力Ｊ１．镌ｓＤｍ胁珊蹦如２００８年５月
Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的联系和本质区别
张丽君
（山西师范大学数计学院，山西临汾０４１００４）
【摘要】Ｒｉｅｍａｎｎ在１９世纪中期引入了Ｒｉｅｍａｎｎ积分．比较完整深刻的提出定积分概念的实质。２０世纪初，集合论的观点引起积分学的变革，ｋｂｅ８舭以集合测度为基础，对Ｒｉｅｎｍｎ积分的定义加以改造．建立‰舭积分的概念。在一般的分析书中，揭示了Ｒｉｏ－１ｌｌＳＩＬｒｌ积分和ＩＪｅｂｅＢｇＩ埒积分的联系，指出了ｋｂｅ孵地积分是Ｒｉｅｍａｎｎ积分的一种推广，井为一般的有界函数的Ｒｉｅｍａｎｎ积分提出了简明的判别准则，并没有指出它们之间的本质区别。本文将从Ｒｉｅｍａｒｍ积分和Ｌｅｂｅａｇｕｅ积分的定义和联系入手，去探讨它们之同的本质的区别：从Ｒｉｅｍａｎｎ积分推广到１．ｄａｅｓｇｕｅ积分的本质是从不完备空间Ｒ［ａ，ｂ］到完备空间Ｌ［ａ’ｂ】的扩充。 【关键词】Ｒｉｅｍａｒｍ积分；Ｉ，ｅｂｅｓｇｕｅ积分；完备空间；Ｌ［ａ，ｂ】Ｒ［ａ，ｂ】‘
１．引言
积分真正的发展要在１７世纪以后，经过半个世纪的酝酿，牛顿的＜流
数简论＞标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献。进
入１８世纪，数学的发展进入了分析的时代，欧拉对微积分的进步作出了
巨大的贡献，但是积分的概念一直受面积观念的影响，直到柯西才真正的
从分析的角度给出了积分的构造性定义，此外，柯西具有创造性的从“和
式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立的个体从微分中分离出来，
并且积分作为“和式极限”的观点，为在数学分析中引入重积分，曲线和曲
面积分创造了条件，为引进其他类型的积分，如Ｒ／ｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｃ
积分创造了条件。
金善雅电影２．Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介。
积分的发展和函数概念的发展是密不可分的。积分理论一直和函数
的连续性紧密的联系在一起。随着傅立叶的不连续函数可以用三角级数
和来表示，这样便提出了一个问题：是否可以将只适用于连续函数的积分
推广到更为一般的函数上呢？
２．１．彪ｅｍａｎｎ积分简介ｏ
Ｒ／ｅｍａｔｍｌ８２６年生于汉诺威的步雷斯伦茨，１８６６年卒于意大利的塞那
斯加。在研究傅立叶级数时，曾不断的尝试使更广泛一类的函数可以用
傅立叶级数来表示。这个想法依赖与对傅立叶级数中的被积函数月喾）的
范围。于是１８５３年他写了为取得大学教授资格而写得一篇题为＜用三角
级数来表示函数＞的论文。在这篇文章中，黎曼用了四页的篇幅给出了他
的定积分的定义以及可积性准则，除了这几页之外，黎曼再也没有从事过 积分理论的研究，尽管如此，黎蔓在这篇文章中体现的极为深刻的积分思
患使他成为对近代积分学影响最大的数学家之一。直到１８８７年这篇文
章才被发表，当时黎曼已去世。
黎曼的定积分定义如下：
