度规张量的几何意义和物理意义--纪念广义相对论诞生100周年 蔡志东;葛宇宏
【摘 要】度规张量是广义相对论的核心，要想真正理解广义相对论，必须首先理解度规张量。系统论述了度规张量的几何意义和物理意义以及它的一些重要特性，利用度规张量的意义和等效原理可以快速确定史瓦西度规。%Metric tensor is the core of the general theory of relativity .To truly understand the general theory of relativity ,we must understand the meaning of metric tensor .The system dis‐cussed the geometric and physical meaning and some of its important characteristics of the metric tensor .Using the significance of metric tensor and principle of equivalent ,we can quickly deter‐mines the Schwarzschild’s metric tensor .
【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】6页(P25-30)
【关键词】度规张量;基矢;张量势;赝引力势
【作 者】蔡志东;葛宇宏
【作者单位】镇江高等专科学校丹阳师范学院，江苏丹阳212300;南京科技职业学院基础教学部，江苏南京210048
【正文语种】中 文
【中图分类】O412.1
度规张量究竟表示什么？为什么它能随意升降张量的指标？迄今为止，尚未见到有人对此作出系统的论述，本文将用通俗易懂的语言系统回答这些问题.
首先介绍一下张量的一般定义：若有一个物理量,有a个上标λ1,λ2…λa,b个下标σ1,σ2…σb,每个指标均可以从1取到n,如果每一个上指标(逆变指标)均按照逆变矢量的变换规律而变,每一个下指标(协变指标)均按照协变矢量的变换规律而变,则该物理量就称之为a阶逆变,b阶协变,总阶数为(a+b)阶的混合张量,其变换规律为 普朗克常数
除了这种最一般的定义之外,还有两种定义,一是把张量看成矢量的外积(直积).另一种就是文献[1]中提出的所谓“內秉定义”：若有一个物理量, ,它和b阶逆变,a阶协变混合张量=…·…之“内积”为一个标量P,则我们就说该物理量为a阶逆变,b阶协变的混合张量,具体定义式为
超级回路黎曼认为,在n维空间中,无限靠近的两点之间的距离平方可以表示为： ds2=gμ νdxμdxν,它不随坐标系的变换而变,是一个坐标变换的不变量或标量(这样的空间称之为黎曼空间),其中的gμ ν定义为黎曼空间的(协变)度规张量,简称为协变度规.事实上,因dxμ,dxν均为逆变矢量,所以根据张量的外积定义(张量可以看成矢量的外积)可知,dxμdxν=dxνdxμ为二阶逆变对称张量.由张量的内秉定义可得：gμ ν为二阶协变张量.容易证明：对称张量和反对称张量的内积必为零.所以度规张量gμ ν和对称张量dxμdxν的内积只有其对称部分有贡献,因此，我们一般认为度规张量gμ ν为对称张量(事实上,这一性质可直接由它的意义得到).
当坐标系从K→K′变换时,K中的(逆变和协变)两类矢量和K′中的两类矢量之内积是不变的,即A′μ=AμBμ,当Bμ=Aμ时则有：A′μ=AμAμ=R,这是一个不变量,在平直时空中,由于逆变和协变不分,它显然就是该矢量的模的平方即R=2.在一般的空间中,它的意义也类似于矢量的长度平方.显然,逆变和协变矢量之间有一种确定的变换规律,它能把逆变矢量变为协变矢量,反之,
也能把协变矢量变为逆变矢量.这样的变换矩阵(张量)究竟是什么？显然,它必须具有以下几个特点：统一性、确定性和简单性.设这样的变换张量为λμ ν,它能把任意逆变矢量Aν变为协变矢量Aμ,即Aμ=λμ νAν,两边同时乘以Aμ得AμAμ=λμ νAνAμ=λμ νAμAν=R,这是一个确定的标量,它总是可以看成两个标量的乘积.考虑到黎曼空间中距离微元平方为ds2=gμ νdxμdxν,这是一个不确定的标量(坐标微元本身就不确定,所以距离微元也不确定,无限小究竟多小是不知道的).我们总可以令一个标量函数f=g0k1k2(g0为常数,而k1,k2为两个标量函数),使它和距离微元平方之积为一个确定的标量,即令R=g0k1k2ds2,ds2变小时f=g0k1k2变大,反之,则变小,从而保证两者之积不变.因此有呈味核苷酸
