第19卷 第3期
2011年 6月
中国管理科学
Chinese Journal of M anagement Science
V ol.19,No.3June, 2011
文章编号:1003-207(2011)03-0070-09
黄 松，杨 超，张 曦
(华中科技大学管理学院，湖北武汉 430074)
摘 要：动态定价策略的广泛使用使得越来越多的顾客呈现战略性的特点，即顾客在决定购买时机时不仅会考虑当前的价格是否超过其心理预留价格，同时也会考虑到等到降价时再购买产品的可能性，从而延迟购买决策。研究了一类考虑顾客战略行为且带有预算约束的多产品报童问题，引入理性预期均
衡分析，得到了报童和战略顾客双方静态博弈时的理性预计均衡解，并进一步分析了数量承诺对于均衡数量和均衡价格的影响。分析了最优解的性质并给出了求解算法，最后通过数值算例对模型的结论进行了验证。关键词：多产品报童问题；战略顾客行为；理性预期均衡；预算约束；定价中图分类号:F274 文献标识码:A
收稿日期:2010-03-12；修订日期:2011-01-22
基金项目：国家自然科学基金资助项目(70871044,70601011);
教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NC ET -06-0653)；华中科技大学研究生科技创新基金项目(HF -07-22-2010-300)
作者简介：黄松(1982-)，男(汉族)，湖北武汉人，华中科技大
学管理学院博士研究生，研究方向：供应链管理、网络优化.
1 引言
带有预算约束的多产品报童问题(M ult-i Pro d -uct N ew svendor Problem ,M PNP)是随机库存管理领域的经典问题，最先由H adley 和Whitin (1963)[1]提出。带有预算约束的M PNP 问题可以描述为在已
知预算固定的情况下如何从备选的产品目录中确定最优产品组合以及每种产品的订货数量。由于求解带有多重约束条件的大规模MPNP
问题具有较大的难度，因此目前关于M PNP 问题的研究主要集中寻单一约束条件下M PNP 问题的精确解以及多重约束条件下M PNP 问题的近似解。
Erlebacher(2000)
[2]
研究了具有单一容量约束
的MPNP 问题，并给出了两种特殊情形下的精确解以及其它一些情形下的近似解;Abde-l M alek 等
(2004)[3]提出了求解M PNP 问题的基于拉格朗日的算法，该算法可以得到需求服从均匀分布条件下的精确解以及需求服从其它连续分布条件下的近似解；但是Lau 和Lau(1996)[4]以及Abde-l Malek 和Mo ntanari(2005)[5]指出一些关于M PNP 问题的研究文献[2,3,6-8]中往往忽视了订货数量的非负约束,
可能会导致得到负的订货数量。为了解决非负约束问题,Abdel-M alek 和Mo ntanari(2005)[5]通过分析解空间，提出了求解带有非负约束的M PNP 问题的修正的基于拉格朗日的算法;Zhang 等(2009)[9]
给出了求解带有预算约束的MPNP 问题最优解的二分法，该方法可以得到任意连续需求函数下的精确解;Zhang 和Du(2009)[10]进一步研究了有限容量以及允许外包条件下的M PNP 问题；胡劲松和闫伟(2008)
[11]
则研究了模糊需求条件下带有资金约
束的MPNP 问题。
在短生命周期产品销售环境下，越来越多的零售商开始使用动态定价策略，即在产品的销售期内动态地调整产品的价格从而最大化利润。但是，市场营销与运作管理的研究者和实践者开始发现，零售商的这种动态价格调整策略已经将顾客训练成战略性的，即顾客可能会等待产品降价时再购买从而延迟他们的购买决策，战略顾客在决定最优购买时机时将会考虑产品在销售期内完整的价格路径。因此，越来越多的研究者开始在运作管理文献中研究顾客的战略行为。 M uth(1961)[12]最先从经济学的角度提出了顾客的战略行为和理性预期均衡假设，该假设指出经济结果应该与人们对它们的期望一致;Su 和Zhang (2008)
[13]
首次将Muth(1961)
[12]
提出的理性预期
均衡假设和战略顾客行为引入到报童模型中，分析
了数量承诺和价格承诺对于供应链性能的影响;Su (2007)[14]研究了市场中唯一的垄断者在有限销售时域内销售有限数量产品，考虑战略顾客对产品不
