２０１０年第１期（总第１１９期）
牡丹江教育学院学报
ＪＯＵＲＮ．ａ，Ｉ，ＯＦＭＩＹＤＡＮＪＩＡＮＧ（１（）Ｉ。Ｉ，Ｅ（；ＥＯＦＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
ＮＯ．１。２０１０
ＳｅｒｉａｌＮｏ．１１９定积分与不定积分解法的统一性
郭卫霞
（鹤壁职业技术学院，河南鹤壁４５８０３０）
［摘要］由于定积分、不定积分的求解存在一定的联系，导致了解法的统一性。观察积分法、凑积分法、分部积分法、换元积分法对定积分、不定积分的解法都适用。 ［关键词］定积分；不定积分；统一性
［中图分类号］０１７２［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—２３２３（２０１０）０１—０１
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扭矩表定积分Ｉｆ（ｘ）ｄｘ的求解分为两步：①到，（ｚ）的一个原函数Ｆ（ｚ），即Ｆ７（ｚ）一，（ｚ）②作差。Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＝ Ｆ（６）一Ｆ（口）．不定积分ｆ（ｘ）ｄｘ的求解也分为两步：①到，（ｚ）的一个原函数Ｆ（ｚ）．②加上任意常数Ｃ，即
Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｚ）＋Ｃ．从上述定积分、不定积分的求解步骤中，可明显看出其解法的第一步是相同的，而第一步是求定积分、不定积分的关键，正因为第一步的相同，导致ｒ定积分、不定积分解法的统一性。常见的积分方法有：观察积分法、凑积分法、分部积分法、换元积分法。下面分别介绍这四种方法的应用。
一、观察积分法（直接积分法）
观察积分法的原理是依据求导公式和积分的运算性质。常见的求导公式：
①（矿＋ｆ）’一ａｘｌｎａ；②（１ｎｚｌ＋ｃ）’一二；
③（Ｆ＋ｆ）’＝Ｏ．Ｘａ－－１；④（矗ｎｚ＋ｃ）’一ＯＯＳｘ；
⑤（ｔａｎｘ＋ｃ’一馨ｃ２ｚ；⑥‘ａｒｃｓｉ搬＋ｃ’’一属１｝；
⑦（ａｒｃｔａｎｘ＋ｃ）２亡ｉ．
Ｉ十Ｚ。
常见积分的运算性质：
①Ｉ∥’（ｘ）ｄｘ—ｆｌｆ（ｘ）ｄｘ
②肚ｚ）＋ｇ（圳如＝』ｆ（ｘ）如＋』如）ｄｒ；
③Ｉｃｆ（ｘ）ｄ，ｘ＝ｃＩｆ（ｘ）ｄｘ
④ｌ（，（工）＋ｇ（ｚ））ｄｘ＝Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＋Ｉｇ（ｘ）ｄｘ．
熟悉上述公式和性质，用观察法求定积分、不定积分就轻而易举了。
例如：①求ｆ（２ｚ一。号）ｄｘ②求ｒ（２ｚ—ｚ号）ｄｘ解：①原式一Ｊ－２ｘｄｚ—ｆ３。如Ｘ２－－詈ｚ号＋ｃ
②原式：（≯一７２。号）『；一彳３
二、凑积分法
凑积分法的原理是依据微分与导数的关系（即ｄｖ（ｘ）一矿（ｘ）ｄｘ）与常见的求导公式，它是求定积分、不定积分常见的方法。
家有学子例如：①求Ｊ．ｓｉｎ。ｘ．ｒｄｚ②ｆｓｉｎ。ｘ。ｄＣＯＳｚ
Ｊ、ＺＪ
解：①原式一一．ｆ—ｋｄｃ。ｓｚ一÷ＣＯＳ－２ＸＣＯＳ＋ｃ
够快物流网Ｊ”Ｚ
②原式一［÷ｃｏｓ＿２ｚ］ｌ５＝百１（ｃｏｓ丌）＿２一（ｃｏｓ０）１一÷一÷＝ｏ
三、分部积分法
分酃积分法的原理：令ｕ＝ｕ（ｘ），ｖ＝ｖ（ｘ）都是连续函数，由导数公式得（ｕｖ）’一ｕ７ｖ＋ｕｖ’，移项得ＵＶ’＝（ｕｖ）’一ｕ’ｖ，两边求不定积分得，Ｉｕｖ’ｄｘ＝ｌ（ｕｖ）７ｄｘ—ｌ１．１ｔｖｄｘ—ｕｖ—ｆｖｄｕ，即ｆ７ｄｘ＝ｆｕｄｖ—ｕｖ—ｆｖｄｕ．
路德宗
由上述原理可知，分部积分法的具体步骤简述为：①凑Ｖｔｄｘ＝ｄｖ；②结合ＨＶ；③交换，Ｉｕｄｖ交换为Ｉｖｄｕ；④作差，ｕｖ是被减数，Ｉｖｄｕ是减数。
