⾃从我们发布阿蒂亚爵⼠以及北京⼤学82岁退休教授李忠宣布证明黎曼猜想的消息（《实锤！北⼤退休教授已于13⽇在中科院报告黎曼猜想的证明》）后，除了众多⽹友的指教（我们表⽰感谢），还有些⽹友（在头条号“和乐数学”上）问什么是黎曼猜想? 我们不揣浅陋，试着介绍⼀点⽪⽑。 关于黎曼猜想的⼀个热门评论是：⼀脸懵逼地进来，⼀脸懵逼地出去。
为了避免这⼀点，我们尽可能通俗地讲点数学，讲点故事。
没有数学内容，就很难对黎曼猜想有好的了解，就像欣赏⾳乐，如果不讲点⾳乐知识，可能不易使读者真正对⾳乐有真正的欣赏。
当然，我们也有故事。这样，如果有我们没讲清楚数学的地⽅，希望故事还有点趣，读者跳着读读还会有些收获。
怎样了解黎曼猜想呢？黎曼猜想经过159年的研究，⾃然有不少故事。我们不妨从源头开始看起，看黎曼为什么要提出这样⼀个猜想。很多时候，问题的起源可能是最重要的。
黎曼猜想是历史上最伟⼤数学家之⼀的黎曼在1859年在⼀篇名为《论⼩于给定数的素数的个数》⽂章中提出的。 波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826—1866年)是德国著名的数学家，受过⾼斯的指导。黎曼⼀⽣只活了40岁，论⽂也不多，但他的每⼀篇论⽂⼏乎都开创了⼀个学科⼀个⽅向。特别是他开创了黎曼⼏何，给后来爱因斯坦的⼴义相对论提供了数学基础。
如果你只想在⼀分钟之内了解黎曼猜想，黎曼猜想那就是下⾯这段话：
与素数分布有关，并猜测该函数的⾮平凡零点恰好在实部为1/2的直线上。这个函数现在称为黎曼ζ（zeta）函数。
黎曼提出这个猜想不是瞎想，他⽼⽼实实地算了很多值。当然他没有发表。⼀个著名的传奇是，有⼈从黎曼留下的草稿中发下了黎曼的⼀个计算公式，还得了，这就是现在称为黎曼-西格尔公式的计算公式。
如果你想多了解⼀点，且容我们慢慢道来。
⼀、素数与素数计数函数
素数定义（其中有个错误，你能发现吗？）
黎曼的研究源于数论。数论是数学的⼥王。素数性质的研究⼀直是数论研究的要点和难点，最近张益唐有关孪⽣素数猜想的突破就曾引起轰动。
所谓素数就是只有1和⾃⾝为因⼦且⼤于1的正整数（⼩学中⼀般称为质数），如2，3，5，7，11，13，17，19，23等。（⼤于1就排除1是素数）
素数分布
素数为什么重要呢？⼀个原因是它是构造所有整数的基础材料。任何⼀个整数都可以唯⼀地分解为素数的乘积，这叫做素数基本定理。例如，72=2^3*3^2.
为了素数基本定理的简洁叙述或许是规定1不是素数的⼀个原因：这样将⼀个整数表⽰为素因⼦之乘积的时候，有唯⼀表⽰，例如 18=2*3*3，避免另⼀种“素因⼦”表⽰：18=1*2*3*3）。
早在古希腊时期，亚历⼭⼤城的欧⼏⾥得已经指导如何⽤反证法证明了素数有⽆穷个多个（顺便说⼀句，这是有史记载的第⼀个反证法证明的例⼦）。欧⼏⾥得说，如果只有有限个素数，设为p1,p2,...,pn，则它们的乘积与1之和
p1*p2*...*pn+1不能不是素数，因为如果不是素数，应该能被p1,p2,...,pn中⾄少⼀个整除，但事实上，⽤p1,p2,...,pn中任意⼀个数除p1*p2*...*pn+1时，总有余数1。但p1*p2*...*pn+1是⼀个新的素数，从⽽
⽭盾。
欧⼏⾥得
关于素数的⼀个⾸当其冲的问题就是素数是如何分布的，如何产⽣的。
有没有⼀个产⽣素数的公式呢？这可能是许多⼈都会想起的问题。事实上，欧拉也想到了，⽽且发现了⼀个很好的公式，可惜的是，并不能产⽣所有的素数，这个公式产⽣的数也不全是素数。如果很幸运，恰好是素数，就称这个数为欧拉素数。
欧拉
欧拉提出的公式是 n^2+n+41. 我们可以检测下：
0^2+0+41=41
1^2+1+41=43,
2^2+2+41=47,
北京社会函授大学3^2+3+41=53,
4^2+4+41=61
都是素数。这个公式⾜够神奇了。然⽽，当n=40时，
40^2+40+41=1681
不是素数：1681=41*41.2012年2月6日
为了研究素数如何分布，数学家们研究⼩于给定数的素数的个数，并直接定义了⼀个素数计数函数π(x)，⽤它表⽰⼩于或等于x的素数的个数。
例如，⼩于或等于3的素数只有2个，即2和3，所以π(3)=2；⼩于或等于10的素数有4个：2，3，5，7，所以π(10) = 4；⼩于或等于20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，⼀共8个，所以π(20)=8.