同的价值估计值和耐心度时的最优动态定价策略，研究表明顾客战略行为的存在可能会使零售商获利;Levin等(2009)[15]研究了零售商和顾客的战略行为，其中零售商动态地调整产品价格，而战略顾客则不断地根据销售价格确定最优购买时机，建立了一个随机动态博弈过程，证明了存在唯一的子博弈精炼纳什均衡;Su和Zhang(2009)[16]在面对战略顾客的标准报童模型中考虑了战略顾客的缺货成本，研究了承诺和易获得性保证的价值;Aviv和Pazgal (2008)[17]研究了一类具有季节销售特性的产品在面对具有战略行为的顾客时的最优定价问题，研究发现零售商通过降价策略和减少初始库存数量不能避免战略顾客行为对于零售商利润的负面影响;Ca-chon和Sw inney(2009)[18]进一步将顾客体划分为近视顾客，折价搜索顾客和战略顾客，研究发现当存在战略顾客时，零售商将会降低库存数量，减少
价格折扣，获得的利润也小于不存在战略顾客行为时的情形;Liu和Ryzin(2008)[19],Zhang和Copper (2008)[20],Galleg o(2008)[21]在收益管理的研究中考虑了战略顾客行为的影响。国内的学者李娟等(2007)[22]分析了战略顾客行为对供应链系统订购量及系统总收益的影响；刘晓峰和黄沛(2009)[23]研究了面对战略顾客的条件下的最优动态定价与库存决策问题;Shen和Su(2007)[24]对收益管理和拍卖机制设计中顾客行为建模的最新研究进展进行了综述，并指出了顾客行为建模未来的研究方向。
本文研究了当面对由具有战略行为的同质的可无限细分的顾客组成的顾客体时，市场中唯一的零售商如何在预算确定的条件下，以最大化期望利润为目标确定最优产品组合以及每种产品的订货数量；而战略顾客则以自身期望效用最大化为目标如何确定最优购买时机，分析了双方静态博弈时的理性预期均衡解，以及零售商承诺销售数量时的情形。不同于文献[1-11]中假定顾客是近视的，本文假定顾客是战略性的，并且研究了MPNP问题中的定价问题；不同于文献[13-18]中只考虑单一产品无约束的报童模型，本文研究了带有预算约束的M PN P问题，并且分析了问题的理性预期均衡解。
2问题描述与基本模型
2.1问题描述
考虑由一个零售商和可以无限细分的顾客体组成的两级供应链系统。零售商可以销售n种不同的产品，产品集合I={1,,,n}，每种产品都具有季节性和时尚性的特点，需求都是随机的。零售商有预算限制
b，并且需要在销售季节开始前确定销售哪些产品以及每种产品的订货数量q i,i I I。第i种产品的单位采购成本是c i，单位产品的销售价格是p i，单位产品的缺货成本是g i，在销售期末未销售出的产品的清仓处理价格为v i，顾客对产品i的价值估计为u i，同时假定0<v i<c i<p i[u i,g i>0。第i种产品的市场需求为d i，其概率密度函数和累积分布函数分别为f i(x)和F i(x)，并且需求分布具有严格的广义的增加失效率(Increasing Genera-l ized Failure Rate,IGFR)性质，即如果h(x)= f i(x)/(1-F i(x)),h((x)>0，则表明需求分布具有IGFR性质，很多函数都具有IGFR性质，如正态分布，指数分布,Gam ma分布,Weibull分布等[25]。同时假定f i(x)>0,F i(0)=0，定义a+=max{a, 0},F i-1(x)是F i(x)的反函数,
F i(x)=1-F i(x)。
市场中的顾客具有战略性，这里的战略性是指顾客会考虑到等到清仓处理时再购买产品的可能性。因为如果在销售期末还有产品未售出，为了减少损失，零售商将会清仓处理剩余库存，理性的战略顾客也会考虑到这一点，因此，战略顾客在确定最优购买时机时将会考虑是应该在正常的销售阶段购买，还是应该等到清仓处理时再购买。很多运作管理文献[13-24]中都已经考虑到了顾客的战略行为，本文假定市场中所有的战略顾客都是同质的，即对第i种产品的价值估计u i都相同，并且所有的顾客都是风险中性的。
2.2基本模型
首先假定不存在战略顾客行为，即所有的顾客都是近视的，只要产品i的销售价格不超过顾客对产品的价值估计，近视顾客就会选择在正常销售阶段购买。由于顾客对产品i的价值估计为u i，所以，零售商为了获得最大利润，对产品i确定的最优销售价格必定为u i。
带有预算约束的MPNP问题可以表示为如下问题(P1):
(P1)max P0=E i I I E[u i m in(d i,q i)+ v i(q i-d i)+-g i(d i-q i)+-c i q i](1) s.t.J=E i I I c i q i[b(2) q i\0,i I I.(3)目标函数(1)式中的第一项表示产品的销售收入，第二项表示销售期末未销售出的产品的剩余价
