一、三角形的重心
1、重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 证明一
三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AF
AF=CF
推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同
理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
电机技术=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最终得出结论。
4、在lng船平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6。在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7.设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8.相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。
证明方法：
∵D为BC中点，
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，
∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理，
∵E为AC中点，
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF。
∴BF=AF，
∴CF为AB边上的中线，
即三角形的三条中线相交于一点。
重心顺口溜
姜斌是谁重心分割中线段，线段之比听分晓；
长短之比二比一。
定义
三角形高层建筑混凝土结构技术规程外接圆的圆心叫做三角形的外心．
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
三条中垂线共点证明
.
∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线
∴AF=BF=CF
∴BC中垂线必过点F
三角形外心的性质
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P小肥羊军博店
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6北大校花李莹：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
三角形外心的做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
外心的求法
设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C
正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）
r=abc/（4S△ABC）
三、三角形内心
定义
在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，
而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,(该点到三边距离相等)。
三条角分线共点证明
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