文章编号:100725429(2008)022*******
收稿日期:2007203212; 修回日期:2007206218
基金项目：国家自然科学基金(50505017)；中国博士后科学基金(2005037725)
作者简介：樊树海(19752)，男，江苏省南京市人，博士，副教授，主要研究方向为质量控制、仿真与虚拟制造。 樊树海1，肖田元2，孙 浩1，倪卫红1
(1.南京工业大学工业工程系，江苏南京210009;2.清华大学，北京100084)
摘要：田口玄一所建立的产品质量损失模型是以绝对质量偏移为基础，针对的是单一的质量 指标。而实际生产中，很多分质量指标往往共同对产品质量产生影响，因此需要在产品质量模型中考虑到各个分质量指标的互作用。本文以田口玄一的质量损失模型为基础，研究了以相对质量偏移为元素的包含多个分质量指标的产品质量模型，并将其推广到3阶以上。接着，对产品质量模型进行化简，推导出
其简化的产品质量损失公式(质量损失模型的多元形式)，并对模型误差进行了理论分析。最后提出了在生产中建立多元产品质量损失模型的工作流程，并以一个实例对该过程进行了说明。
关键词：质量控制；建模；仿真；多元产品
中图分类号:F273.2 文献标识码:A
The Simulation of Multivariate Product Q uality Model
FAN Shu 2hai 1,XIAO Tian 2yuan 2,SUN Hao 1,N I Wei 2hong 1(1.Nanjing U niversity of Technology ,Nanjing 210009,China ;
2.Tsinghua U niversity ,Beijing 210016,China )
Abstract :The quality loss model of Taguchi was based o n one index of absolute quality devi 2ation.In act ual production process ,t he p roduct quality is usually influenced by several quality in 2dexes ,so t he interaction of t he quality indexes should be considered.Based on t he quality lo ss model of Taguchi ,t he p roduct quality model which based on several indexes of relatively quality deviation was st udied.After deducing a simplified formula ,a new simplified product quality mod 2el (a multivariate quality lo ss model )was built and t he error of it was also analyzed.Then ,t he work flo
w of t he application of multivariate p roduct quality model was described.Finally ,t he multivariate p roduct quality model was applied to a manufact uring instance successf ully.
K ey w ords :model building ;quality control ;simulation ;multivariate product
1 前言
日本著名质量管理专家田口玄一博士在七十年代初对质量管理的理论与方法进行创新研究，创立了“田口方法(T aguchi Methods )”。田口玄一所建立的产品质量损失模型是以绝对质量偏移为基础，针对的是单一的质量指标。而实际生产中，很多分质量指标往往共同对产品质量产生影响，因此需要在产品质量模型中考虑到各个分质量指标的互作用。
2 模型建立
产品质量是一个综合的质量，它是由各组成部分的零部件的加工质量、装配质量综合而成的[1]。可以把产品质量指标看作是各零部件质量(包括加工质量和装配质量)的一个函数。
Q product =f (Q 1,Q 2,…,Q h ,…,Q H )
假定f 在原点P 0(0,0,…,0)的某个邻域D 内具有直到3阶的连续偏导数。
共有H 个分质量指标,q 1,q 2,…,q H ，这些分质量指标都是连续型的，它们的取值都很小，代表的是相对质量偏移，当q 1,q 2,…q H 的值等于0时，代表无质量偏移(这里使用相对质量偏移是为了无量纲化，从而避免田口玄一在他的模型推导过程中的一个微小的错误)[2]。则我们可以把产品质量表达式展开为:
f (q 1,q 2,…,q h ,…,q H )=f (0,0,…,0)+
∑
H h =1
f ′Q h (0,0,…,0)q h +
1
2!∑
H
h 1,h 2=1f ″Q h 1Q
h 2
(0,0,…,0)×q h 1q h 2+R 2
其中,R 2为2阶余项。
R 2=1
3!∑
H
h 1,h 2,h 3=1f Q h 1Q h 2Q
h 3
(θq 1,…θq h ,…θq H )q h 1q h 2q h 3
(0<θ<1)
简单证明如下[3]。
考虑一元函数Q (t )=f (q 1t ,q 2t ,…,q h t ,…,q H t )(-1≤t ≤1),Q (t )在(-1≤t ≤1)上有直到3阶的连续导数，于是由2阶的一元函数带拉格朗日型余项的泰勒公式得
Q (t )=Q (0)+Q ′(0)t +12!Q ″(0)t 2+13!