取处于口和ｂ之间的数列毛，恕…，Ｘｔｔ－｜按大小排列，为简单起见把ｚｌ
－－ｔｌ，勉一茹Ｉ…。ｂ－－Ｘｎ．１分别记做南。岛，…，瓦。这时和式：
ｓ＝６Ｌ代ａ＋占１５１）＋Ｉ￥√Ｉｌｌ＋占。岛）＋…＋６，以Ｘｔｔ．１＋宣。氐）值．与区问
最和数巩的选择有关。如果和５具有这样的性质：无论岛和数毋怎么选
择，只要所有的最的值无限减小，它就趋于一个固定的极限Ａ，这个极限
记为』欤ｚ）出这样取岛为区间中的任一点，刚“茹）在［口，ｂ］上的积分定 义为：
．■
』欤聋）如＝鲰．矾龟）（毛－Ｚｉ—１）
从黎曼积分的定义可以看到。求黎曼积分的时候采取一种逼近的方法。包括两个步骤：其一为剖分，其二为取极限。黎曼的积分思想和柯西的积分思想一样，都是把区间分成一些小区间，然后构造相应的近似和。但是黎曼把连续函数推广到有界函数。定义了积分以后，那么什么情况下的函数是可积的呢？黎曼又给出了可积性准则：
对于有界函数，（＃），把［４，６］分割成子区间：△写Ｉ，Ａｘ２…，Ｘｘ。，并以最大值和最小值之差定义为＾茹）在各子区问上的振幅。当最大的△毛趋■
于０时，和式ｓ＝ｚ只吼）厶喾ｊ趋于一个唯一的极限的一个充要条件是：对任意的口＞Ｏ，存在一个分割使得，（，）的振幅在大于口的那些区间的总长度可以任意的小。
根据黎曼的理论，连续函数是可积的。如果从积分的几何背景来说，以连续曲线围成的平面图形是能够计算面积的，这样黎曼积分也成了计算面积的有利工具。
作者简介：张丽君，山西师范大学教计学院。
黎曼积分所考虑的是有穷区间上的有界函数，对于区间有穷和函数
有界两个方面加以推广便得到了无穷积分和暇积分。对于这些推广我们不做仔细讨论，我们转向黎曼积分在理论上更为重要的一种推广——·￡ｅ６－ｔｓｇｕｅ积分ｏ
２．２．Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介ｏ
１９世纪末集合论的建立为微积分的变革奠定了理论基础，科学家们开始着手改进并推广黎曼积分，主要的办法是扩大可积函数类，使得它能保持黎曼积分的几何壹观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改变，沿这条路走下去就产生了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分。
／，ｅｂｅｓｇｕｅｌ８７５年生于博韦，１９４１年卒于巴黎。在巴黎高等师范学校学习期间是Ｂｏｒｅ／的学生。在此期间Ｌｅｂｅｓｇｕｅ接触到了Ｂｏｒｄ的关于论述点集测度新方法的（函数论讲义＞以及法国数学家尼Ｌ妇妇关于不连续实变函数的论文，向Ｌｅｂｅｓｇｕｅ揭示了在这个领域中可以探索的空间是多么的广阔。１８９９到１９０２年，Ｌｅｂｅｓｇｕｅ在南锡中心中学任教期间进一步发展了他在巴黎大学所作的博士论文＜积分长度面积＞中的思想。在这篇论文中，他第一次叙述了有关测度和积分的内容。
２．２．１．。病态函数”促进了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的产生。
古典数学研究的函数一般都是有连续的导函数的，甚至是无穷次可微的光滑函数，但是数学家们陆续