#
71
#
第3期黄松等：考虑战略顾客行为带预算约束的多产品报童问题
值，第三项表示产品的缺货成本，第四项表示产品的采购成本；约束条件(2)表示产品的总采购成本不能超过预算限制；约束条件(3)是订货数量的非负约
束。容易验证零售商的利润函数P 0
是关于订货数量q i ,i I I 的严格凹函数，又因为约束条件(2)和(3)是变量q i ,i I I 的凸函数，因此，问题(P1)存在唯一的最优解。
计算利润函数P 0
关于q i ,i I I 的一阶导数得到
5P 0/5q i =(u i -v i +g i ) F i (q i )-(c i -v i )
(4)首先不考虑约束条件(2)和(3)，令5P 0
/5q i =0,i I I ，得到无预算约束时M PNP 问题的最优解为
q i 0= F i -1(
c i -v i u i -v i +g i
),i I I
(5)
为了求解问题(P1)，类似于文献[26]，定义如
下关于产品i 的边际收益成本函数
T 0
i
(q i )=(5P 0
/5q i )/(5J /5q i )=[(u i -v i
+g i ) F i (q i )-(c i -v i )]/c i
(6)
分析(6)式可知，当0[q i [q 0
i 时,T 0
i (q i )\0，而当q i >q 0i 时,T 0i (q i )<0。假定问题(P1)的最优解为q i *,i I I ，文献[9]证明了问题(P1)的最优解q i *,i I I 具有如下性质。
引理1 [9]
(1)如果
E
i I I
c i q 0i [b，则q *i =q 0
i ,
i I I ，如果
E
i I I
c i q 0i >b，则q *i <q 0
i ,i I I ，并且
E
i I I
c i q *i =b;(2)定义S ={i |q *
i >0,i I I }，则
对任意j ,k I S，有T 0j (q *j )=T 0j (q *
k )成立。
引理1表明当约束条件(2)为松约束时，问题(P1)的最优解与无预算约束时的M PNP 问题的最优解相同。当约束条件(2)为紧约束时，所有的预算都应该使用完，并且对于所有订货数量大于0的产品，它们的边际收益成本函数值相同。
3 考虑战略顾客行为时的MPNP 问题
3.1 理性预期均衡分析
当顾客存在战略行为时，对于产品i 而言，战略顾客可以选择在销售价格为p i 时立即购买，也可以
等到清仓处理时以处理价格v i 购买，战略顾客以处理价格v i 购买到产品时的消费者剩余为u i I v i ，
大于以销售价格p i 购买到产品时的消费者剩余u i I p i 。但是，由于零售商提供的产品i 的数量有限，所以战略顾客并不总是能够以较低的处理价格v i 购买到产品i ，因为其他的战略顾客也在相互竞争购
买同样的产品，因此，战略顾客必须对以较低的处理价格v i 购买到产品i 的可能性做出估计。假定战略顾客对在清仓处理时购买到产品i 的可能性的估
计值为D i Pr ob ，同时战略顾客也有1-D i
Pr ob 的可能性没有购买到产品i ，此时战略顾客获得的消费者剩余为0。由于所有的战略顾客都有同质的，所以，战略
顾客对产品i 拥有相同的估计值D i
Prob 。
战略顾客的期望效用函数可以表示为m ax {u i -p i ,(u i -v i )D i
Pr ob +0#(1-D i
Prob )}
(7)
从(7)式可以看出，当u i -p i \(u i -v i )D i
Prob 时，所有的战略顾客都会选择以销售价格p i 立即购
买，反之，所有的战略顾客都会选择以处理价格v i 购买。当给定战略顾客以处理价格v i 购买到产品的
可能性估计值D i Prob 时，战略顾客的心理预留价格为
祓禊谣
r i =u i -(u i -v i )D i
Prob ,
(8)
由于零售商不知道战略顾客的心理预留价格，因此，零售商也必须对战略顾客的心理预留价格做出估计，假定零售商对战略顾客的心理预留价格的
估计值为D i
r 。零售商希望战略顾客以销售价格p i 立即购买，这样可以增加自身的期望利润，因此D i r 必
须满足D i r [r i (D i
