索引
前⾔
本⽂与博⽂有⼀定的内在关联性。
定义
设是奇数，，其中，是素数（也是奇素数），且可以重复；。定义对的Jacobi符号为： 其中是对奇素数的Legendre符号。
注 整数对的Jacobi符号中，只要求是⼤于的奇数，⽽没有和Legendre符号⼀样要求是素数。这是使⽤Jacobi符号的⼀个
优势。
基本性质
设是奇数，，其中，是素数（也是奇素数），。
1. 证明
2. 证明
1. 第⼀步，先证明若是奇数，则
当时，显然有
m ∈Z >1m =p p ⋯p 12r ∀i p i a ∈Z a m (m a
)=(m a
)⋯(p 1a )(p 2a )(p r a )
(p i a )a p i a m (m a
网络营销理论)m 1m m ∈Z >1m =p p ⋯p 12r ∀i p i a ,b ∈Z =(m 1)
1
=(m 1
)
×(p 11)×(p 21)⋯×=(p r 1)1×1×⋯×1=1
=(m −1)
−1=()
2
m −1{
1, m ≡1 mod 4−1, m ≡3 mod 4
p ,p ,⋯,p 12r +2p −11+2p −12⋯+≡
2p −1r ≡2
p −1
(i =1∏
r
i ) mod 2m −1
2
s =1≡2p −11 mod 2p −1
12
假设，考虑
：
由于，是奇数，因此也是奇数，均为偶数，
由第⼀数学归纳法，结论得证。2. 基于上⾯的结论，≡2
mod
2≡
i =1∑
s
2
p −1
i mod 2
p −1(i =1∏
s
i )2−2
p −1
(i =1∏
s +1
i )i =1
∑
s +1全能教教主
2p −1i −2
p −1
(i =1∏
i )i =1∑s +1
2
p −1i =−−2p p −1
s +1(i =1∏
s
i )(i =1∑s
2p −1
i )2p −1s +1≡−− mod 22p p −1s +1(i =1∏s i )2p −1
(i =1∏
s
i )2p −1
s +1=
2
p p −p −p +1s +1(i =1∏s i )(i =1∏
s i )s +1=
2
p −1p −1((i =1∏
s
i ))(s +1)∀i ∈1,2,⋯,s +1{}p i p , p i =1∏
s
i s +1p −(i =1∏
s
i )1, p −s +11p −1p −1((i =1∏
s
i ))(s +1)22−≡
≡0 mod 2
2p −1
(i =1∏
i )i =1∑s +1
2p −1i 2
p −1p −1((i =1∏
i ))(s +1)
⇒≡
mod 2
i =1∑s +1
2p −1i 2
p −1
(i =1∏
s +1i )∃k ∈Z , s.t.
=
2m −1=2
p −1
(i =1∏
r
i )2k +i =1∑r
2
p −1
i
因此有
3. 由于是奇数，所以只存在和两种情况。
1. 当时，。此时
2. 当时，。此时
3. 若，则证明
4-1. =⋯(m −1
)(p 1−1)(p 2−1)(p r −1)=−1−1⋯−1()2
p −11()
2
p −12()
食品标识管理规定2
p −1r =−1()i =1
∑r
2p −1i =−1()+2k
i =1
∑
r
2p −1
i =−1()
2
昆廷 布赖斯m −1m m ≡1 mod 4m ≡3 mod 4m ≡1 mod 4∃k ∈Z , s.t. m =4k +1=(m −1)−1=()2
m −1−1=()24k +1−1
−1=()2k 1
m ≡3 mod 4∃k ∈Z , s.t. m =4k +3=(m −1)−1=()2
m −1−1=()24k +3−1
−1=()2k +1−1
a
≡b mod
m =
(m a
)
(m b )
=(m a )⋯=(p 1a )(p 2a )(p r a )⋯=(p 1b )(p 2b )(p r b )(m b
)
=
(m ab
)
(m a )(m b )
证明
4-2.
证明
思想同4-1。
5. 若，则证明
基于此，有
6. 证明
1. 第⼀步，先证明若是奇数，则
=××⋯×(m ab
)(p 1ab )(p 2ab )(p r ab )
=××⋯×((p 1a )(p 1b ))((p 2a )(p 2b ))((p r a )(p r b ))
=⋯×⋯((p 1a )(p 2a )(p r a ))((p 1b )(p 2b )(p r b ))
=×(m a )(m b )
=
⎝
⎛m
a i =1∏n i
⎠
⎞
i =1∏
n
(m a i
)
gcd b ,m =
()
1=
(m ab 2
)
(m a )
公共设施服务半径
⇒∀i , gcd b ,p =1
gcd b ,m =1()m =p p ⋯p 12r
}(i )⇒∀i , p
⇒=±1, =1
(p i b )(p i b )2
=(m ab 2)=(m a )(m b )2×(m a )1=(m a )
=(m 2)
−1=()
8
m −12{
1, m ≡±1 mod 8−1, m ≡±3 mod 8
p ,p ,⋯,p 12
1. 第⼀步，先证明若是奇数，则
当时，显然有
假设，考虑
：
由于，是奇数，因此也是奇数。再由于任意⼀个奇数的平⽅满⾜
因此有
电视剧漂亮的事即的素因⼦分解形式中存在素因⼦2且其指数⾄少为4，⽽，因此有
p ,p ,⋯,p 12r +8p −112+8p −122⋯+≡8
p −1
r 2 mod 8
p −1
(i =1∏
r
i )2
2
s =1≡8p −112 mod 8p −1
122
≡
i =1
∑
s
8
p −1i 2 mod 8
p −1
(i =1∏
s
i )2
2−
8
p −1
(i =1∏
s +1
i )
2
i =1∑
s +1
8p −1i 2−8p −1
(i =1∏
i )2
i =1∑s +1
8
p −1i 2=
−−8
p p −1s +12
(i =1∏
s
i )2
i =1∑s
8p −1i 28p −1
s +12≡
−
− mod 28
p p −1s +12(i =1∏
s
i )
28
p −1(i =1∏
s
i )2
8
p −1
s +12=
8
p −1p −1(s +12)((i =1∏
s
i )2
)
∀i ∈1,2,⋯,s +1{}p i p , p i =1∏
s
i s +12k +12k +1=()2
4k +24k +1≡1 mod 4
p −1≡0 mod 4
s +12
p −1≡0 mod 4
(i =1∏
s i )2p −
1p −1(s +12)((i =1∏
s
i )2
)8=23
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