AμAμ=λμ νAμAν=R=g0k1k2ds2=
g0k1k2gμ νdxμdxν=g0gμ ν(k1dxμ)(k2dxν)
由于坐标微元矢量dxν和逆变矢量Aν满足相同变换规律：dx′μ=dxν,A′μ=Aν，而变换系数∂x′μ/∂xν相当于把每一个分量都扩大或缩小若干倍(不同的点倍数不同)，这说明，逆变矢量Aν的每一个分量都可以看成坐标微元矢量dxν每一个分量的倍数(显然，令dxν→kdxν，则有(kdxν)=kdxν=(kdx′μ)，这里的k在确定的点是一个确定的数，但是在不同的点不同.因此
它是一个随坐标而变的标量函数).由此，我们可以令：Aμ=k1dxμ,Aν=k2dxν,于是(3)式变为：λμ νAμAν=g0gμ νAμAν,即λμ ν=g0gμ ν,于是我们得出一个极其重要的结论：能够统一地把逆变矢量变为协变矢量的变换矩阵(张量)总可以看成度规(协变)张量和一个常数之积.在最简单的情况下,我们可以取g0=1,此时有λμ ν=gμ ν,即度规张量可以作为逆变和协变矢量之间的变换张量,也即对任意逆变矢量Aμ有： gμ νAμ=Aν,即gμ ν具有降指标的作用.反之,可以定义一个逆变度规张量,使它具有升指标的作用,两边同乘以gρ ν得：gρ νgμ νAμ=gρ νAν=Aρ,显然,要使此式成立,必须满足：gρ νgμ ν=( 若写成矩阵形式就是单位矩阵),也就是说,作为矩阵而言,逆变度规gρ ν是协变度规gμ ν的逆矩阵！既然是一种约定或定义,自然和坐标系无关,即在K′中也有：g′ρ ν=.
度规不仅能升降矢量的指标,也能升降张量的指标.因为张量可以看成矢量的外积.若Tμ ν=AμBν,=AμBρ,T μ ρ=AμBρ,则有gρ vTμ v=Aμgρ vBv=AμBρ=.这种升降作用对任意阶张量都成立.显然,逆变和协变矢量之间的变换张量与度规张量相差一个常数,意味着作为升降指标用的度规有一定的不确定性(可相差一个常数因子,这具有深远的意义).
4.1 混合度规张量的特性及n维空间中距离微元平方ds2的最一般表示
许多相对论专著中如文献[1-4],只讨论二阶协变度规gμ ν和二阶逆变度规gρ ν,从不讨论二阶混合度规.事实上,如果我们把gρ ν看做一个普通张量,由于gμ ν具有降指标的作用,所以有：gρ νgμ ν==.换句话说,混合度规张量也就是克罗内克张量(单位矩阵).
根据上面所述,度规具有升降指标的作用,由此我们可以写出n维空间中,无限靠近的两点之间的距离微元平方ds2的最一般表达式
ds2=gμ νdxμdxν=dxνdxν=dxμdxμ=
gμ νdxμdxν=dxνdxν=dxμdxμ=
婴幼儿上颌骨骨髓炎4.2 度规张量的几何意义
4.2.1 协变度规的几何意义
迄今为止,很少见到有人能对度规张量的几何意义和物理意义作出系统的解释,这对初学者而言,是一个极大的障碍,是跨入广义相对论大门的最大绊脚石.
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众所周知,选择不同的坐标系实际上就是选择不同的基矢，在球坐标系中(r,θ,φ),设3个正交
方向的单位矢量分别为：er,eθ,eφ,则空间任意两个无限邻近的点之间的矢量为ds=drer+rdθeθ+rsin θdφeφ=(er)dr+(reθ)dθ+(rsin θeφ)dφ=αrdr+αθdθ+αφdφ,其中αr=er,αθ=reθ,αφ=rsin θeφ为3个方向的基矢,由此得ds2=ds·ds=(αr·αr)dr2+(αθ·αθ)dθ2+(αφ·αφ)dφ2=dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2.根据度规的定义可知,g11=grr=α1·α1=αr·αr=1,g22=gθθ=α2·α2=αθ·αθ=r2,g33=gφφ=α3·α3=αφ·αφ=r2sin2θ,其他交叉项gij=αi·αj=0(i≠j).
不失一般性,在任意n维非正交曲线坐标系中,无限靠近的两点之间的空间矢量可以表示为ds=αμdxμ=ανdxν,因此,ds2=ds·ds=(αμdxμ)·(ανdxν)=(αμ·αν)dxμdxν,与黎曼的定义式：ds2=gμ νdxμdxν相比较,立即可得
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