Pr ob )，否则战略顾客将会选择以处理价格v i 购买。战略顾客的决策是确定最优购买时机：以销售价格p i 立即购买或者等到清仓处理时以处理价格v i 购买；零售商的决策是确定销售价格p i 以及订货数量q i 。零售商和战略顾客之间的博弈过程可以描述为：零售商对战略顾客的心理预留价格D i
r 做出估计，确定销售价格p i 和订货数量q i ，同时战
略顾客对在清仓处理时获得产品的可能性D
i
Prob 做出估计，选择立即购买或者延迟购买，需求实现，零售
商以v i 处理未售出的产品。
为了求解零售商的最优决策，首先给出理性预期均衡(Rational Expectation Equilibrium)的定义:
定义[13]理性预期均衡解(p i ,q i ,r i ,D i Prob ,D i
r )必须满足如下条件:(1)r i =u i -(u i -v i )D i
Prob ,(2)p i
=D i r ,(3)q i =arg max q i P ,(4)D i Prob =F i (q i ),(5)D i
盛泽疫情r =r i 。
一个理性预期均衡必须满足如下的三个条件[13]
:(1)给定未来获得产品的可能性，战略顾客确定最优购买时机;(2)给定战略顾客的心理预留价格，零售商确定销售价格和订货数量;(3)战略顾客和零售商的预期和实际发生的结果一致。由于零售商不知道战略顾客的心理预留价格，战略顾客由于不能观测到零售商确定的订货数量，所以，上述问题
#72#中国管理科学 2011年
本质上是双方同时行动的静态博弈。满足上述定义的理性预期均衡是上述问题的一个纳什均衡，在理性预期均衡下，所有的战略顾客都会选择立即购买。
根据上述定义，零售商的定价决策p i=u i -(u i-v i)F i(q i)，零售商的决策问题(P2)可以表示为
(P2)max P r=E i I I E[p i min(d i,q i)+ v i(q i-d i)+-g i(d i-q i)+-c i q i],(9) s.t.(2)和(3).
首先不考虑约束条件(2)，容易证明P r是关于订货数量q i,i I I的严格凹函数，存在唯一的最大值点。对于上述问题(P2)的理性预期均衡解，有如下的定理成立。
定理1当不考虑零售商的预算约束(2)时，问题(P2)的理性预期均衡解为
q i r=
F i-1g i 2+4(u i-v i)(c i-v i)-g i 2(u i-v i)
p r i=v i+1
2g 2
i+4(u i-v i)(c i-v i)-g i
证明令5P r/5q i=0，得到
F i(q i)=(c i-v i)/(p i-v i+g i)，又因为p i=(u i-v i)
F i(q i)+v i，化简整理可得:(u i-v i)
F2i(q i)+g i
F i(q i)-(c i-v i)=0，解此二次方程容易证明定理1成立。
现在考虑约束条件(2)，定义如下关于产品i的边际收益成本函数
T r i(q i)=(5P r/5q i)/(5J/5q i)={[(u i
-v i)
F i(q i)+g i]
F i(q i)-(c i-v i)}/c i(10)
根据假设v i<u i,g i>0，容易验证5T r i(q i)/5q i ={-2(u i-v i)
F i(q i)f i(q i)-g i f i(q i)}/c i<0，即边际收益成本函数T r i(q i)是关于订货数量q i,i I I 的严格减函数。当q i<q r i时,T r i(q i)\0，表明对于产品i而言，只要订货数量q i不超过q r i，那么当保持其它产品的订货数量不变时，增大q i(只要不超过预算限制)将会增加零售商的总收益；而当q i>q r i时, T r i(q i)<0。
假定问题(P2)的最优解为q r*i,i I I，根据以上分析以及引理1，问题(P2)的最优解具有如下的性质。
定理2(1)如果E i I I c i q r i[b，则q r*i=q r i,i I I;(2)如果E i I I c i q r i>b，定义S={i|q r*i>0, i I I}，则当i I S时,q r*i<q r i,E i I S c i q r*i=b，并且对于任意j,k I S，有T r j(q r*j)=T r k(q r*k)成立。
证明由于问题(P2)的目标函数是关于q i,i I I 的严格凹函数，且可行域是凸集，因此问题(P2)是一个凹规划问题，库恩-塔克条件是最优解存在的充要条件。令K\0和C i\0,i I I分别表示与约束条件(2)和(3)相对应的拉格朗日乘子，则问题(P2)的库恩-塔克条件为
[(u i-v i)