可见，分部积分法通常适应于两个乘积函数的积分问题，在个别题目中，其中一个函数是ｌ，也町用此方法，凑是分部积分法的第一步，也是关键的一步，如何巧妙地去凑是分部积分法成功的前提，应注意下列几点。
（１）当ｕ（ｘ）。ｖ７（ｘ）都可以凑时，ｕ（ｘ）＝ｘａ，ｖ’（ｘ）为三角函数或指数函数时，通常凑ｖ７（ｘ）
例如：求①Ｉ．ｒｅｌｄｘ②ｌｘｅ—ｄｘ
解：①原式＝Ｉｘｄ（－－ｅ－２）一一．Ｔｅｅｌ一Ｉ—ｅ－。ｄｘ＝一ｘｅ一一ｅ１＋ｆ
②原式＝（－－．Ｔｅ～一ｅ－。）１５＝一１
（２）当被积甬数是ｊ角甬数与指数函数的乘积时，两个函数都可以凑，通常凑三角函数。
例如：求①ｌ，ｓｉｎｘｄｘ②Ｉ矿ｓｉｎｘｄｘ
［Ｓｔ稿日期－］２００９—０９—１８
［作者简介］郭卫霞（１９８０一），女，河南商丘人，鹤壁职业技术学院助教，研究方向为数学与应用数学。
１４２
万方数据音译汉
解：①原式＝＼矿ｄ（一∞ｓｚ）一一矿ｃｏｓｚ一＼（一∞ｓｚ）出３＝～矿ｃｏｓｘ＋ｆｃｏｓｚａｅｌ－＝－－ｅ＊ｃｏｓｚ＋＼矿ｃｏｓ蕾ａｚ
’？＼ｅ％ｏｓｘａｚ＝ｌ矿ｄｓｉｎｚ—ｅｌｓｉｎｘ－－ｆｓｉｎｚｅ３ｄｚ
．．．原式＝一红ｃ。ｓｚ＋矿ｓ打ｚｚ—Ｊ．矗咒ｚＰ。ｄｚ
．．．Ｊ－矗７２ｚＰ２矗ｚ一百１矿（蠢开工一∞ｓｚ）＋ｃ
磷酸氢二钠
②原式＝［专矿（矗咒ｚ一∞ｓｚ）］Ｉ。．一虿１十丁１矿
（３）当被积函数ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）的乘积中。｛赡ｆ－－个函数ｖ，（ｘ）可以凑时，当然凑、，（ｘ）
例如：求①．ｒ翻ｒｃｔａｎｘ出②ｆｒｃｃｎ竹ｚ如
解：①Ｎ式＝ｆａｒｅ姗ｚ鹰
一等州ｔａｎｘ－－ｆｌｄａｒｃ伽ｚ
一虿州纽眦
—虿１２ａｒｃｔａｎｘ－－』等·当ｄ工
一虿酊Ｊ虿。≯出
＝÷（ｘ２盯ｃｔａｎｓｃ－－Ｘ＋ａＭ抛珂工）＋ｃ
②原式一［号（ｘｚ觥￡硎ｚ一上＋ｎｒｆ纽以ｚ）］Ｂ一号一上
２
（４）当ｖ’（ｘ）一ｌ，ｆ１．１Ｖ’ｄｘ用观察法和凑积分法无法求例如：求①』１懈二ｚ②ｆ１埘ｄｚ
解：①原式＝Ｍｎｘ～Ｊｘｘｌｌｎｘ＝ｘｌｎｘ—ｌｚ二如一ｚｌｎｚ—ｚ＋Ｃ
②原式＝（矗ｎ工一ｚ）６＝（ｅｌｎＰ～Ｆ）一（／ｎ１—１）＝１
四、换元积分法
换元积分法分为直接换元法和三角换元法，换元积分法的目的是使无理函数的积分转化为有理函数的积分，显然，针对一些无理甬数的积分常用换元积分法。当然，个别题日虽不是无理函数的积分问题，可前三种方法无法求解。可考虑用换元积分法。
蝴：求①ｊ’痔ｚ②．ｆ０１岛ｚ
Ｊ１＋√ｚ。Ｊ１＋、／ｚ
解：①令：石＝ｔ，则ｚ—ｔｚ如＝ｄｔｚ＝２ｔｄｔ
原式＝』南２ｔｄ闻』等导ｄｔ钮，箫斛Ｊ．ｉｂｄ￡］一２（寺￡２一ｔ＋／ｎ】ｔ＋ｌｆ）＋ｃ＝２（专工一石＋ｌｎ１１＋石１）＋ｃ
②原式＝２［＿÷ｚ一√ｊ＋￡挖Ｉ１＋石Ｉ］ｌ５＝２１ｎ２－－１
通过上面几种积分法的介绍和具体的例子表明，定积分、不定积分的解法的确存在着统一性，了解这一点，定积分、不定积分的求解就迎刃而解了。
［参考文献］
［１］李华，壬小军．应用数学（上册）［Ｍ］．郑州：大象出版社，２００６．［２］侯风波．经济数学基础［Ｍ］．北京；高等教育出版社，２００４． ［责任编辑：丛爱玲］