下⾯的表格的第2列列出了π(x)的⼀些取值。有了计算机，是不难算出这个函数的⼀些取值的。读者可以想想在⾼斯那时代是如何计算的呢？
⼆、欧拉与黎曼ζ函数
让我们且将素数计数函数按下不表，先回到黎曼ζ函数。这⾥要仔细了解⼏点：
1.黎曼ζ函数中的⾃变量s是复数，即x+iy这样的复数。
1.黎曼ζ函数中的⾃变量s是复数，即x+iy这样的复数。
2.零点就是指使得ζ函数取值为0的s的值。
3.黎曼注意到ζ函数有平凡的零点，就是负偶整数：-2，-4，-6，-8......。
了解黎曼猜想的⼀个难点是要了解这个函数的定义，也就是这个⽆穷和是什么意思。
我们先从s是实数时的ζ函数谈起。
当s时实数时，这个⽆穷和（级数）只有当s>1时才是收敛的，也就是说，这个求和才有意义。例如，当s=1是，这个求和就是著名的调和级数
1+1/2+1/3+1/4+...
这个求和的量虽然积累起来很慢，当加到⾜够多的项时，这个和可以超过任何预先给定的数，也就是说这个和时⽆穷⼤的。数学上讲，就是说这个级数发散。
⼜如，当s=-1时，这个和显然就是
1+2+3+4+5+...
四川西昌
显然，这个和是⽆穷⼤。
在黎曼之前，数学巨匠欧拉已经发现了调和级数与素数奥秘。欧拉⽤调和级数发散证明了素数有⽆穷多个。计算如下：
其中p表⽰素数。因为调和级数是发散的，所以所有素数的倒数和也必定是发散的。否则，如果素数个数有限，就有⽭盾，所以素数有⽆穷多个。
欧拉的发现打开了⽤分析⽅法研究素数之门，也启发了黎曼的研究。（将另⽂介绍欧拉的研究）
黎曼将欧拉研究过的级数加以推⼴。
他说变量s可以是复数，通过解析延拓，函数对所有复数都有了定义。特别，ζ函数在s=-1时的值为-1/12。粗略地说，就是所有正整数的和为-1/12.
解析延拓是数学上将解析函数从较⼩定义域拓展到更⼤定义域的⽅法。透过此⽅法，⼀些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异⽽有限的值。其中最知名的例⼦为Γ函数与黎曼ζ函数。解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数。
三、素数定理
从黎曼⽂章的标题可见，黎曼猜想与素数在⾃然数中的分布有关。⾼斯通过统计，曾正确地猜测：当x充分⼤时，⼩于或等于给定数x的素数个数π(x)近似为x/log(x)。
⽤公式表⽰就是：
这就是所谓的素数定理。请⼤家复习上⾯的素数计数函数表。
⾼斯
伟⼤的数学家⾼斯亲⼿计算了很多值（这是⾼斯最可怕之处，不但天才，⽽且还能动⼿做常⼈不愿意做的事情），但他并没有能给出证明——可见其难。德国有本畅销书，有中译，叫《丈量世界》（从数学名词的翻译看，该书翻译不佳），讲述⾼斯与洪堡的故事。其中⼀个故事讲⾼斯⼩时候去见资助⼈斐迪南公爵时，还在⼼底默默数数，数素数。
佳），讲述⾼斯与洪堡的故事。其中⼀个故事讲⾼斯⼩时候去见资助⼈斐迪南公爵时，还在⼼底默默数数，数素数。
勒让德
另⼀位数学家，勒让德，也在1798年猜测到了这个素数定理结果。
数学家的⼀⼤悲剧是碰到像⾼斯这样的⾼⼿：既⽣瑜何⽣亮。勒让德在正态分布上也由重要发现，但最终，正态分布仍常被称为⾼斯分布。另⼀个悲情如勒让德的还有发现⾮欧⼏何的匈⽛利年前天才数学家鲍耶·雅诺什。雅诺什也是发现⾼斯早就发现了⾮欧⼏何的存在。
俄罗斯著名数学家切⽐雪夫是彼得堡数学学派的第⼆创始⼈（第⼀⼈是欧拉）。概率论中有个切⽐雪夫不等式，
就是以他的名字命名的。他对数论颇有研究，例如他曾证明，在n和2n之间必有素数。
1851年/52年，切⽐雪夫证明，如果极限
阿西土陶
感知不能存在，则这个极限⼀定是1，⽽且还证明了
但他仍然没能证明。
阿达马