F i(q i)+g i]
F i(q i)-(c i-v i)-K c i +C i=0,i I I(11)
C i q i=0,i I I(12)
K(b-E i I I c i q i)=0(13)
K\0,C i\0,i I I(14)
(1)如果E i I I c i q r i[b，表明(2)式为松约束，由(13)式可得K=0。由(12)式可知，如果C i=0, i I I，将其
代入(11)式，可得q i=q r i,i I I；如果C i X0,i I I，则q i=0,i I I，由(11)式可得C i=-(u i +g i-c i)<0,i I I，不满足(14)式中的非负约束。综上可知，问题(P2)的最优解为q r*i=q r i,i I I。
(2)如果E i I I c i q r i>b，表明(2)式为紧约束,
由互补松弛条件可知K>0且E i I S c i q r*i=b。对于任意i I S，由(12)式可知C i=0,i I S，结合K>0和C i=0,i I S可以发现，当i I S时，由(11)式可得
K S T r i(q i)={[(u i-v i) F i(q i)+g i] F i(q i) -(c i-v i)}/c i,i I S
即对任意j,k I S，有T r j(q r*j)=T r k(q r*k)。令U i(q i)=[(u i-v i) F i(q i)+g i] F i(q i)-(c i-v i)，容易验证U i(q i)是关于q i的减函数，并且U i(q r i)= 0，由(11)式可得U i(q r*i)-K c i=0，即U i(q r*i)=K c i >U i(q r i)=0，所以,q r*i<q r i,i I S。
由定理2的证明过程也可以看出,(10)式中定义的边际收益成本函数T r i(q i)与约束条件(2)的对偶松弛变量本质上是一致的。问题(P2)的最优订货数量q r*i,i I I有如下性质。
推论1若预算限制b1<b2[E i I I c i q r i，定义
S b
j
={i|E i I I c i q r*i=b j,q r*i>0,i I I},j=1, 2分别表示预算限制为b1与b2时最优产品组合中
的产品集合，则:(1)S b
1
A S b
2
,P r|b=b
1
<P r|b=b
2
;
(2)如果产品j I S b
1
，那么j I S b
2
，并且q j r*(j I S
b
1
)[
q j r*(j I S
b2
)。
推论2将产品i I I按照边际收益成本函数值T r i(0)重新编号使得T r1(0)[T r2(0)[,[ T r n(0)，同时定义S b={i|E i I I c i q r*i=b,q r*i>0, i I I}，则对任意j<k，如果j I S b，那么k I S b。
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第3期黄松等：考虑战略顾客行为带预算约束的多产品报童问题
推论3 对产品i I I 按照边际收益成本函数值T r i (0)重新编号使得T r 1(0)[T r 2(0)[,[
T r n (0)，同时定义S b ={i |E
i I I
c i q r *i =b,q r *i >0,
i I I }，向量C =(c 1,c 2,,,c n )T
,B =(b 1,b 2,,,
b n )
T
=
QC,
其中矩阵Q =
(q r
ij
)n @n ,q
r ij
=
T -1
j (T i (0)),i,j I I ，则b 1\b 2\,\b n ；若总的预算限制b 满足b k-1>b \b k (2[k [n)，则当t I [k,n]时,t I S b ，而当t I [1,k )时,t |S b 。
推论1表明总的预算限制越大时，最优产品组合中包含的产品种类越多，总的期望收益也越大；如果某一产品属于预算限制较小的最优产品组合，那么它必定存在于预算限制较大的最优产品组合中，并且最优订货数量单调不减；推论2表明按照在订货数量为零处的边际收益成本函数值的大小重新排列之后的产品序列，排序越靠后的产品越可能在最优产品组合中出现，而排序越靠前的产品在最优产品组合中越相对难以出现；推论3则给出了一种确定最优产品组合中产品种类的方法。3.2 数量承诺
