数学建模【四⼤模型（优化、分类、评价、预测）总结】⽬录 1 优化模型
1.1 数学规划模型
在仙台
线性规划、整数线性规划、⾮线性规划、多⽬标规划、动态规划。
1.2 微分⽅程组模型
阻滞增长模型、SARS传播模型。
最短路径问题、⽹络最⼤流问题、最⼩费⽤最⼤流问题、最⼩⽣成树问题(MST)、旅⾏商问题(TSP)、图的着⾊问题。
1.4 概率模型
决策模型、随机存储模型、随机⼈⼝模型、报童问题、Markov链模型。
1.5 组合优化经典问题
1.5.1 多维背包问题（MKP）
背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。如何将尽可能多的物品装⼊背包。
累计股票期权多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。如何选取物品装⼊背包，是背包中物品的总价值最⼤。
多维背包问题在实际中的应⽤有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于难问题。
1.5.2 ⼆维指派问题（QAP）
⼯作指派问题：个⼯作可以由个⼯⼈分别完成。⼯⼈完成⼯作的时间为。如何安排使总⼯作时间最⼩。
⼆维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地⽅，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费⽤最⼩。
⼆维指派问题在实际中的应⽤有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加⼯中⼼的组成问题等。
1.5.3 旅⾏商问题（TSP）
旅⾏商问题：有个城市，城市与之间的距离为，⼀条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过⼀次，最后回到出发点），使得总路程最⼩。
1.5.4 车辆路径问题（VRP）
车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使⽤车辆数量及运载能⼒条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若⼲客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最⼩的车辆总⾏程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。艾琳娜
1.5.5 车间作业调度问题（JSP）
车间调度问题：存在个⼯作和台机器，每个⼯作由⼀系列操作组成，操作的执⾏次序遵循严格的串⾏顺序，在特定的时间每个操作需要⼀台特定的机器完成，每台机器在同⼀时刻不能同时完成不同的⼯作，同⼀时刻同⼀⼯作的各个操作不能并发执⾏。如何求得从第⼀个操作开始到最后⼀个操作结束的最⼩时间间隔。
2 分类模型
判别分析是在已知研究对象分成若⼲类型并已经取得各种类型的⼀批已知样本的观测数据，在此基础上根据某些准则建⽴判别式，然后对未知类型的样品进⾏判别分析。
聚类分析则是给定的⼀批样品，要划分的类型实现并不知道，正需要通过局内分析来给以确定类型的。 2.1 判别分析
2.1.1 距离判别法
基本思想：⾸先根据已知分类的数据，分别计算各类的重⼼即分组(类)的均值，判别准则是对任给的⼀次观测，若它与第类的重⼼距离最近，就认为它来⾃第类。
⾄于距离的测定，可以根据实际需要采⽤欧⽒距离、马⽒距离、明科夫距离等。
2.1.2 Fisher判别法
基本思想：从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助⽅差分析的思想构造⼀个判别函数或称判别式。其中系数确定的原则是使两组间的区别最⼤，⽽使每个组内部的离差最⼩。
对于⼀个新的样品，将它的p个指标值代⼈判别式中求出 y 值，然后与判别临界值(或称分界点(后⾯给出)进⾏⽐较，就可以判别它应属于哪⼀个总体。在两个总体先验概率相等的假设下，判别临界值⼀般取：
最后，⽤统计量来检验判别效果，若则认为判别有效，否则判别⽆效。
以上描述的是两总体判别，⾄于多总体判别⽅法则需要加以扩展。
Fisher判别法随着总体数的增加，建⽴的判别式也增加，因⽽计算⽐较复杂。
2.1.3 Bayes判别法
基本思想：假定对所研究的对象有⼀定的认识，即假设个总体中，第个总体的先验概率为，概率密度函数为。利⽤bayes公式计算观测样品来⾃第个总体的后验概率，当时，将样本判为总体。
2.1.4 逐步判别法
基本思想与逐步回归法类似，采⽤“有进有出”的算法，逐步引⼊变量，每次引⼊⼀个变量进⼊判别式，则同时考虑在较早引⼊判别式的某些作⽤不显著的变量剔除出去。
世界遗产大会开幕2.2 聚类分析
聚类分析是⼀种⽆监督的分类⽅法，即不预先指定类别。