Q (θt )t 3
,
(0<θ<1)
令t =1，得
Q (1)=Q (0)+Q ′(0)+12!Q ″(0)+1
3!
Q (
θ) (1)
由Q (t )的定义及复合函数微分法，我们有sofa评分
Q ′(t )=∑H
h =1
f ′Q h
(q 1t ,…,q h t ,…,q
H
t )q h
Q ″(t )=∑H
h 1,h 2=1
f ″Q h 1Q h 2
(q 1t ,…,q h t ,…,q H t )q h 1q h 2
刘心武 如意Q (t )=
∑
H
h 1,h 2,h 3=1
f ″Q h 1
Q h
2
Q h
3
(q 1t ,…,q h t ,…,q H t )q h 1q h 2q h 3
于是t =0时
Q ′(0)=∑H
h =1
f ′Q h (0,…,0,…,0)q
h
Q ″(0)=∑H
h 1,h 2=1
f ″Q h 1Q h 2
(0,…,0,…,0)q h 1q h 2
Q (0)=
∑
H
h 1,h 2,h 3=1
f ″Q h 1
Q h
2
Q h
3
(0,…,0,…,0)q h 1q h 2q h 3
又Q (1)=f (q 1,q 2,...,q h ,...,q H ) Q (0)=f (0,...,0 0
将结果代入式(1)展开式可得到证明。现在来估计误差项。由于函数有直到3阶连续偏导数；因此，在点(0,…,0,…,0)的某邻域内，函数的3阶偏导数有界M 。
ρ=
q 21+q 22
+q 2
H =
∑H
h =1
q
2
h
,
(ρ→0)
则有
青少年保护法|R 2|≤
M 3!∑
H
h 1,h 2,h 3=1q h 1q h 2q h 3
=M
3!
(q 1+q 2+…+q H )3
=
M
3!
[
(q 1+q 2+…+q H )2]3
=
M
3!
[
∑H
h 1,h 2=1
q h 1
q h 2]
3
≤
M
3!
[∑
H
h 1,h 2=1
12
(q 2h 1+q 2h 2)]3
=
M
3!
[H (q 2
1+q 2
2+…+q 2
H )]
3
=
M
3!
(
H )3
[
∑
H
h 1=1
q 2h ]
3
=
M
3!
(
H )3ρ
3所以R 2=o (ρ
2),(ρ→0) 上述公式中采用的产品质量指标是通用的形式，若采用质量损失形式的指标，则我们还可以对模
型进行进一步的简化。默认在所有分质量偏移为0
的情况下，总的产品质量指标取最小值(也为极小值)0，因此函数f 的所有在原点处的零阶导数和一阶导数项均为0，很容易可以看到，我们可以在展开式中去掉零阶和一阶导数项。则我们可以建立如下的产品质量的模型。
Q product =
氢氧化锰
∑H
h =1
w
h
2q 2
h +
∑
n
h 1=1,h 1<h 2
w h 1h 2q h 1q h 2
(2)
对比田口玄一的质量损失模型，我们可以看到
见式(2)其实也是田口质量损失模型的推广的多元形式，见式(2)。
其中Q product 是我们所作为目标的某些产品质量指标，以质量损失表示。Q product 与其n 项分质量有关。q h 是各分质量的相对质量偏移值。各分质量的偏移通过频数统计来进行。我们这里采用了相对质量偏移———质量特性偏离目标值的与其公差倍数的相对值。如果该质量特性值落在公差范围之外,
则对其乘以一个惩罚因子。
其中
∑H
h =1
w
h
2
q 2
h ,
∑
n
h 1=1,h 1<h 2
w h 1h 2q h 1q h 2分别是分质
量偏移的自影响项和互影响项。w h 2为零部件加工质量偏移q 2h 的影响权重,w h 1h 2为零部件加工质量偏移q h 1q h 2的影响权重。
对照我们得到的展开式，有w h 2=12!f ″Q 2
h (0,…,0,…,0)=12
f ″Q 2h (0,...,0, 0
w h 1h 2=1
2!f ″Q h 1Q
h 2
(0,…,0,…,0)=
12
f ″Q h
1
Q h
2
(0,…,,0,…,0)+
f ″Q h 2
Q h
1
(0,…,0,…,0)=
f ″Q h 1Q h 2
(0,…,0,…,0) (h 1<h 2)需要时，还可以对产品质量模型作进一步展开到U 阶
Q product =
∑U
u =2
1
u !
