■东华理工大学陈国林
数学文化是人类文化的重要组成部分，由于数学文化中
蕴含着深刻的数学文化底蕴，因此有关数学文化试题的命制 深受学者和高考命题专家的喜爱.现在，数学文化试题已经是
高考试题中不可或缺的一类试题了，随着数学文化试题的不
断融人，该类试题的命制更是多彩纷呈.
一、取材经典著作
【例1】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自 《庄子天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其 一半，永远都取不完设第一天这根木棰被截取一半剩下a，尺，第二天被截取剩下的一半剩下02尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下05尺，则^^=()
〇5
A.18
B. 20
C. 22
D. 24
【解析】设这根木棰的长度为1尺，
第一天这根木棰被截取一半为+，剩下尺〇,=l-j=j尺，第二天被截取剩下的一半为+X士，剩下02= +-+)^ =
第三天被截取剩下的一半+X士，剩下〇3= +_+><；士 = 丄尺
第四天被截取剩下的一半剩下+=
丄尺
16’、，
第五天被截取剩下的一半去X士，剩下〇5=vV-士X冬=
10 I lo lo L
32
【评注】古今中外的数学著作中蕴含着许许多多的数学问 题，此类问题的设计也一直深受高考试题的青睐，对于该类 问题的解决关键还是在于能够较好的理解题目所给问题的概 念和提取问题的关键信息. 二、取材著名问题中国表面工程
【例2】斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1, 1，2, 3, 5, 8, 13, 21，…，在数学上，斐波拉契数列 定义如下：a,=〇2=l,a…=(V i+<V2(n彡3, n e N)，随着 n的
增大，A越来越逼近黄金分割^^«〇.618，故此数列也a«i2
称黄金分割数列，而以〇••为长和宽的长方形称为“最美 长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（）
A. 20厘米
B. 19厘米
C. 18厘米
D. 17厘米
【解析】由已知有M).618, »：〇…-0.618〇…+…
由〇….〇…|=200，得 0.6丨8&,«200，即 <^, =323.62，由于 172= 289, 所以 0^=18 (厘米）_
【评注】对于取材世界著名问题的数学文化试题，一般多 通过哥德巴赫猜想、斐波那契数列、伯努利不等式、柯西不 等式、回文数、黄金分割、米勒问题、四定理、角谷猜 想、尼斯圆、格点问题和杨辉三角等材料进行加工命制 而成.
荣事达洗衣机电路图为使两式结构相同，将（1)进一步变形为(lru2-2)+ln(lrw2- 2)=3.
设/(i：)=l r u：+*，则/’(*)=丄+i>〇.
X
所以/〇〇在(0，+»)单调递增，/(*)=3的解只有一个.
Xt=lnx2-2, xix^(lnx2-2)x2=e s.
[1W1两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用同一方程求解.
从以上例题的分析，我们可以看出，数学解题不可墨守 成规，善于构造才能推陈出新.数学解题，因构造而精彩，因构造而充满活力.我们应从题目的实际出发，捕捉有关信息，积极联想与类比，那么要构造的数学模型或许就在眼前.
责任编辑徐国坚
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
三、取材音律文化
【例3】著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割
的音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照
严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载
堉创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十
二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个
半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其
中a,，叱，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2(~)12
n二甲基亚硝胺
滴水穿石的启示教学设计<k
=1 (i=l,2,…，12).若某一半音与D*的频率之比为
则该半音为（）
频率a\〇2a3C I4〇5〇6〇n〇9al0aw a12a\3
半音C D D#E F G A A#B
c (八度）
A.F
B.G
C.G*
D.A
【解析】由题意知：2,…，12)，I
〇i di
=2'故数列丨是公比9=27的等比数列.w D*，〇*= 1
〇494=〇*><(212)4=〇*x</^"=C, ...多=</T.
【评注】近年来，音律与数学问题相互结合考查的试题越 来越多，其中2020年就考查了钢琴键上的“原位大三和弦”和“原位小三和弦”，除此之外，在高考真题中，还以“十二 平均律”为背景进行设计出现，一般这类问题多与数列知识 相关. 四、取材天文地理
【例4】天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天 干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支 相配，排列起来，天干在前，地支在后，矢干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙 丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回 到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推.1911年中国 爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一 年是辛亥年，史称“辛亥革命1949新中国成立，请推算新 中国成立的年份为（）
A.己丑年
B.己酉年
C.丙寅年
D.甲寅年
【解析】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38 年，且191丨年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别 为首项，则38=3x10+8，则1私9年的天干为己，38=12x3+2, 则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.
