汽车转向轮摆振的定量研究

张紫广　刘献栋

北京航空航天大学交通科学与工程学院

【摘要】　将增量谐波平衡法推广应用于汽车转向轮摆振问题，采用振幅作为控制参数应用谐波平衡过程，求得方程解

的表达式，并由此分析系统的分岔现象和极限环振动现象，用龙格⁃库塔法进行数值计算验证，结果表明：推广后的增量谐波平衡法在汽车转向轮摆振分析中合理可靠，且具有足够的精度㊂最后对极限环的稳定性进行了分析㊂【关键词】　摆振　Hopf 分岔　增量谐波平衡法　极限环

Quantitative Study on Automotive Steering Wheels Shimmy

Zhang Ziguang ,Liu Xiandong

School of transportation science &engineering ,Beihang University

Abstract :The incremental harmonic balance method is extended to analyze automotive steering whee

ls shimmy.The expression of solutions can be obtained using a certain amplitude as control parameter in the harmonic balance procedure,then the bifurcation and lim⁃

it cycle phenomena are easily analyzed.The results that obtained by the proposed procedure is verified numerically using Runge⁃Kutta method.The results indicate that the extended incremental harmonic method is effective and accurate in the analysis of steering wheels shimmy.Finally,the stability of limit cycle is analyzed.

Key words :shimmy　hopf bifurcation　incremental harmonic balance method　limit cycle

引言

转向轮摆振是指汽车行驶时所产生的车轮绕主销的持续振动现象，是汽车工程领域典型的非线性动力学现象㊂1931年以来，人们对汽车转向轮摆振问题进行了较深入的研究㊂但是，以往的研究多采用数值分析方法计算系统的响应，依此分析汽车转向轮摆振系统中存在的分岔㊁混沌现象；或采用中心流形理论和Hopf 分岔范式理论对转向轮摆振的分岔特性进行研究㊂然而，数值分析方法得不到解的表达式，不易于分析参数变化对系统振动特性的影响，而中心流形方法和Hopf 分岔范式理论又复杂不易操作㊂

本文将增量谐波平衡法(简称IHB 法)推广应用于汽车转向轮自激型摆振问题㊂对于强非线性振动的分析方法,

Lau 和Cheun⁃g 提出了增量谐波平衡法，该方法把数值计算中的增量法和谐波平衡法结合在一起，在强非线性研究方面得到了很好的应用㊂IHB 法通常用频率作为增量，这种频率增量法需要有确定的外激励频率，然而自激型摆振方程是自治方程，频率增量法不再适用㊂针对这一情况，本文用某一

振幅作为控制参数，反过来求振动频率和其他振幅㊂这样可

以导出摆振方程解的表达式，然后根据谐波平衡项的系数分析系统的分岔和极限环现象，并用数值方法进行了验证，分析了极限环的稳定性㊂用IHB 法分析汽车转向轮摆振问题，既拓宽了IHB 法的应用范围，又为汽车转向轮摆振分析提供了一条新途径㊂

1　汽车转向轮摆振系统力学模型

某国产非独立悬架汽车转向轮摆振模型图1所示㊂模型

中包含了前桥绕其纵轴线的侧摆运动ψ(逆时针方向为正)和左右车轮绕主销的摆动θ2,θ1(逆时针方向为正)3自由度㊂

模型的动力学平衡方程如式(1)所示㊂

图1　汽车转向轮摆振系统模型

I 1θ″1+(c 1+c 4)θ′1+k 1θ1-c 1θ′2-k 1θ2-I 2

v R

ψ′+L 2k 5l (γ-f )+k 4R 2[]

γψ+F 1(Rγ+β)=0I 1θ″2+(c 1+c 2+c 4)θ′2+(k 1+k 2)θ2-c 1θ′1-k 1θ1-I 2v

ψ′+L 2k 5l (γ-f )+k 4R 2[]

γψ+F 2(Rγ+β)=0I 3ψ″+c 3ψ′+k 3+L 2

2k 5+2k 4R []

2ψ+I 2v R θ′1+I 2v R θ′2+F 1R +F 2

R ìî

íïïïïïï=0(1)

式中，右(左)前轮的动态侧偏力为:F i =a 1αi +a 3α3i (i =1,2),a 1=-64014.7N,a 3=9489805.5N㊂侧偏角与摆振角之间的关系如下:α′1+v σα1+v σθ1-a σθ′1=0α′2+v σα2+v σθ2-a σθ′2ìî

ïïï=0(2)