发现了一些奇异的函数，例如Ｄ／ｒ／ｃ．ｈ／ａ函数就是这样的一个“病态函数”。（Ｄ／ｒ／＆／越函数为定义在区间［０，１］上的函数，它在有理点处取值０，无理点处取值１）正是这些“病态函数”的出现对古典数学规律提出了挑战，促使新概念新定义的出现和新理论的建立，开拓并在更高的层次上得到统一。
２．２．２．ｔｅｂｅｓｇｕｅ测度
首先应该提出的是Ｌｅｂｅｓｇｕｅ在前人研究的基础上提出了自己的测度概念，在实便函数论中我们提到过，这里做一个简要的说明：
给定实数轴的一个子集Ｅ，对每一列覆盖Ｅ的开区问＾，
矽以）Ｅ，作出它的长度总和ｐ＝．置Ｉｔ，ｌ，所有这一切的ｐ组成一个下方有界的数集，它的下确界称为Ｅ的１．，ｅｂｅｓｇｕｅ外测度，记为ｉｎ·Ｅ，如果Ｅ
ｃ［ａ，ｂ］，则Ｅ的内测度定义为ｍ村＝（ｂ一口）一ｍ’（［口，ｂ］／ｅ）。当ｍ‘／嚣＝ｍ。Ｅ时，称层是／，ｅｂｅｓｇｕｏ可测的。
Ｌｅｂｅｓｇｕｅ所定义的测度满足可数可加性，这个性质十分重要，比如说［ｏ，ｌ】中的有理数集合Ｑ，对于黎曼而言是不可测的。如果采用Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，则口是可测的。这样Ｌｅｂｅ
ｓｇｕｅ所定义的可数可加性的测度下，可测集的范围得以扩大。
２．２．３．／，ｅｂｅｓｇｕｅ积分的定义。
ｔｅｂｅｓｇｕｅ在讲到他的积分时作过这样的一个比喻：。我必须偿还一笔
钱，如果我从口袋中随意摸出各种不同面值的钞票，逐一的还给债主到全部还清，这就是黎曼积分，如果我把钱全拿出来并把相同面值的钱放到一起。然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分。
设Ｅ是一可测集．，，诹＜＋＊以膏）是Ｅ上的有界函数，将，，＝，（膏）在区间［４，６］上的值的下确界Ａ和上确界口之问的线段分成ｎ个小区间：［Ｙｏ，，，ｌ】，［，，ｔ，毙】，…．［ｈ—ｌ，靠］。其中：Ｙｏ＝＾，ｈ＝Ｂｏ氯甲苯
记毛＝｛ｇＩｙｊ．１苎砜茹）＜Ｙｌ｝，任取磊ｅ［咒一Ｉ，扎】（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），作和式：
ｓ∽Ｄ）＝．互毒ｍ（最）
●ｔＵ
记：＾＝．一ｌ儿一九．１Ｉ，若极限魄ｓ（，’Ｄ）存在，则称，（量）在岳上Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积，称其极限值为＾ｇ）在Ｅ上的ｔｅｂｅｓｇｕｔ积分。
力ＪｆＩ镌姒胁柚航嘻２００８年５月大白鲨光驱
记作：ＪＥ只＃）拥ｏ
３．ｍ绷彻ｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的简单比较
在厶６掣ｅ积分的意义下，可积函数的范围扩大了。Ｌｅｂｅｓｇｕｅ证明出，尽管一个函数是处处都不连续的，但只要它是可测的｛，（，）是定义在可测集Ｅ上的实函数，若对每一个实数４。集ＥＵ‘口）恒可测，则称，（茹）是Ｅ上的可测函数｝，那么它就是可积的。
可积函数有一个很好的性质：若以ｚ）是可测集层上的有界可测函数，则改变，（＃）在一零测度集合上的数值之后，不影响其可积性，也不影响积分值。
在实变函数论中的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的一个经典的例子就是Ｄ／ｒ／ｃｈ／雹函数的积分，这里就不再细说明了。