根据分类对象不同，聚类分析可以分为样本聚类（Q型）和变量聚类（R型）。样本聚类是针对观测样本进⾏分类，⽽变量聚类则是试图出彼此独⽴且有代表性的⾃变量，⽽⼜不丢失⼤部分信息。变量聚类是⼀种降维的⽅法。
2.2.1 系统聚类法（分层聚类法）
基本思想：开始将每个样本⾃成⼀类；然后求两两之间的距离，将距离最近的两类合成⼀类；如此重复，直到所有样本都合为⼀类为⽌。
适⽤范围：既适⽤于样本聚类，也适⽤于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算⽅法都有多种，可以依据具体情形选择。
2.2.2 快速聚类法（K-均值聚类法）
基本思想：按照指定分类数⽬，选择个初始聚类中⼼；计算每个观测量（样本）到各个聚类中⼼的距离，按照就近原则将其分别分到放⼊各类中；重新计算聚类中⼼，继续以上步骤；满⾜停⽌条件时（如最⼤迭代次数等）则停⽌。
使⽤范围：要求⽤户给定分类数⽬，只适⽤于样本聚类（Q型），不适⽤于变量聚类（R型）。
2.2.3 两步聚类法（智能聚类⽅法）
基本思想：先进⾏预聚类，然后再进⾏正式聚类。
适⽤范围：属于智能聚类⽅法，⽤于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量，⾃动选择聚类数，可以处理超⼤样本量的数据。
2.2.4 模糊聚类分析
2.2.5 与遗传算法、神经⽹络或灰⾊理论联合的聚类⽅法
话语标记2.3 神经⽹络分类⽅法
3 评价模型
3.1 层次分析法（AHP）
基本思想：是定性与定量相结合的多准则决策、评价⽅法。将决策的有关元素分解成⽬标层、准则层和⽅案层，并通过⼈们的判断对决策⽅案的优劣进⾏排序，在此基础上进⾏定性和定量分析。它把⼈的思维过程层次化、数量化，并⽤数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。
基本步骤：构建层次结构模型；构建成对⽐较矩阵；层次单排序及⼀致性检验（即判断主观构建的成对⽐较矩阵在整体上是否有较好的⼀致性）；层次总排序及⼀致性检验（检验层次之间的⼀致性）。
优点：它完全依靠主观评价做出⽅案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引⼊定量分析，并充分利⽤决策者在两两⽐较中给出的偏好信息进⾏分析与决策⽀持，既有效地吸收了定性分析的结果，⼜发挥了定量分析的优势，从⽽使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使⽤。
缺点：⽤AHP进⾏决策主观成分很⼤。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，⽽产⽣某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。
适⽤范围：尤其适合于⼈的定性判断起重要作⽤的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所⾯临的问题有⽐较深⼊和全⾯的认识。另外，当遇到因素众多，规模较⼤的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得⼗分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。
改进⽅法：
(1) 成对⽐较矩阵可以采⽤德尔菲法获得。
(2) 如果评价指标个数过多（⼀般超过9个），利⽤层次分析法所得到的权重就有⼀定的偏差，继⽽组合评价模型的结果就不再可靠。
可以根据评价对象的实际情况和特点，利⽤⼀定的⽅法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。
3.2 灰⾊综合评价法（灰⾊关联度分析）
基本思想：灰⾊关联分析的实质就是，可利⽤各⽅案与最优⽅案之间关联度⼤⼩对评价对象进⾏⽐较、排序。关联度越⼤，说明⽐较序列与参考序列变化的态势越⼀致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。
基本步骤：建⽴原始指标矩阵；确定最优指标序列；进⾏指标标准化或⽆量纲化处理；求差序列、最⼤差和最⼩差；计算关联系数；
计算关联度。
优点：是⼀种评价具有⼤量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除⼈为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单，通俗易懂，易于为⼈们所掌握；数据不必进⾏归⼀化处
理，可⽤原始数据进⾏直接计算，可靠性强；评价指标体系可以根据具体情况增减；⽆需⼤量样本，只要有代表性的少量样本即可。
缺点：要求样本数据且具有时间序列特性；只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对⽔平，故基于灰⾊关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。
