三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。 视觉影像
一、三角形的重心
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
三角形的三条中线必交于一点
求证：AE=CE
证明：延长OE到点G，使OG=OB
∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
湿度三角形的重心的性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面
直角坐标系
中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系
——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、三角形的外心
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的三条垂直平分线必交于一点
三角形的三条垂直平分线必交于一点
已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证：O点在BC的垂直平分线上
证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上
三角形的外心的性质
1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 5.S△ABC=abc/4R
三、三角形的内心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的三条角平分线必交于一点
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胎儿标本 己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
求证：OC平分∠ACB
证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F
∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF
∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
三角形的内心的性质
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S/(a+b+c)
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5．se18mm∠BOC = 90 °+∠A/2 ，∠BOA = 90 °+∠C/2 ，∠AOC = 90 °+∠B/2
6．S△ABC=abc/4R
四、三角形的垂心皮肤科学
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的三条高必交于一点
已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F
三角形的三条高必交于一点
求证：CF⊥AB
证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，
∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等）
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