（三十三）远期利率协议的结算金、价值与定价

西安航天动力机械厂（三⼗三）远期利率协议的结算⾦、价值与定价

远期利率

远期利率是由当前零息利率所隐含的对于将来某⼀时间区间的利率，确定了零息利率曲线之后就可以求得所有的远期利率。T ⾄T 之间的远期利率R 可表⽰为R =(R T -R T )/(T -T )。假设⼀年期⾄五年期的连续复利零息利率为2.5%，2.8%，3.2%，3.7%，4.5%，计算第2、3、4、5年的远期利率：

import numpy as np

import pandas as pd

def f (R2,T2,R1,T1):

return (R2*T2-R1*T1)/(T2-T1)

r =np .array ([0.025,0.028,0.032,0.037,0.045])

t =np .array (range (1,6))

for i in range (len (r )-1):黄埔船厂

wto论文

print ('第{}年的远期利率为{:.2%}'.format (i +2,f (r [i +1],t [i +1],r [i ],t [i ])))

第2年的远期利率为3.10%

第3年的远期利率为4.00%

第4年的远期利率为5.20%

第5年的远期利率为7.70%

远期利率协议的现⾦流分析

远期利率协议（FRA）是指交易双⽅约定在未来某⽇交换协议期间内⼀定现⾦流（结算⾦）的合约。其中，远期利率协议的买⼊⽅（多头，规避利率上升风险）⽀付按固定利率 k 计算的固定利息，卖出⽅（空头，规避利率下降风险）⽀付以参考利率 f 计算的浮动利息。⽬前主要的参考利率之⼀是3个⽉期Shibor利率（上海银⾏间拆放利率）。

如果约定的k>f，则多头要⽀付空头的⾦额等于固定利率与参考利率的利差乘以本⾦，反之亦然。假设k，f分别代表固定利率和 [T ,T ]区间内的参照利率，L为本⾦，同时需要注意的是：①f是在T 时确定并在T 时⽀付；②实践中习惯在期初T 就⽀付T 时刻的现⾦流经过f贴现后的现值；③不⽤连续复利，复利频次为每T -T 复利⼀次。

那么多头⽅在T 时刻的现⾦流（结算⾦）就为L(f-k)(T -T )/(1+f(T -T ))，其中分⼦代表多头T 时刻的现⾦流，分⼦是按照该期间内的利率进⾏了折现，⽐如T -T =6个⽉，那么就是按照半年的利率折现到T 。空头⽅现⾦流的计算结果与多头相反，记住k<f时多头现⾦流为正，空头为负即可。

假定某公司预期在第1年末向银⾏贷款1千万，贷款期为3个⽉，为了规避利率风险，该公司当前与银⾏签订了⼀份FRA，约定该公司在第⼀年末能够获取3%的3个⽉固定利率，参考利率为3个⽉期的Shibor利率（假定第⼀年末为3.5%），求该公司在第1年末和第1.25年末的现⾦流情况。

def cashflow (L ,f ,k ,T2,T1,when ):

uc2005if when =='t2':

c =L *(f -k )*(T2-T1)

else :

c =L *(f -k )*(T2-T1)/(1+f *(T2-T1))

return c

cashflow (1000,0.035,0.03,1.25,1,when ='t2')

Out [3]: 1.250000000000001

cashflow (1000,0.035,0.03,1.25,1,when ='t1')

Out [4]: 1.2391573729863703

该公司规避利率上升风险，是多头⽅，且k<f，因此该公司在第1年末和第1.25年末的现⾦流分别为+1.239万和+1.25万，结算⾦为

1.239万。

远期利率协议的价值

对于FRA的多头，合约价值为L(f-k)(T -T )e ，r是期限长度为T 的⽆风险利率，且是连续复利；f和k的复利频率与T -T 区间保持⼀致。由于FRA是签订⽇期0 ~ T 时期持有，提前确认并交换了T 时刻的现⾦流，因此合约签订时需要将T2时刻的现⾦流折现到0时刻。接上例，假设1.25年的⽆风险利率为4%，计算题中FRA对公司的价值：

12F F 2211211212122112121221121-r*T222112

def v(L,f,k,r,T2,T1):

return L*(f-k)*(T2-T1)*np.exp(-r*T2)

print('对于该公司⽽⾔，签订时的FRA价值为{:.4f}万元'.format(v(1000,0.035,0.03,0.04,1.25,1)))

对于该公司⽽⾔，签订时的FRA价值为1.1890万元

远期利率协议的定价

巩献田 FRA的定价就是要确定合约中的参照利率 f，也即银⾏如何报出各种期限的远期利率协议价格，其关键在于判断将来⼀段时间内的远期利率⽔平。结合我国的实际情况，考虑⽤同业拆借利率，也就是Shibor收益率曲线来定价。求解过程和求远期利率的过程⼀模⼀样，只是同⼀期限下bid和ask会稍有不同（bid为银⾏的买价，即拆⼊价；ask为银⾏的卖价，即拆出价）。

已知某客户欲向银⾏买⼊⼀个3×6的1000万元的远期利率协议，与此同时，Shibor年利率报价情况如下表。试根据以上数据为该银⾏计算出这个远期利率协议的报价。

期限买⼊价（%）卖出价（%）

3M 4.1823 4.3562

6M 4.2054 4.3754

由题意知该客户向银⾏买⼊了⼀个FRA，因此要求银⾏的卖出价。由于银⾏的卖出价⼀定⼤于买⼊价，可模拟如下组合交易：卖出

0.041823×0.25f×0.250.043754×0.5

3x6FRA，拆⼊3M Shibor (4.1823%)，拆出6M Shibor (4.3754%)，即e×e=e，得到卖价为

4.57%。

反之，如果银⾏买⼊3x6FRA，那么可以构建拆出3M Shibor(4. 3562%)，拆⼊6M Shibor (4.2054%)的组合交易，在⽆套利机会下，可以得到FRA的买价为4.05%。

#按照之前解远期利率的公式算石家庄平安口腔学校

print('FRA的卖价为{:.2%}'.format(f(0.043754,0.5,0.041823,0.25)))

FRA的卖价为4.57%

print('FRA的买价为{:.2%}'.format(f(0.042054,0.5,0.043562,0.25)))

FRA的买价为4.05%

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