大肠杆菌表达⽂章⽬录
1. 数据期望定义
设离散型随机变量的分布律为
若级数
绝对收敛，则称级数 的和为随机变量的数学期望，记为. 即
设连续型随机变量的概率密度为 ，若积分
绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为. 即
数学期望简称期望，⼜称均值
可以⽤加权平均值来理解期望。
2. 随机变量函数的数学期望
X P {X =x }=k p ,
k =k 0,1,2,⋯.
x p k =1∑
∞
广东省石油化工建设集团公司k k
x p k =1∑
∞
k k X E (X )E (X )=
x p .
k =1∑
∞
k k X f (x )xf (x )dx
∫−∞+∞
xf (x )dx ∫−∞+∞
X E (X )E (X )=xf (x )dx .
∫−∞+∞
设是随机变量的函数： (是连续函数).
1. 如果是离散型随机变量，它的分布律为 若 绝对收敛，则有
2. 如果是连续型随机变量，它的概率密度为，若积分
绝对收敛，则有
3. ⼆维随机变量函数的期望
设是随机变量，的函数： (是连续函数)，那么， 是⼀个⼀维随机变量
1. 若为离散型随机变量，其分布律为 则有
，这⾥假设上式右边的级数绝对收敛。
2. 若为连续型随机变量，其概率密度为，则有
4. 数学期望性质
设是常数，则有⽬前我们主要研究离散型随机变量和连续性随机变量，因此，我们从两个⽅⾯证明期望性质的正确性证明： 对于离散型，有
对于连续型，有
设 是⼀个随机变量，是常数，则有证明：
对于离散型，有
Y X Y =g (X )g X P {X =x }=k p ,
k =k 0,1,2,⋯
,g (x )p k =1∑
∞
k k E (Y )=E [g (X )]=
g (x )p .
k =1∑
∞
k k X f (x )g (x )f (x )dx
∫−∞+∞
E (Y )=E [g (X )]=g (x )f (x )dx .
∫−∞+∞
Z X Y Z =g (X ,Y )g Z (X ,Y )P {X =x ,Y =i y }=j p ,
i ,j =ij 1,2,⋯,E (Z )=E [g (X ,Y )]=
g (x ,y )p j =1∑∞
i =1
∑
∞
i j ij
(X ,Y )f (x ,y )E (Z )=E [g (X ,Y )]=g (x ,y )f (x ,y )dxdy
∫−∞∫−∞C E (C )=C .
E (X )=x p =k =1∑
∞
k k C x =k =1∑
∞
k C
E (X )=
xf (x )dx .
=∫−∞+∞C
f (x )dx植物保护学报
=∫−∞+∞
C
X C E (CX )=CE (X ).x p =
∑
∞
x p =
∑
∞
对于连续型，有
设, 是两个随机变量，则有证明
对于离散型，有
对于连续型，有
该性质可推⼴到任意有限个随机变量之和的情况
设, 是两个相互独⽴的随机变量，则有证明
对于离散型，有
对于连续型，有
该性质可推⼴到任意有限个相互独⽴的随机变量之积的情况
5. 常见随机变量分布的期望
5.1 分布
E (CX )=Cx p =k =1∑k k C x p =k =1∑
k k CE (X )
E (X )=
Cxf (x )dx .
=∫−∞+∞C
xf (x )dx
=∫−∞+∞
CE (X )
X Y E (X +Y )=E (X )+E (Y ).E (X +Y )=(x +j =1∑∞i =1∑
∞
i
y )p =j ij x p +j =1∑∞i =1∑
∞
i ij
y p =j =1∑∞i =1∑
∞
j ij
E (X )+E (Y )
E (X +Y )=(x +y )f (x ,y )dxdy
∫−∞∫−∞=xf (x ,y )dxdy +yf (x ,y )dxdy
∫−∞+∞
∫−∞+∞
∫−∞+∞∫−∞+∞
=xdx [f (x ,y )dy ]+ydy [f (x ,y )dy ]全密封变压器
∫−∞+∞
∫−∞+∞
∫−∞+∞
∫−∞+∞
=xf (x )dx +yf (y )dy ∫−∞+∞
X ∫−∞+∞
Y =E (X )+E (Y )
X Y E (XY )=E (X )E (Y ).E (XY )=(x y )p =j =1∑∞i =1∑
∞
i j ij
x y p p =j =1∑∞i =1∑
∞
i j i ⋅⋅j
x p ⋅i =1∑
∞
i i ⋅y p =j =1∑
∞
j ⋅j
E (X )⋅E (Y )
E (XY )=xyf (x ,y )dxdy
∫−∞∫−∞=xf (x )yf (y )dxdy
∫−∞+∞
∫−∞+∞
X Y =[xf (x )dx ]⋅[yf (y )dy ]∫−∞+∞
X ∫−∞+∞
Y =E (X )E (Y )
(0−1)
随机变量服从分布，则其分布律为 此时有 .证明：
5.2 ⼆项分布
，则其分布律为 ，此时有5.3 泊松分布
X (0−1)P {X =k }=p (1−k p ),k =1−k 0,1
E (X )=p E (X )=x p =k =0∑
1
k k 0⋅p (1−0p )+1−01⋅p (1−1p )=1−1p
X ∼b (n ,p )P {X =k }=p q k =(k n
)k n −k 0,1,2⋯,n E (X )=np .
，则其分布律为 ，此时有证明⽅法⼆：
关于泊松分布所有可能取值的概率和为1的证明， 感兴趣的同学可以看看之前的⽂章 有相关证明. 5.4 ⼏何分布
，则其分布律为 ，此时有证明：
X ∼π(λ)P {X =k }=
e
k =k !λk −λ0,1,2,⋯E (X )=λ.
E (X )E (X )=k e =λe k =0∑k !λk −λk =1∑(k −1)!λ
k −1
−λ
令k −1=n ，则
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终末的佳丽=λe n =0∑∞n !λn
−λ
=λ⋅1(e 刚好是泊松分布，所有可能取值的概率和，即为1)
n =0∑∞
n !λn
−λ=λ
X ∼G (p )P {X =k }=(1−p )p
k =k −11,2,3,⋯E (X )=.
p 1
E (X )=k (1−p )p =p k (1−p )k =1∑
k −1k =1∑
k −1
令S =
k (1
−p )=1⋅(1−p )+2⋅(1−p )+3⋅(1−p )+⋯+(k −1)⋅(1−p )+k ⋅(1−p )(1)
k =1∑
∞
k −1012k −2k −1
(1−p )S =1⋅(1−p )+2⋅(1−p )+3⋅(1−p )+⋯+(k −1)⋅(1−p )+k ⋅(1−p )(2)
123k −1k 由(1)−(2)可得,pS =(1−p )+(1−p )+(1−p )+⋯+(1−p )
+(1−p )−k ⋅(1−p )012k −2
k −1k
pS =−(+k )(1−p )∵0≤(1−p )≤1且k →∞∴(1−p )=0∴pS =
11lim
1
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