【点评】数学文化的融入，不仅能够增加学生的学习兴 趣，还能够促进学生的“四基”和“四能”的发展，因此一些天文历法的数学问题也应运而生，这类问题有一个共同特 点，题干过于复杂，故理清题意中的各个量之间的关系是至 关重要的.
五、取材古代建筑与雕塑
【例5】（1)在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形 称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆 图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木 塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的 正面图如图所示.以该木塔底层的边作方形，会发现塔的 高度正好跟此对角线长度相等.以塔
底座的边作方形，作方圆图，会发
现方圆的切点Z)正好位于塔身和塔
顶的分界.经测量发现，木塔底层的
边45不少于47.5米，塔顶C到点
Z)的距离不超过19.9米，则该木塔
的高度可能是（）（参考数据：
V2 »1.414)
A.66.1 米
B. 67.3 米
C. 68.5 米
D. 69.0 米
(2)雕塑成了大学环境不
可分割的一部分，有些甚至能
成为这个大学的象征，在中国
科学技术大学校园中就有一座
郭沫若的雕像.雕像由像体
和底座CZ)两部分组成.如图，
在 R t M B C中，乙/I B C=70.5。，
在 R t A D B C 中，A DBC=45°，
且Cfl=2.3米，求像体/1Z)的
高度（）（最后结果精确到
0.1米，参考数据：sin70.5o«
A
0.943, cos70.5°«0.334, tan70.5° =2.824)
A. 4.0 米
B.4.2 米
C.4.3 米
D. 4.4 米
【解析】（1)设该木塔的高度为A，则由图可知，
V T v4B=47.5x l.414=67.165 (米）.
同时f = V 2.-1. ,... h=V2CP= CD
h V T V T-l!_ V T
2
—Y U。67.9 (米).即木塔的高度/t约在67.165米至67.9
米之间，结合选项，可知应选B.
(2)在 R t A D S C中，，D fiC=45。，且 CZ)=2.3 米，
所以 B C=CZ)=2.3 米.
在 R t A A B C中，乙4B C=70.5。，fiC=2.3 米，
所以 tan70.5°=4^, 4c=fiCtan70.5<>=2.3x2.824=6.5366«
BC
6.5(米），
应考方略丨数学有数
所有 4 D=/J B -C D =6.5-2.3=4.2 (米），即像体4/)的高度为4.2米.
【评注】对于取材古代建筑和雕塑的数学问题，多是以测 量其高度或者求解其几何体的表面积或体积为考查对象，有 时还可与三视图进行结合考查.六、取材体育运动
【例6】国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式 决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发 球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分， 即先到21分的获胜一方贏得该局比赛，如果双方比分为20 : 20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分 打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球贏球的概率为甲接发球贏球的概率为则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21贏下比赛的概 率为（
）
【解析】根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：①输贏贏贏，②贏输赢贏，故片=士x +x 士x 去+士x 士x |x
1 _ 3
2 ~20'
【评注】对于有关体育赛事的数学问题，多与比赛规则有 关系，通常涉及到相互独立事件的概率，一般这类问题一是 采用直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 二是间接法：正面计算较烦琐（如求用“至少”表述的事件的 概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
七、 选材实时热点
【例7】2020年4月30日，我国的5G 信号首次覆盖了海 拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国 登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米 和6500米的三个大本营中抽出了 4名技术人员，派往北坡登 山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1 名技术人员，则不同的安排方法种数共有（
）
A
. 72 B . 36
C
. 48
D
. 54
【解析】根据题意，分2步进行分析：
① 将选出的4人分成3组，有C J =6种分组分法；② 将分好的三组全排列，对应3个崎岖路段，有4!=6种
情况，
则有6x 6=36种不同的安排方法.【评注】以当下热点为背景的教学试题，
一
直是高考的命欧拉方程
题热点，例如以“高铁”“一带一路”“共享单车”，停课不 停学”“新冠疫苗接种”等为背景进行命题，此类试题多考 查概率统计相关知识，时代性特点非常明显.