直到1896年，法国数学家雅克·阿达马（Jacques-Salomon Hadamard ）和⽐利时数学家德拉⽡莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）才先后独⽴给出素数定理的证明证明。
我们对阿达马应该感到亲切。1935年，受熊庆来的邀请，阿达马与美国著名数学家、现代控制论创始⼈维纳（N. Wiener）到清华⼤学讲学。在阿达马的影响下，许多⼈赴法留学。
阿达马还向华罗庚介绍了苏联的维洛格拉朵夫及韦尔和⽅法。阿达马告诉华罗庚，维诺格拉朵夫对华林问题的研究⾮常出⾊，该问题是这⽅⾯研究的主要⽅向，从此华罗庚进⼊了研究堆垒数论的主流。在以后相当长的时间中，华罗庚的⼯作受到维诺格拉朵夫的影响。阿达玛讲学时，最后只有华罗庚坐在下⾯听讲从这个⽅⾯说，黎曼猜想的研究与中国数论的研究有密切的渊源。
阿达马等⼈的证明⽤到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。
塞尔伯格
因为⼈们对黎曼ζ函数感到不可捉摸，毕竟其零点还不清楚。所以，⼈们⼀直希望有个初等的证明。⼏⼗年之后的1949年，年仅 31 岁的赛尔伯格就⽤初等⽅法重新证明了素数定理——此前的证明⽤到了复分析⽅法。他的证明⽴即轰动了数学界，并使他 1950 年荣获了菲尔兹奖以及1986 年的沃尔夫奖。今年的菲尔兹奖获得者舒尔兹已经是逆天的年轻了，但还是没能打破塞尔伯格的纪录。
著名的流浪数学家爱多⼠也曾在素数定理的初等证明⽅⾯有重要贡献。这⽅⾯曾有过争论，这⾥不再细说。
这个故事看起来很精彩？但这是因为⼈们对黎曼的函数，黎曼的零点还不清楚。
四、黎曼猜想与强素数定理
黎曼猜想所描述的的有关素数分布的性质描述⽐素数定理还要细致。
为了说明这⼀点，让我们引⼊对数积分：
可以证明：
由此可见，素数定理说的就是π(x) ~ Li(x)。
从下⾯的图⽚可以看到素数计数函数是如何被逼近的：
1899，独⽴证明了素数定理的德拉⽡莱普森还证明了
1901年瑞典数学家海⾥格·冯·科赫（Helge von Koch）证明黎曼猜想等价于更精细的估计：
这是⽐素数定理更精细的余项估计。这就是所谓的强条件下的素数定理。
读者应该注意的是余项的阶。
粗略地说，黎曼猜想等价的素数计数函数的估计可以保证：误差在10000倍的估计可以精确到100倍。
科赫
复合矩阵
熟悉数学的同学对这位科赫⽼兄其实并不陌⽣。数学中著名的分析Koch曲线就是他提出来的。
科赫雪花
因此，我们说⼀旦黎曼猜想获证，便能⼤⼤改进素数定理的误差估计。
五、有关黎曼猜想的科普图书
有兴趣的读者可以进⼀步阅读其他科普图书来了解黎曼猜想的历史。中⽂中，卢昌海博⼠的《黎曼猜想漫谈》曾获吴⼤猷科普⾦奖，⾃是有其道理。新浪微博“南⽅科技⼤学”转述“数学⽂化”汤涛院⼠的话说，卢昌海是黎曼猜想科普世界第⼀，此话有待商榷。如果是说时间第⼀，⾃燃不对；汤院⼠应该是指该书的质量吧？
我们想介绍，国外也有些优秀这⽅⾯的科普图书，例如：
1. 德⽐希尔 (John Derbyshire) 的 Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Joseph Henry Press, 2003)
2. 索托伊 (Marcus du Sautoy) 的 The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics (Harper, 2003)
3. 萨巴 (Karl Sabbag) 的 The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Farrar, Straus and Giroux, 2003)
《黎曼博⼠的零点》有中译：
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