——从Riemann积分到Lebesgue积分
张六凤 数学与应用数学 1210503323
摘要：本文首先介绍了Riemann积分的定义和Riemann积分的缺陷，再介绍了Lebesgue积分的定义。最后成本利润率指出了Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系。发现Riemann积分和Lebesgue积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的推广，同时. Lebesgue积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，Lebesgue积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.
关键字：Riemann积分 Lebesgue积分
一、Riemann积分
（一）定义
（R）
其中,
(二)几何意义
（非负函数）：函数下方图形的面积
注意：Riemann积分与分割T，介点
（三） Riemann 积分的缺陷
Riemann积分理论把区间的长度作为测量点集的大小的基础，有界开区间（a, b）的长度即b-a，根据我们的常识，实数轴上的任意有限多个两两不交的有界开区间的并集的大小，恰是组成它的开区间的长度总和，定义为测度，这个规律就是所谓有限可加性。 如果在实数轴上任意的一个有界的范围内，有无限多个两两不交的有界开区间，他们的并集是不是应该有个大小尺寸即测度，并且这个集的测度应该恰为组成它的所有的开区间的长度的总和呢？从有限可加性到 –可加性，放映了人们对客观世界的认识从“有限”发展到“可数无限”的提高所以Riemann的理论还停留在初等水平上，它不承认测度-可加性，这是它的本质缺陷。
二、Lebesgue积分
（一）定义
设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组
记
并任取华南国防医学杂志（我们约定，当时，），作和
如果对任意的分法与善林董事长自首的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作
三、 Riemann克里福德积分与Lebesgue积分的区别与联系
（一）、可积函数的连续性网络学习系统
连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件：
函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集.
这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数
这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但这个函数在上仍是黎曼可积的，且有
事实上，中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的.
现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢？
设是可测集上的连续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是在上勒贝格可测.
有限区间上的连续函数是可测函数，对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.
（二）积分的可加性ssnd[4]
这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，即若，均为有限区间，（）则有
但是黎曼积分不具有可数可加性，对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷
参考文献
[1]李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002.
[2]刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.
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