（上接第２０页）的关系，会直接影响人类的生存、发展以及要求良好的人际关系环境。在社会主义市场经济条件下，人类社会的和谐。竞争是激烈的，但竞争离不开协作，因为协作能使相同要素科学发展观的核心理念是强调可持续发展，可持续发所组成的整体系统的功能各异。良好的协作会使生产力的展体现在两个层次上：自然本身的呵持续发展，即确保自然每一个要素充分地发挥其功能，并使其整体功能放大。竞本身的自我修复、运作和增长；人类本身的可持续发展，即争只是提高效率的手段，而不是目的。如果把竞争推向极确保人类本身的持续繁衍。要解决这两个持续发展，就必端，就会造成人心的沦丧，道德的败坏。党的十六届四中全须协调人与自然的关系，实现人与６１然的和谐共处与持续会提出，要“在全社会大力提倡团结互助、扶贫济困的良好发展。科学发展观所强调的持续和协调发展包括：以生物风尚，形成平等友爱、融洽和谐的人际关系环境”Ｄ３。这就链为基础的自然平衡，以利益分配为核心的人类社会的平标明了社会主义和谐社会应具有的基本特征。而科学发展衡以及“人与自然之间的平衡，，［４］。观要求以人为本，就是一切从人民众的需要出发，以发展近 年来，随着我国经济的快速增长和人口的不断增加，并完善人的个性为宗旨，把人民的利益作为一切工作的出环境压力不断增大，淡水、土地、能源、矿产等资源不足的问发点和落脚点，把尊重入、理解入、关心入，促进入的全面发题日益突出。经济快速增长的背后是资源的巨大浪费和对展，实现人民众的根本利益放在首位。因此，从现实的和环境的极大破坏，伤害自然以及遭受自然报复的事件屡屡发实践的人出发，以人为本不仅倡导人与人之间应相互尊重、生。比如，１９９８年，长江、嫩江、松花江等大江大河隐去往日
相互信任、和谐相处，而且倡导采取切实可行的方法和措施，的温柔．横扫了所经之地。造成的直接经济损失达２０００亿从体制和政策上，解决人民众的困难，努力为每个人实现元。还有北京，美丽的首都。近几年几乎每年的春天都会有
自我价值和生产要素的投入产出创造一个公平竞争、机会均沙尘暴“光临”，成了－－ｆｆｉ；亮ＮＮ“风景线”。历史发展到今等的机遇·在全社会实现人与人的和谐相处。构建和谐社天，人类从未像现在这样关注过自己的生存环境，严峻的生
会，是科学发展观中以人为本、全面发展理念在社会建设层态环境问题已经越来越引起人类的焦虑和不安。发展与生态面的合乎逻辑的展开，是马克思主义关于人的自由而全面发环境的和谐成为人们关注的焦点。因此，全面转变经济发展展思想在新的历史阶段的展现。因此科学发展观中的以人方式，改变高消耗、高污染、低产出的状况，缓解能源、资源约
为本的理念为实现人与人的和谐提供了～个思路。
束的矛盾，已是刻不容缓的事情。在这种形势下，发展循环‘
Ｌ爹考ｘ献Ｊ
经济，“建设节约型社会”，才能很好地摆脱目前我国经济发；１３［婴马克思恩格斯全集‘第４２卷’［Ｍ］·北京：人民出版社，１９７９：垦堡釜要竺节粤苎：。釜罄圣卺。企仃：套．兰震薏．曼苎竺！竺翌；；ｊ写磊思恩格斯全集（第２０卷）［Ｍ］．北京；人民出版社，１９７１：正确地处理人与自然的矛盾。减少人对自然的破坏和自然对：，：
………………一
人的报复·从而形成一个真正和谐的社会。可见科学发展观［４］胡仪元．西部生态经济开发的利益补偿机制［Ｊ］．社会科学辑中可持续发展的理念是实现人与自然和谐的一个新思路。刊。２００５，（２）：８３．
三、人与人的和谐相处［５］中共中央关于加强党的执政能力建设的决定（第９版）ｒｚ］．北
社会主义和谐社会是社会成员和睦相处的社会，必然京：人民出版社，２００４：２４．［责任编辑：毕橹欣］
】４３·万方数据
定积分与不定积分解法的统一性
作者：郭卫霞
作者单位：鹤壁职业技术学院，河南，鹤壁,458030
刊名：
牡丹江教育学院学报
英文刊名：JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION
年，卷(期)：2010，(1)
引用次数：0次
1.李华，王小军.应用数学(上册)[M].郑州：大象出版社,2006.
