0 0.22 11.4 320 126 230
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