∑
H
h 1,h 2,…h u =1
[f (u )
Q h
1
Q h 2…Q h
u
(0,0 0
q h 1q h 2…q h u ]+R U
R U =o (ρU
)
将质量模型展开到2阶，就已经考虑到了分质
量的互作用。实际生产中，高于2阶的项的影响已经非常微乎其微了。为了计算的方便和实际需求，没有必要对其进行更高阶的展开。
3 具体步骤
建立多元产品质量损失模型的流程如下[3,4]。
(1)收集相应的历史数据。
历史数据包括以往生产的标准的产品和一些定制了的产品的数据。
(2)计算质量偏移。它通过频数统计来进行，每个点造成的质量偏移就是质量特性偏离目标值的相对值。如果该质量特性值落在公差范围之外，则对其乘以一个惩罚因子。计算产品质量的质量损失指标(等同于田口质量理论里的质量损失概念，与相对质量偏移的平方成正比)。
(3)建立模型，并确定权系数。权系数的确定除了可以通过最小二乘的计算来进行，更宜采用线性神经网络的方式[5,6]。训练完成后的神经网络的输入权值就是模型的权系数。
(4)对模型进行简化，忽略掉相对无穷小量。
产品中需要定制部分的质量往往比非定制件的质量偏移高一个量级。综合确定了的权系数以及定制部分与非定制部分的量级，可对模型进行一些简化，忽略掉一些相对低阶量。
(5)
计算出产品质量指标。将非定制部分各自的均方根质量偏移以及定制部分质量偏移代入简化了的模型，计算出整体的产品质量指标。或是将这些质量偏移作为输入，通过拓展的线性神经网络计算出产品质量指标[7,8]。
以汽车生产中的前围盖板组合件(图1右上)为例。前围盖板组合件的质量偏移可以看作是由外板(q 1)、通风板(q 2
)、内板(q 3)、装配1(q 4)、装配2(q 5)这5个分质量共同作用影响而成。
图1 前围盖板组合件及数据
根据计算处理后的分质量相对偏移及组合件的
质量损失数据(见图1左部)，建立有15个输入节点1个输出节点的线性神经网络。以0.0001为目标对其进行训练(图1右下)，结果如图2所示。
训练后的网络的输入权值分别为:
图2 训练结果
w12=0.2700,w22=0.0797,w32=0.1780,
w42=0.1573,w52=0.1662,w12=0.0902,
w13=-0.0114,w14=0.1311,w15=-0.0182,
w23=0.0952,w24=0.1114,w25=0.1683,
w34=-0.0176,w35=0.1036,w45=-0.0242。 q2、q3、q4、q5为大批量生产方式下零部件的质量指标，我们以其均方根质量偏移0.26、0.29、0.26、0.29来对其进行衡量。q1是定制部分，其值为[0.2,0.4]。将其代入模型中，化简并略去相对无穷小量，最后得到组合件的质量损失为[0.12,0.16]，与测试的实际值相符。
游园记
4 小节
本文基于田口玄一的质量损失模型，在此基础上研究了以相对质量偏移为组成元素的包含多个分质量指标的产品质量模型。接着，进行了简化公式(质量损失模型的多元形式)的推导和模型误差的理论分析。最后介绍了在生产中建立多元产品质量损失模型的工作流程，并以一个实例对其进行了说明。
可以看到，本文建立的产品质量模型是可行的。
如果质量指标比较多，难以处理的情况下，可以采用粗糙集来对其进行约简，从而减少计算量。结合粗糙集理论对产品质量模型进行研究是我们将来的研究方向。
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(上接第23页)
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