八、 取材古算诗题
【例8]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问 题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半,
六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还其 意思为：“有一个人走了 378里路，第一天健步走行，从第 二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了6天后到 达目的地，请问题第六天走了” （
）A
. % 里 B . 48 里
C
. 12 里
D
. 6 里
【解析】由题知每天所走路程形成以a ，为首项，公比为+的等比数列，且前六项的和为378，则
-=378，解
得a ,= 192，则〇«=(1|95=6，即第六天走了 6里.
【评注】以诗歌形式呈现，浪漫主义彩表现突出，一方 面能够培养学生的文化素养，另一方面又能对学生对数学知 识的掌握情况进行检测，此类试题的出现源于我国优秀的传 统数学文化，在我国古代经典的数学著作中，这样的古算诗 题是相当丰富的.
九、取材古代“数学思想”或“数学图形”
【例9】（1)我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定
理，该图中用勾⑷和股（6)分别表示直角三角形的两条直 角边，用弦⑷来表示斜边，现已 知该图中勾为3，股为4，若从图中 随机取一点，则此点不落在中间小 正方形中的概率是（
）
h G
A
. 25
B . ?4
49
49
c -y
°T
(2)祖晡是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理： “幂势既同，则积不容异这句话的意思是：两个等高的几何 体若在所有等高处的水平截面的面积相等.则这两个几何体的 体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦 列利发现，比祖啪晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转 所成的旋转体.如图所示，将底面直径皆为2fc ，高皆为a 的半 椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于
同一平面/S 上.以 平行于平面;8的平面在距平面*8任意高度d 处可横截得到S w 及5«两截面，可以证明S B z S g 总成立，据此，短轴长为4c m , 长轴长为6c m 的摘球体的体积是________c m \
S
脚
【解析】（1) 〇=3, 6=4，由题意得c =5，因为大正方形的 边长为a +6=3+4=7，小正方形的边长为c =5，则大正方形的面 积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为
QUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
,_25 = 24
49 一49.
(2)因为总有589=5环，所以半椭球体的体积为
=ir62a--|-7r62a= 1 7r62a.又 2a=6, 26=4，即a=3, 6=2，所以
補球体的体积 (c m3).
【评注】在我国古代的数学著作中记栽了许许多多的数学 思想和相关经典定理证明的图案，随着数学文化试题的热度 不断攀升，这两类试题也在不断融入高考试题之中.
十、取材学科交融
【例10】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类 历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成 就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地 面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中 继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点L2的轨道运行. M点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为A/,，月球质量为M2，地月距离为ft，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：^^+ f=
■，由于《的值很小，因此在近似计算中
3o^3a y=知2，则>■的近似值为（）
(1+a)^
A_i¥'R c.i f W R
【解析】由《=女，得r=a/?，因为鲁，
E2=l0[6i,/. |^=1〇-°3.
E2
【评注】解决函数模型应用问题一般要经过四个步骤；
⑴审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以 把握，因此，要认真读题，收集整理数据信息；（2)建模：运 用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关 系式（也叫目标函数）；（3)解模：利用数学的方法将得到的常 规数学问题（即数学模型或目标函数）予以解答，求得结果；
(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意 义，回答数学应用题提出的问题.从新高考山东卷的试题来看，这类问题一般会给出相关模型，要求学生利用所学知识进行 解决即可.
十二、取材桥梁或徽标
【例12】（1)风雨桥是侗族最具特的建筑之一，风雨 桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形 和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若
/l…e D=8m，这五层正六边形的周长总和为（）
^0
所以 F(1W+為=(1+a)l’即說
(l+a)z
m m a=V W t'
m r=aR=y f S：R.
【评注】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入 给定公式，建立a的方程，解方程、近似计算，但由于题干 较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的 变形及运算求解能力的考查.