适⽤范围：对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题；应⽤该种⽅法进⾏评价时，指标体系及权重分配是⼀个关键的问题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。
改进⽅法：
(1) 采⽤组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合⽽得权系数。
(2) 结合TOPSIS法：不仅关注序列与正理想序列的关联度，⽽且关注序列与负理想序列的关联度，依据公式计算最后的关联度。
3.3 模糊综合评价法
基本思想：是以模糊数学为基础，应⽤模糊关系合成的原理，将⼀些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物⾪属等级（或称为评语集）状况进⾏综合性评价的⼀种⽅法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予⼀个⾮负实数评判指标，再据此排序择优。
基本步骤：确定因素集、评语集；构造模糊关系矩阵；确定指标权重；进⾏模糊合成和做出评价。
优点：：数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的⼤⼩进⾏评价和排序，⽽且还可根据模糊评价集上的值按最⼤⾪属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。评判逐对进⾏，对被评对象有唯⼀的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东⽅⼈的思维习惯和描述⽅法，因此它更适⽤于对社会经济系统问题进⾏评价。
缺点：并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，⾪属函数的确定还没有系统的⽅法，⽽且合成的算法也有待进⼀步探讨。其评价过程⼤量运⽤了⼈的主观判断，由于各因素权重的确定带有⼀定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是⼀种基于主观信息的综合评价⽅法。
应⽤范围：⼴泛地应⽤于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算⼦等。
改进⽅法：
(1) 采⽤组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合⽽得权系数。
3.4 BP神经⽹络综合评价法
基本思想：是⼀种交互式的评价⽅法，它可以根据⽤户期望的输出不断修改指标的权值，直到⽤户满意为⽌。因此，⼀般来说，⼈⼯神经⽹络评价⽅法得到的结果会更符合实际情况。
优点：神经⽹络具有⾃适应能⼒，能对多指标综合评价问题给出⼀个客观评价，这对于弱化权重确定中的⼈为因素是⼗分有益的。在以前的评价⽅法中，传统的权重设计带有很⼤的模糊性，同时权重确定中⼈为因素影响也很⼤。随着时间、空间的推移，各指标对其对应问题的影响程度也可能发⽣变化，确定的初始权重不⼀定符合实际情况。再者，考虑到整个分析评价是⼀个复杂的⾮线性⼤系统，必须建⽴权重的学习机制，这些⽅⾯正是⼈⼯神经⽹络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取⽅法的局限性，采⽤神经⽹络原理可对变量进⾏贡献分析，进⽽剔除影响不显著和不重要的因素，以建⽴简化模型，可以避免主观因素对变量选取的⼲扰。
上海外轮代理缺点：ANN在应⽤中遇到的最⼤问题是不能提供解析表达式，权值不能解释为⼀种回归系数，也不能⽤来分析因果关系，⽬前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要⼤量的训练样本，精度不⾼，应⽤范围是有限的。最⼤的应⽤障碍是评价算法的复杂性，⼈们只能借助计算机进⾏处理，⽽这⽅⾯的商品化软件还不够成熟。
适⽤范围：神经⽹络评价模型具有⾃适应能⼒、可容错性，能够处理⾮线性、⾮局域性的⼤型复杂系统。在对学习样本训练中，⽆需考虑输⼊因⼦之间的权系数，ANN通过输⼊值与期望值之间的误差⽐较，沿原连接权⾃动地进⾏调节和适应，因此该⽅法体现了因⼦之间的相互作⽤。
改进⽅法：
(1) 采⽤组合评价法：对⽤其它评价⽅法得出的结果，选取⼀部分作为训练样本，⼀部分作为待测样本进⾏检验，如此对神经⽹络进⾏
训练，知道满⾜要求为⽌，可得到更好的效果。
3.5 数据包络法（DEA）
3.6 组合评价法
4 预测模型
定性研究与定量研究的结合，是科学的预测的发展趋势。在实际预测⼯作中，应该将定性预测和定量预测结合起来使⽤，即在对系统做出正确分析的基础上，根据定量预测得出的量化指标，对系统未来⾛势做出判断。
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