表1　某国产非独立悬架汽车参数

参数说明参　数　值　左(右)前轮绕主销的转动惯量I15.88kg㊃m2　车轮绕其旋转轴线的转动惯量I24.753kg㊃m2　前桥绕其纵轴线的侧摆惯量I3156.8kg㊃m2　换算到主销的横拉杆刚度k134.79kN㊃m/rad 换算到主销的直拉杆刚度k216.66kN㊃m/rad 悬架当量角刚度k331.36kN㊃m/rad 轮胎的侧向刚度k478.4kN㊃m/rad 轮胎的垂直刚度k5392kN㊃m/rad 换算到主销的横拉杆阻尼c19.8N㊃m㊃s/rad 换算到主销的直拉杆阻尼c249N㊃m㊃s/rad 悬架当量角阻尼c31029N㊃m㊃s/rad

参数说明参　数　值　车轮绕主销的当量阻尼c444.1N㊃m㊃s/rad 轮胎的滚动半径R0.4m

　轮距L1.608m

　滚动阻尼系数f0.015

　主销延长线与地面交点到

车轮对称面距离l

0.07m

　轮胎印迹半长度a0.07m

　轮胎松弛长度σ0.65m

　主销后倾角γ0.04rad

　轮胎拖距β0.65m

　车辆行驶速度v0~50m/s

以上方程中各参数值见表1㊂

2　IHB法

考虑到汽车转向轮摆振问题是典型的强非线性问题，采用增量谐波平衡法进行定量研究㊂

将摆振模型式(1)和(2)写成矩阵形式:

MX″+CX′+(K1+K(1)2)X=0(3)式中,X=[θ1θ2ψα1α2]T,

C=c1+c4-c1-I2v R00

-c1c1+c2+c4-I2v R00

I2v

R c300

-aσ0010

0-aσ

南通科技进修学院ú

001

,K1=

k1-k1L2k5l(γ-f)+k4R2γa1(Rγ+β)0

-k1k1+k2L2k5l(γ-f)+k4R2γ0a1(Rγ+β)

00k3+L22k5+2k4R2a1R a1R

σ00

σ0

0vσ00v

êê

rcct

úú

, M=

I10000

0I1000

00I300

00000

êê

úú

00000

K(1)2=000a3(Rγ+β)α210 0000a3(Rγ+β)α22 000a3Rα21a3Rα22 00000

ú00000

IHB法的第一步是Newton⁃Raphson的增量过程㊂令X0和Ω0表示振动过程中的某一状态，则其邻近的状态可表示

为增量形式:

X=X0+ΔX,Ω=Ω0+ΔΩ(4)式中,X0=[θ10θ20ψ0α10α20]T,

ΔX=[Δθ1Δθ2ΔψΔα1Δα2]T㊂

令τ=Ωt(Ω为响应的频率)，将式(4)代入式(3)，展开并略去其高阶小量可得:

Ω20MΔX″+Ω0CΔX′+(K1+3K(1)2)ΔX=

H-[2Ω0MX″0+CX′0]ΔΩ(5)式中,H=-(Ω20MX″0+Ω0CX′0+K1X0+K(1)2X0)是误差向量，当X0和Ω0为准确解时，其值为零㊂

IHB法的第二步是谐波平衡过程㊂把X0和ΔX展开成傅立叶级数，写成矩阵形式:

X0=SA

ΔX=SΔ

{

(6)

式中,A=[A1,A2,A3,A4,A5]T,

ΔA=[ΔA1,ΔA2,ΔA3,ΔA4,ΔA5]T;

透析器复用机

C s0000

0C s000

00C s00

000C s0

0000C

C s=[cosτ cos Nτsinτ sin Nτ],

A j=[a j1 a jN b j1 b jN]T,

ΔA j=[Δa j1 Δa jNΔb j1 Δb jN]T,j=1,2, ,5㊂

将式(6)代入增量方程(5)，并应用Galerkin 过程，得

到以增量ΔA 和ΔΩ为未知量的线性方程组:

K mc ΔA =H -R mc ΔΩ

(7)

式中,K mc =Ω20M +Ω0C +K 1,H =Ω2

0M +Ω0C +K ()2A ,R mc =2Ω0M +()C A ;

　M =

∫

2π0

S T MS″dτ,C =

∫

超级回路2π0

S T CS′d τ,

　K 1=

∫

2π0

S T (K 1+3K (1)

2)S d τ,K 2=

∫

2π0

S T (K 1+K (1)