十一、取材数学模型
【例11】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家 通过研究发现地震释放出的能量£：(单位：焦耳）与地震里 氏震级M之间的关系为lg£=4.8+1.5M,1976年7月28日我 国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发 生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）
A.1沪
B. 0.3
C.lgl.3
D. 1〇-°3
【解析】设汶川地震所释放出的能量是唐山地震所释放出的能量是£2,
W lg£, =4.8+1.5x7.8=16.5, lg£2=4.8+1.5x8=16.8,
A.35m
B. 45 m
C. 210m
D. 270m
(2)如图甲是第七届国际数学教育大会（简称I C M E-7 的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角 形演化而成的，其中ft4i=^i<42=i4yl3=…=j4ytg=l，如果把图乙中 的直角三角形继续作下去，记四边形(M W y U,…，0认九2，面积的倒数构成数列W，且此数列的前n项和 为民，则S15值
为（）
™I C M E-7
图甲
【解析】（1)，5〇6丨=5丨52=及2成=B A=〇.5 m，4〇fi〇=8 m.
利用等边三角形的性质可得：成A=7.5，艮42=7, fl343= 6.3 y t
这五层正六边形的周长总和=6x(8+7.5+7+6.5+6)=210m.
(2)由题意可得------\----------=—?—=
y X l x l+ -y X l x V^1+ V 2
应考方略丨数学有数
2(V T -1),
〇!=—.----------^
-=2( V T -),
^-x l x V ^T +^-x l x V ^T V ^+\A T
03=-；--------------------=——
—=2(2-V T ),^-x l x V T +^-x l x V T V 3
+V 4
•••，〇…:____________i ____________=______?_____=
y x l x V V
+L x l x V S +T V V +V ^+T
2( "\/ n +1 — \^ n )，
PJ S …=2( \
/^-l +yy ^T -\^~2 +■•• + V n +1 -\/«~ )=2( V n +1
-1)，
故 S 15=2x (v 1^ -1)=6.
【评注】以桥梁建筑为背景考查的数学问题，例如著名的 “赵州桥”，
可考查平面几何知识也可设计考查抛物线的标准 方程和性质，对于会徽会标图案的考查，所涉及的领域较为 宽泛，解题时，要注意图案内部间的数量关系.
追踪训练：1.
尼乌斯（/t /Jo /Zoniui ，约前262~约前190)是古
希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人 的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常 人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷
，传下来
七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其 第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个
移动的点与两定点之 间距离的比是常童（且不等于1)，则它的轨迹是一个圆.现 在已知两个定点的坐标分别为<4 (-1,0), S (2,0)，动点P 满足^[=2，则P 点轨迹方程为（
）
A •丨2+y 2-6尤+5=0
B . x 2+y 2-6x +7=0C
. x ^-lOx +J^O D . ^+^-^*+5=0
【解析】设P U y )，由动点P 满足]^f =2，得：
V C it +l )2-^ _2 V (*-2)V
— ’
化简得：4(;c -2)2+472=(：i c +l )2+；y 2，整理得：
2.
上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨
笛”（图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数
学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨
笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图.图3是某骨笛
的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日
光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角
.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值 及对应的年代如表1:
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大 致年代是（
）
图1
黄赤交角23。41，23°57,24。13，24。28，24°44#正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代
公元
公元前公元前公元前公元前元年
2000 年
4000 年
6000 年
8000 年
表1
A
. 公元前2000年到公元元年B .
公元前4000年到公元前2000年C . 公元前6_年到公元前4000年
D
. 早于公元前6000年
【解析】由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为a ，春秋分日光与垂直线夹角为見则
a -/3即为冬至日光与春秋分日 光的夹角，即黄赤交角，将图 3近似画出如下平面几何图形：
PJ tan a =bes
=1.6, tan (3 =
••• 0.455<0.457<0.461，
估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.
3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 空气的温度是祝C ，经过 < 分钟后物体的温度可由 公式0=0。+(0「0。)一求得，其中是一个随着物体与空气的接
触状况而定的大于0的常数.现有80T 的物体，放在Z O t 的
空气中冷却，
4分钟以后物体的温度是40T ，则约等于
()(参考数据：ln 3~1.099)
A . 0.6
B . 0.5
C . 0.4
D . 0.3
【解析】由题意可得：40=20+(80-20)e '
两边取对数可得：-4A :=l n +=-ln 3«-1.099,
.fe =i ^99 ^0 3
4
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