而且Ｌｅ／地ｓ６，ｕｅ还给出了触胁可积的充要条件：定义在区间［口，６］上的有界函数以ｚ）
是Ｒ切ｍｎｎ可积的，当且仅当厂（ｚ）的不连续点所组成集合的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度是零。这个准则除了叙述上很优美之外，更重要的是它使人们更加深刻而清楚的意识到真正决定Ｒ／ｏｎａｎｎ可积的不是不连续点的“多少”而是这些不连续点的。长度”。
Ｌｅｂｅｚｇｕｅ积分优于Ｒ／ｅｎｕｍｎ积分的另一点就是减弱了积分号和极限号换序的条件。对于Ｒｋ＇ｍａｎｎ而言，只有在一致收敛的条件下，积分和极限的顺序才可以交换。Ｌｅｂｅｓｇｕｅ对此进行了改进，提出了有界收敛定理。
‘
设∽（譬）｝是层上的一列可测函数，且∽（茹）｝在层上几乎处处收敛子，（ｚ），而且吮（算）Ｉｓ，ｏ则，（茹）在层上厶咖可积，且ｆ以富）如＝跏五（＃）出。
■－－■
这个定理中体现了ｋ６铷伴积分中的几个重要的思想：（１）把连续函数推广到了可测函数，此类函数的优越性在于其函数列的极限仍然是可测函数，在某一零测集上不收敛不能破坏起可测性。（２）提出了独特的。几乎处处”的概念，即Ａ是与集合Ｅ中的点有关的命题，若使Ａ不成立的点的全体的／ｅｂｅｓＳ－ｕｅ测度为零，则称Ａ在Ｅ上“几乎处处”成立。
我们现在拿伪ｉｃｈ细函数作为一个例子：把［Ｏ，１］中的有理点依次排列为，Ｉ，ｒ２…，ｒ－，…作函数：
中国学习网。，、ｒ１，斑｛ｒｌ，ｒ２，…，～ｔ１
％¨Ｊ２ｉｏ，其余点ｊ
每个Ｄ。（＊）显然是可测的，并且Ｄ。（＊）５Ｄ（善）。由于
ｎ—●■
铷Ｄ。（喾）＝Ｄ（＊），』５Ｄ。（茹）ｄｘ＝０，
于是由Ｌｅｂｅｓｓｕｅ有界收敛定理知：
』５Ｄ（ｇ）出＝／／ｒａ』５Ｄ。（髫）ｄｘ＝０
如果从Ｒ／ｆｍａｔｍ积分的角度来看的话。尽管。但是的极限根本不是Ｒ／ｅｍａｎｎ可积的，也就更谈不上积分与极限的换序问题了。
４．Ｒ／ｅｍａｎｒｔ积分和Ｌｅｂｅ强ｇｕｅ积分的本质区别
通过上面的内容我们看到如６锷聊积分是对于Ｒ／ｅｍａｎｎ积分的一种推广，那么Ｒ／ｅｍａｎ／ｔ积分和Ｌｅｂ∞ｇｕｅ积分之间最本质的区别是什么呢？下面我们从他们的定义出发，利用空问的完备性概念加以讨论。
我们先给出以下几个定义：
定义ｌ设ｘ是一个非空的集合，若对于工中的任意两个元素ｘ，ｙ，都有唯一确定的实数ｄ（茹。Ｙ）与之对应，并且满足：
（１）ｄ（＃，ｙ）≥Ｏ，ｄ（＃，，，）＝Ｏ的充要条件是茗＝，，
（２）对于任意的疆，都有ｄ（ｘ。ｙ）ｓｄ（髫，ｚ）＋ｄ（＝，），）
则称ｄ（＃，ｙ）是＃与ｙ之间的距离，称ｚ为距离空间，记作ｘ＝（工，ｄ）。
定义２设工＝（ｘ，ｄ）是距离空间，｛％｝是ｘ中的点列（元索列），如果对于任意给的正数占＞０，存在自然数Ⅳ；Ⅳ（占），使得当聘，ｍ＞Ⅳ时，必有ｄ（‰，“）＜量，则称｛％｝是ｘ中的基本点列。如果对于ｘ中的每个基本点列，都存在点糕ｚ，使得ｌｉｍｄ（ｘ。，茹）＝Ｏ。则称距离空间ｘ是完备的。
南京海关
令Ｒ［口，６］表示在区间［口，６］上的全体ＲＬ．ｍａｎａ可积函数。Ｌ［４，ｂ］表示在区间［口，ｂ］上的全体厶咖可积函数。在Ｒ［口，６］和Ⅱａ，ｂ］引入距离：ｄ∽量）；Ｊ：ｌ，（霉）－ｇ（ｘ）Ｉ如。可知Ｒ［口，ｂ］和Ⅱ４，ｂ］在此距离下为距离空间。
