欧理线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
通讯体裁
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’ 正丙醇
词牌名春
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
中国生物制品学杂志 ∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可. 欧拉线的证法2
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心
2009上非诚勿扰
。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。
欧拉线的证法3
利用向量证明,简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点。
∵
郭金服 =向量OA+2向量OD……………………………………(1)
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC;
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3(向量AB+向量AC)……………………………………(2)
=1/3[向量OA+(向量OA+向量AB)+(向量OA+向量AC)]
=1/3(向量OA+向量OB+向量OC).
∴向量OG=1/3向量OH,
∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。