黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 ζ(s黄丽满)的定义如下：设一复数 s ，其实数部份 > 1 而且：

在区间 {s : Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。（上式中Re 表示复数的实部。）波恩哈德·黎曼认识到： ζ 函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数 ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示：

这是一个延展到所有的质数p的无穷乘积。这是几何级数的公式和汉语翻译算术基本定理的一个结果。

ζ(s)的零点很重要，因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估算质数个数函数 π(x)。这些路径积分用留数定理计算，所以必须知道被积式的奇异点。

ζ函数满足如下函数方程：

对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ 表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。

欧拉也能计算ζ(2k)，对于偶整数2k，他使用公式

泉州武陵农场其中B2k是伯努力数。从这个，我们可以看到rtiyishuζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 等等。(序列 A046988/A002432 列在OEIS碳的化学性质)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。

我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ函数的倒数如下

对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π2。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论保险电子商务相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律 (Zipf's Law) 和齐夫-曼德尔布罗特定律 (Zipf-Mandelbrot Law) ），还有物理，以及调音的数学理论中。

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