命题ｌ。剐口，６］是一个不完备的空间。
证明：不失一般性，取口＝Ｏ，ｂ＝ｌ，在区间［０。１］上做一个完备集Ｐｏ
１
使得ｍＰｏ＝÷。为此只要确定关于Ｐｏ的补集岛就可以了。
‘
我们构造岛如下：
作者简介：张丽君。山西师范大学数计学院。
第一组取中点在÷，长度为÷的开区间（砉，砉），第二组取中枣分别在歹３与歹１３，长度为ｉ－ｂ的两个开区间，…，第ｎ组取余下的区间的中点为中点，长度分别为石ｉ。÷ｉ鬲的２”１个开区间，显然这些区间互不相交，所取出的这些区间的全体记倌ｃ０则
．１２２２
２一一Ｉ１‘响？下＋弼ｉ＋歹刁＂”＋万啊ｐ”２丁
而且Ｐｏ＝［ｏ，１】一岛是一完备集，，喝＝ｍ［ｏ，１］一ｍｏｏ＝÷。
下面我们在ＥＯ，１］上定义一个函数列：
，、ｒ１，当髫在Ｇｏ的前ｎ组中
‰‘列２Ｉｏ，当；不在Ｇｏ的前ｎ组中
显然有：９ｔ（善）ｓ妒２（＃）ｓ…ｓ９．ｓ…
而：（Ｒ）Ｊ概（茹）出＝。虿南．
从而对任给的暑＞０，只要ｎ足够的大就有：
（月）』５Ｉ‰－（ｘ）’妒－（＊）Ｉｄａ＝▲三ｌ方＜芎
所以｛妒．（菇）｝是空间ａｌｏ，１］上的基本点列。并且显然有：
搿／／ｍ小ｈ㈤＝艨竺筹
又因为妒（算）在Ｐｏ上不连续，并且，哦＝÷。所以在妒［ｏ，１］上不是Ｒ／ｅｍａｎｎ可积的。所以ＲＥ０，１］不是完备空问。
命题２Ⅱ口，ｂ］是一个完备空间。
证明：设函数列五（＃）吐［ｏ，ｂ］是空间“口，ｂ］上的基本点列。即对任意的占＞０。有自然数Ｎ。当ｎ．ｍ＞Ⅳ时。有
』［。．‘】帆（∞）一厶（＃）ｌ☆＜８
设：Ｅ＝｛簖帆（ｚ）一厶（＊）≥６ｌ｝则：
跏（Ｅ）ｓ（Ｌ）ｈ嘛（茗）一厶（＊）ｌ出ｓ（Ｌ）Ｊ：吮（ｇ）一厶（＊）Ｉ出＜暑
于是由脓：定理以依测度收敛于，ｏ从而有子序列依测度收敛于二
下面证明以Ｉ即可。显然五Ｉ也是基本列，即：·对上面的Ｆ，当时‰。ｎ；＞Ｎ时，有
ｄ瓴Ｉ以１）＝（Ｌ）』：哌Ｉ（＊）一无ｊ（茹）Ｉ如＜置
另一方面：
当ｎ‘一＋＊时。帆Ｉ（茹）吒ｌ（茗）Ｉ几乎处处依测度收敛于ｔｆ（茹）一厶·（膏）Ｉ。由胁引理：’
ｄＬ‘。∞＝（Ｌ）Ｊ：Ｉｆ（髫）．．厶Ｉ（ｚ）Ｉ出
ｓ枷（￡）』：吮·（＃）吒ｉ（善）Ｉ也
Ｈ－
＜占
故，—五Ｉ吐［口。ｂ］从而，＝五‘＋（厂—五ｊ）正［ａ，ｂ］。
于是：ｄ∽力＝ｄ瓴工Ｉ）＋ｄ∽Ｉ力（掌
所以：枷五＝，从而：肛口，ｂ］是完备空间。
＿’＋－
结论：
从Ｒ／ｅｒｎａｎｎ积分推广到厶６唧”积分的本质是从不完备空间Ｒ［ｏ。ｂ】到完备空间Ⅱ口，６］的扩充。．
【参考文献】‘
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Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别
作者：张丽君
作者单位：山西师范大学数计学院，山西，临汾,041004
刊名：
南北桥
英文刊名：SOUTH NORTH BRIDGE
年，卷(期)：2008，""(5)
被引用次数：0次
参考文献(6条)
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