2)S d τ㊂

方程组(7)的未知量数目比方程数目多一个，求解

时必须选定一个未知量为控制参数㊂由于研究汽车转向轮自激型摆振，摆振频率Ω必须求出，这时可取某一谐波的振幅作为控制参数，从而求得频率Ω和其他振幅㊂也就是说，用计算机求解方程组(7)，除了给定初值A 0和Ω0，还要给定某一振幅a k ，再通过不断迭代使误差残量H 小到满足精度要求，求得方程组(7)的其他未知数㊂

3　极限环计算及分岔特性分析

应用上述IHB 法对图1的汽车转向轮摆振系统进行了大量的计算，同时采用变步长四阶龙格⁃库塔法(RK 法)进行了验证㊂图2是右前轮摆角θ1 v 分岔图，图3是v =55km/h 时

右前轮摆振的极限环㊂由图2可以一目了然地得到转向轮摆振时右前轮摆角θ1的振幅随车速v 的变化规律，同时可以清楚地看出IHB 法和RK 法两者得出的结果几乎相同㊂因

此，推广后的IHB 法能有效地求解汽车转向轮摆振这类自激振动系统㊂由于IHB 法是半数值半解析方法，能得到解的表达式，各参数的物理意义和大小都非常明晰，这是RK 法无法比拟的

㊂

图2　右前轮摆角兹1 v 分岔图

图3　v =55km /h 时右前轮摆振的极限环

4　极限环稳定性分析

周期解确定以后，其稳定性可采用多变量的Floquet 理

论来研究㊂把式(3)在周期解附近Taylor 展开，得到扰动后的线性化方程:

Z′=Q (τ)Z

(8)

式中,Z =(Δθ1,Δθ2,Δψ,Δθ′1,Δθ′2,Δψ′,Δα1,Δα2)T

,Z ∈R 8

;

Q (τ)=I O éëê

ùû

úúB

D ㊂

Q 表示3×5零矩阵,I 为3×3单位矩阵㊂

环境管理与评价B =-k 1Ω2I

k 1Ω2I 1-L

2k 5

l (γ-f )+k 4R 2γΩ2I 1k 1Ω2I 1-k 1+k 2Ω2I 1

2k 5l (γ-f )+k 4R 2γΩ2

I 1

c 1ΩI 1-I 2v

ΩI 3R 0-v Ωσ0

00-

v Ωσé

êêêêêêêêêêêêêùû

úúú

úúúúúúúúúú0

D =-c 1+c 4

ΩI 1c 1ΩI 1

I 2v ΩI 1R -(a 1+3a 3α21)(Rγ+β)Ω2I 1

c 1ΩI 1-c 1+c 2+c 4

ΩI 1I 2v ΩI 1R 0-(a 1+3a 3α2

2)(Rγ+β)Ω2I 1

-I 2

v ΩI 3R -k 3

+L 22k 5+2k 4R 2Ω2I 3

-c 3ΩI 3-(a 1+3a 3α21)R Ω2I 1

-(a 1+3a 3α22)R Ω2I 1

a σ0

0-v Ωσ0

a σ0

-v Ωéë

êêêêê

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êêùû

úú

úúúú

úúúúú

úúσ

参考文献[11]中的方法，将每一个周期T 等分成N 份，第k 份Δk =τk -τk -1，在第k 份时间间隔中，周期系数矩阵Q

(τ)以常系数矩阵Q k 代替:Q k =

Δk

∫

τk -1

Q (ξ)d ξ㊂

因此，转移矩阵P 可表示为:

P =

‟N

i =1

I +∑K

j =1

(Δi

Q i

j []

!图4　转移矩阵P 特征值变化情况

式中,K 为指数矩阵展开的矩阵多项式的项数,I 为8×8单位矩阵㊂

我的特岗故事如果转移矩阵P 的特征值的模均小于1，即P 的所有特

征值都在单位圆以内，则系统的运动是有界的，因而周期解是稳定的；否则，周期解不稳定㊂由图4可以看出，转移矩阵P 特征值的模均小于1㊂因此，得出结论：由IHB 法得到的系统周期解是稳定的，根据Poincare⁃Bendixon 定理，平衡点一旦失稳就会出现稳定的极限环㊂因此，只需使极限环幅值尽可能小，即可控制摆振㊂

5　结论

(1)推广的增量谐波平衡法可有效地求解汽车转向轮

摆振问题，分析极限环㊁分岔等非线性现象，与数值方法所得结果一致，有较高的精度㊂由于增量谐波平衡法是一种半数值半解析方法，结果有直观的表达式，这既明晰了参数的物理意义，也易于分析参数变化对系统振动特性的影响，这是数值方法无法比拟的㊂

(2)对极限环的稳定性进行了分析，发现极限环是稳定性的，只需使极限环幅值尽可能小，即可控制

摆振㊂

参考文献

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