2.侯风波.经济数学基础[M].北京：高等教育出版社,2004.
1.期刊论文孙宝法.SUN Bao-fa用定积分形式定义的不定积分-大学数学2008,24(5)
设f(x)有界且有原函数，把f(x)按照一定条件先限制再延拓到(-∞,+∞)，得F(x).令x为自变量,s为参数，则形式定积分∫xsF(t)dt就是f(x)的不定积分.因此，不定积分可以看成另一种形式的定积分.是上限与下限都不定的定积分.
2.期刊论文冯思臣对不定积分与定积分教学顺序的新认识-四川工业学院学报2003(z1)
在微积分的教学中，传统的教学顺序是先讲授不定积分，再讲授定积分，这样的安排固然有一定的合理性，科学性.但在实际教学中总会出现一些不尽如人意的问题，教学效果也许并不是很好，事与愿违.尝试交换并重新组合两种积分的教学顺序后，教学效果得到了明显的提高.说明该教学处理是可行的，值得肯定的. 并由此引出对其他教学方法的思考.
3.期刊论文罗萍.张翠花浅谈不定积分和定积分的课堂教学-中国校外教育（基教版）2009(8)
本文采用对立统一的教学方法，强调了高等数学中不定积分与定积分既对立又统一的两个方面，以期提高积分学的课堂教学效率，为学习积分学的学生提供帮助与借鉴.
4.期刊论文杨宝玉.白秀琴从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系-现代企业教育2008(14)
通过一类考研题的讨论，表明不定积分∫(x)dx只能作为运算符号，无法用来讨论f(x)的某一原函数的性质；而变限定积分函数∫xaf(t)dt 为某一确定的原函数.可以用它来讨论f(x)的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等.
5.期刊论文孙海娜从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系-高等数学研究2007,10(3)
通过一类考研题的讨论，表明不定积分∫ f(x)dx只能作为运算符号，无法用来讨论f(x)的某一原函数的性质；而变限定积分函数∫xa f(t)dt为某一确定的原函数，可以用它来讨论f(x)的原函数的性质：如函数的奇偶性、单调性、极值等.
6.期刊论文高霞萍定积分、不定积分与不连续性-浙江万里学院学报2003,16(2)
通过被积函数在连续性方面的不同要求，揭示出定积分和不定积分的区别.
7.期刊论文张丽丽对不完整的不定积分的补充修正-高等数学研究2006,9(6)
如果在区间I上连续函数f(x)的原函数除有限个点外处处可导，则可通过补充定义这些点上的值使之"完整"起来，从而可以用它来求出f(x)在I任意闭子区间上的定积分.
8.期刊论文邓咏梅求定积分的几种巧妙方法-科技广场2004(9)
牛顿-莱布尼兹公式告诉我们可以通过不定积分求定积分的值，但定积分的值还可以不通过不定积分去求.
9.期刊论文李中林.周琳浅谈牛顿积分与黎曼积分之异同-世界华商经济年鉴·高校教育研究2008(11)
我们称被积函数是连续函数的这一类积分为牛顿积分，它可分为牛顿不定积分争牛顿定积分，而被积函数是有界函数的积分称为黎曼定积分.不是每个牛顷不定积分都可进行黎曼定积分，不是每个黎曼定积分都存在牛顿不定积分，并不是每一个有界函数都能求黎曼定积分，只有连续函数在闭区间上的黎曼定积分、牛顿定积分与不定积分才都存在.
10.期刊论文江涛.操闻一.JIANG Tao.CAO Wenyi牛顿积分与黎曼积分之异同-江汉石油职工大学学报2007,20(1) 牛顿所积分的函数都是连续的，可分为牛顿不定积分和牛顿定积分，而黎曼所积分的函数又是有界的.因此，并不是每一个牛顿不定积分都可进行黎曼积分，并不是每个黎曼积分都存在牛顿不定积分，黎曼积分也并不能对每一个有界函数求定积分.只有连续函数在闭区间上的黎曼和牛顿不定积分与定积分都存在时方可积分.
本文链接：d.g.wanfangdata/Periodical_mdjjyxyxb201001073.aspx
下载时间：2010年5月10日
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