即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation）
（ 31 ）
（ 32 ）
从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。
理论解：
物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波） f(x) c f(x-ct)
ct
（ 33 ）
（ 34 ）
曲靖师范学院教务网络管理系统
其中：
（ 35 ）
例：
（ 36 ）
即 （ 37 ）
其解为： （ 38 ）
3.1.1 显式法
对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。 i. FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法
（ 39 ）
则能产生：
（ 310 ）
变形后:
（ 311 ）
这儿， 为Courant 数。
（ 312 ）
Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度(x/t)的比值。
该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值x/t保持一致时，不管x和通风管道t取多小，其影响的范围是一样的。
当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。
FTCS法的解的发展
即Courant 条件为（CFL条件）
（ 313 ）
但是波动方程不能由此方法判别的例子有：
（ 314 ）
此问题有理论解，如图。例如，＝0.5时，时间步长为1/2x。
解析解 FTCS的解
表1 FTCS的解 （＝0.5）
| xj-2 | xj-1 | xj | xj+1中草药提取物 | xj+2 |
t=0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
t=1 | 1 | 5/4 | 1/4 | 0 | 0 |
t=2 | 15/16 | 23/16 | 9/16 | 0 | 0 |
t=3 | 53/64 | 49/32 | 75/64 | 13/64 | 0 |
| | | | | |
其值是振荡不稳定的。随着时间的延续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分方程的Fourior展开来分析。因此类展开可与频率振幅相角等相关。 设FTCS格式的解的展开的某一分项为：
（ 315 ）
gj表示幅度， 为与波数有关的相位角。定义一个时间步长前后的解的幅度比为振幅，用表示。则令它可用振幅和相位差来表示：
（ 316 ）
但兰迪教授偏离真实解时，振幅产生误差。偏离真实解时表示该波数代表的波不能以正确的速度移动。
对于线性双曲波动问题，其理论解的振幅和某一波段上的相位差为
（ 317 ）
且u可空间时间分离变量：即g为时间的变量。代入FTCS格式：
（ 318 ）
其振幅为：
（ 319 ）
可见，无论是振幅还是相位都偏离真实解。尤其是振幅，它始终保持>1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为Von Neumann不稳定。
FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor展开为
（ 320 ）
代入波动方程
（ 321 ）
可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。
ii. Lax差分格式（Lax-Friedrich方法）
FTCS式中的unj项用两边的平均值来代替:
（ 322 ）
其：
（ 323 ）
在的一定范围内小于1。－1<<1的范围内收敛。
该方法使数值，但代价是解的扩散性增强。即耗散误差大。
Lax 格式 Leap-Frog格式
iii. Leap-Frog 格式(蛙跳法)
空间时间都用中心差分：
（ 324 ）
（ 325 ）
当21时：
（ 326 ）
因此，无论对什么信号，振幅都不变。因此无振幅误差。称为中立稳定。但当很小时，存在延迟相位误差（Lagging phase error）。即波的位置在真的波后发生。
当2 >1时：为纯虚数。
（ 327 ）
即当sin>1/时不稳定。
此方法分散误差大。
iv. Lax-Wendroff格式
∙ 原始Lax-Wendroff格式
二阶Tayor 展开，空间中心差分：
为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的扩散项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。
∙ Lax-Wendroff两步格式
第一步（前1/2t）：
第二步（后1/2t可持续发展的内涵）：
v. MacCormack的方法
∙ 为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式
∙ 的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采用预测修正因子法(predictor-corrector)。
预测阶段：
修正阶段
∙ 结果同Lax-Wendroff两步格式。
vi. 1阶精度上风法
时间向前，空间向后：
Taylor 展开
右为截断误差。utt、uttt用uxx、uxxx表示：
时间空间都为1阶精度。当＝0时，截断误差为零。
1. 5< <1.0时：向前相位误差
<0.5时，延迟相位误差
3.1.2 显式法的小结
1. 粘性的附加
i. FTCS格式
( 1 )
ii. Lax格式
( 2 )
iii. Lax-Wendroff格式
( 3 )
iv. 1次精度上风法
( 4 )
上述所有的格式都可认为对FTCS的格式的修正，而且都是2阶微分方程utt的差分格式，为扩散项。其中Lax格式扩散最严重，Lax-Wedroff扩散最小，同2次精度中心差分接近。
2. 有限差分法的一般格式
线性波动微分格式可写成： ( 5 )
一般的单纯的Eular显示法为：
( 6 )
称为数值流束(numerical flux)
j-1/2 j+1/2 j+3/2
j-1 j j+1
图x. 通过界面的流束
i. FTCS格式危机公关论文
( 7 )
ii. Lax格式
( 8 )
iii. Lax-Wendroff格式
( 9 )
iv. 1次精度上风法
( 10 )
上式可表示为：
( 11 )
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