3.1节的理性预计均衡解是零售商和战略顾客双方同时行动时静态博弈的合理结果，然而实际上零售商可以充分利用先发者优势，通过预先承诺销售价格或者销售数量来改变均衡的结果[13]。如果零售商承诺在销售期内保持价格不变，即使在销售期末仍然有部分数量的产品没有销售出也不进行清仓处理，此时，战略顾客将只需要确定是否应该在正常销售期内购买，因为在销售期末以处理价格购买到产品的可能性将不存在了。此时零售商的问题将转化为2.2节中的带有预算约束的M PNP 问题，只需要令v i =0,i I I 。
如果零售商承诺在整个销售期内产品的销售总量为q i ，根据3.1节中的理性预期均衡分析，战略顾客将不需要对在清仓处理阶段获得产品i 的可能性做出估计，因为战略顾客在清仓处理阶段获得产品i 的可能性为F i (q i )，在正常销售阶段购买的战略顾客的心理预留价格r i
久期缺口
=u i
-(u i
梁丽芳(v i
)F i
(q i
)，所以，零售商在正常销售阶
段的销售价格p i =r i =u i -(u i -v i )F i (q i )。
数量承诺时带有预算约束的M PN P 问题可以表示为
(P3)m ax P c
=E
i I I
E {[u i -(u i -v i )
F i (q i )]min (d i ,q i )+v i (q i -d i )+
小常识大学问
-g i (d i -q i )+
-c i q i }
(15)
<(2)和(3).
首先不考虑约束条件(2)-(3)，计算P c
关于q i
的一阶导数，得到5P c
/5q i = F i (q i )U i (q i )，其中
U i (q i )=-(u i -v i )f i (q i )
F i (q i )
[q i -Q
q i 0F i (x )dx ]
+(u i -v i )
F i (q i )-c i -v i
F i (q i )
+g i (16)
因为需求分布具有IGFR 性质，可以得到U i c (q i )=-(u i -v i )[
f i (q i )
F i (q i )
]c [q i
-
Q
q i
F i (x )dx ]-2(u i -v i )f i (q i )-c i -v i
F i 2
(q i )
f i (q i )<0
(17)
由(17)式可知,U i (q i )是关于q i 的严格减函数,
又因为5P c 5q i |q i =0=u i -c i +g i >0,5P
c 5q i |q i y +]=-(c i
-v i )<0，所以,P c
是关于q i 的拟凹函数，当不考虑
约束条件(2)和(3)式时，目标函数(15)式存在唯一的最大值点q c i [13]
。又因为对于任意的q i >0,
ded
F i (q i )>0，结合5P c
/5q i = F i (q i )U i (q i )可知，当0
[q i [q c i 时,5P c /5q i \0；当q i >q c i 时,5P c /5q i <
0，表明进一步增加第i 产品的订货数量将会减少总的利润，所以任何时候零售商对第i 产品的订货数量q i 都不会超过q c
i ，所以，可以将约束条件(3)式简化为
0[q i [q c
i ,i I I (18)当订货数量满足约束条件(2)式和(18)式时，可
以得到P c
关于q i 的二阶导数为
52P c
5q 2i =1
F i (q i )
-f i (q i )5P c
5q i
+ F 2
i (q i )U c i (q i )<0(19)
所以，当订货数量满足约束条件(2)和(18)式
时,P c
是关于q i 的严格凹函数。由于问题(P3)的约束集合是凸集并且目标函数是严格凹函数，所以问题(P3)
存在唯一全局最优解，库恩-塔克条件是最优解存在的充要条件。令K \0和C i \0,G i \0,i I I 分别表示与约束条件(2)式和(18)式对应的拉格朗日乘子，则问题(P3)的库恩-塔克条件为
F i (q i )U i (q i )-K c i +C i -
G i =0,i I I (20)C i q i =0,i I I (21)
G i (q i -q c i )=0,i I I (22)K (b -E
i I I
c i q i )=0
(23)K \0,C i \0,G i \0,i I I
(24)
定义如下关于产品i 的边际收益成本函数
T i c (q i )=(5P c
/5q i )/(5J /5q i )=1c i
{-(u i
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