黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
数学系1302班第五组
07 樊萌
12 韩鸿林
19 兰星
21 李鸿燕
45 王堃
51 武相伶
54 许小亭
57 杨莉
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
ﻩ
1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ，上有界，对[]b a ，做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10，其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ， (){}
i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11
-=-=∑i i n
i i x x m s
()11
-=-=∑i i n
i i x x M S ，若有
dx s dx S b
a
b a
⎰⎰=
则称()x f 在[]b a ，上黎曼可积.
2、勒贝格积分定义：,
0>∀δ，作M y y y m n =<<= 10,，其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界，令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i n
i i mE y ∑=-→110
lim δ存在，则()x f 勒贝格可
积.
3、一般的可测函数的积分定义为：设在可测集E 上可测，若记 ()(){}
0,m ax x f x f
=+
,()(){}
0,m in x f x f
-=-
，则有
()()()
x f x f
x f -+
-=，若
()dx x f E
+⎰
,()dx x f
E
_
⎰不同时为∞，则()x f 在E 上的积分确定且
()()()dx x f dx x f dx x f E
E
王劲屹
E
-+⎰⎰
⎰-=.
4、 简单函数的勒贝格积分定义：设()x f 是可测集E 上的非负简单函数，于是有对E 的划分i E ，n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ，则()i E n
i i c x f χ∑==1，定义()x f 的勒贝格积
分为()i n
i i E
mE c dm x f ∑⎰==1
，若()∞<⎰dm x f E
，则称()x f 在E 上勒贝格可积．
5、非负可测函数的勒贝格积分定义：取E 上的非负简单函数列()x f n ，对任意的
E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ，则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为
()()dm x f dm x f E
E
n n ⎰⎰=∞
→lim .
对一般的函数由于()()()x f x f中国禽病论坛网
x f -+
-=，则
()()()dm x f dm x f dm x f
HDCPE
E
E
⎰⎰⎰
=--+
．
若左端的两个积分值都有限时，称()x f 在E 上勒贝格可积．
勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积．
黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较
黎曼可积的条件
㈠黎曼可积的条件必要条件
定义在[]b a ，上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ，上有界.
注 任何黎曼可积的函数必有界，但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件
１、设()x f 是定义在[]b a ，上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在
[]b a ，上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即
设()x f 在[]b a ，上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ，的任一分割，其中令
(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i n
i i x x m s ，
()11
-=-=∑i i n
i i x x M S ,n i ,2,1=有
dx s dx S b
a
b a
⎰⎰=.
2、设()x f 是定义在[]b a ，上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ，
总存在某一分割T ，使得
()i i i i
n
i i m M w x
w -=<∆∑=ξ1
．
3、设()x f 是定义在[]b a ，上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ，总存在某一分割T ，使得
()()ξ<-T s T S 成立.
4、定义在[]b a ，上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ，上的一切间断点构成一个零测度集.
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注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件
１、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数，则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ，总存在E 的某一分割D ，使得
ξ<∑i
i
i mE
w .
２、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数，则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.
3、设()x f 在[]b a ，上的黎曼反常积分存在，则()x f 在[]b a ，上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ，上的黎曼反常积分存在，且有
()[]
()⎰⎰=b
a b
a dx x f dm x f ,． 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在，且
()M dx x f E
n <⎰，则()x f 在E 上勒贝格可积.
5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数，则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.
黎曼积分与勒贝格积分的性质比较
灭滴灵黎曼积分的性质
1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ，上黎曼可积函数，则
()()x g x f +，()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ，上黎曼可积．
注
()()()()dx x g dx x f dx x g x f b a
b a
b a
⎰⎰⎰+=+，但()()()()dx x g dx x f dx x f x g b
a
b a
b a
⎰⎰⎰≠.
2、(区域可加性)设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ，上都黎曼可积，则()x f 在[]b a ，上也黎曼可积，且有
()()()dx x f dx x f dx x f b
c
c a
b a
三氧化铬⎰⎰⎰+=.
3、（单调性)若()x f ，()x g 是定义在[]b a ，上黎曼可积，且()()x g x f ≤，则
()()dx x g dx x f b
a
b a
⎰⎰≤.
4、（可积必绝对可积)若()x f 在[]b a ，上黎曼可积，则()x f 在[]b a ，上也黎曼可积，且有
()()dx x f dx x f b
a
b a
⎰⎰≤.
注 其逆命题不成立.
5、若()x f 在[]b a ，上黎曼可积，则在[]b a ，的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ，上的积分值.
6、若()x f 是[]b a ，上非负且连续的函数，若有()01
0=⎰dx x f ，则()x f 在[]b a ，上恒等于零.
7、若()x f ,()x g 是[]b a ，上的黎曼可积函数，则()(){}x g x f M ,m ax = ,
()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ，上也黎曼可积.
8、若()x f 在[]b a ，上黎曼可积,()x f 1在[]b a ，上有定义且有界，则()
x f 1
也在[]b a ，上黎曼可积.
勒贝格积分的性质
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