一、问题重述
能源是直接关系到国计民生的重要资源，各国不仅积极开发新的能源而且还千方百计的提高能源的利用率，随着人民的住房条件的改善，用于调节室温的取暖和制冷设备也日趋普及，但在建造住宅时往往忽略了从节省能源出发的建筑结构的设计和建筑材料的选择。因此：（1）为从节约能源出发的建筑结构设计和建筑材料的选择提供理论依据和仿真手段，试建立一个室内取暖的数学模型。 （2）我们在使用不同材料、选用不同几何尺寸、不同外界温度以及不同传热介质等情况下对室内温度的变化进行仿真用计算机直观的做出在各种不同条件下的温度随时间变化的曲线。 注：室内取暖的热力系统的原则见附录一
二、基本假设
2）假设热水流经房屋供热时，水的温度能与室温相等。
3）不考虑墙吸收的热量。
4）房屋的表面积为常数。
5）取暖管道中水的流量大于零
6）房屋窗户面积忽略不计
7）该房间内无任何物件
8）室外空气温度保持恒定
9）房间的各处表面（包括顶和底部）所处的环境温度一样，即都为
regfix
室外空气温度，且各表面（含房顶和房底）所用材料都一样。
10）室内外无空气流通
11）建筑材料热传导系数不随温度改变而变化。
12）室内温度升高时，室内空气比热保持不变。
13）假设初始时刻室内温度等于室外温度。
三、基本变量、符号和用语
t：时刻
Ts：室内温度恒定时的温度。
Tw：锅炉中热水的温度。
Tf：室外温度。
c：水的比热。
水
T：t时刻的室内温度。
t ∆：时间的变化量。
T ∆：从 t 时刻到t+Δt 时刻室内温度的变化量。
空c ：室内空气的比热。
空m ：室内空气的总质量。
λ：墙壁材料的热传导系数.
A ：房屋的表面积（包括房屋顶及地面）。 d ：墙（房顶、地板）的厚度。 L ：热交换器中热水的流量。 c ：热交换器中热水的最大流量。
高压绝缘材料
m t ：室内温度由初始温度刚到达未恒定温度的时刻，也即所需时间。
B ：时刻t 到时刻t+t ∆内温度升高T ∆所需的热量。
E ：时刻t 到时刻t+t ∆内从锅炉流出的热水温度从Tw 降至T 所放出的热量。
F ：时刻t 到时刻t+t ∆内室内空气由墙散失的热量。
z m ：整个取暖过程从锅炉中流出的热水的总质量。
标准对比曲线：所有参变量都取中间值时绘出的，并作为各参变量变化时T-t 关系曲线的对
比曲线
四、问题的分析和模型的建立
确切的说，室内取暖包含两个过程：第一个过程为真正的取暖过程，即室内温度由初始温度上升到末恒定温度的过程，也即是t<m t 的过程，第二个过程为保温过程，即保持室内温度为末恒定的过程，也即是t>m t 的过程。
下面分别讨论这两种情况，并建立相应的模型： 模型Ⅰ：
当t<m t 时,，我们不妨以时刻t 到时刻t+t ∆这段时间为研究对象，由能量守恒定律有:
B=E-F (1)
贝壳董事长
由热学公式可知:
B=空c 空m T ∆ (2) E=水c L t ∆(Tw-T) (3)
由热量传导的傅立叶定律
]
1[可知
F=λ
d
Tf T )
(-A t ∆ (4) 现在讨论(3)式中L 的表达式。很明显，对于固定房间内固定质量的空气，温度从初始强度Tf 上升到未恒定温度Ts 所需的热量为一固定值；又从(4)式中，可以看出通过墙散失的热量与时间成正比，即取暖时间越长，向外散失的热量越多.为了能节省能源，我们希望向外散失的热量越少，也即希望取暖时间越短，因此，在取暖过程中，我们应当使流量L 始终保持最大，即
L=C (5)
模型Ⅱ：
当t>m t 时，我们不妨也以时刻t 到时刻t+t ∆这段时间为研究对象，要使室内温度T 恒定在Ts ，根据模型假设和能量守恒定律，可得（参照建立模型Ⅰ过程，且各符号、变量意义相同）：
B=E-F (6)
B=0 (7)
)(***Ts Tw t L c E -∆=水 (8)
t A d
T Ts F F
∆-=***
λ (9) 五、模型的求解
① 对模型Ⅰ进行求解。
联立(1)—(5)式，整理后可得:
空c 空m t ∆=水c L t ∆(Tw-T)- λ
d
Tf T )
(-A t ∆ （10） 在(6)中两等式两边同时除以t ∆，令t ∆→0，得
空
m dt dT =水c L(Tw-T)- λd
Tf T )(-A (11) 令水c =k1,
d
A
λ=k2，空m =k3，代入后化简整理(7)可得 3
*2**13)2*1(k Tf
k Tw c k T k k c k dt dT +++-= (12) 再令
13)2*1(n k k c k =+-, 23
*2**1n k Tf
k Tw c k =+，并代入(8)式整理后得 2*1n T n dt
dT
+= （13） 为了求解(13)微分方程，我们编写一个matlab 程序weifen.m(见附录二).运行该程序后，我们得到通解为：
T=1
2
n n -
+exp(n1*t)*c1 (其中c1为待定常数) （14） 下面确定c1的值：
由模型假设可知，t=0时刻室内温度T 为TF ，即
T （0）=Tf （15）
将（11）式代入（10）后，即可求出c1＝Tf+2
1n n 将c1值代入（14）有
T=-
21n n +(Tf+2
1n n ) exp(n1*t) （16） 据此，我们可以求解m t ，很明显m t 满足下式：
21n n +(Tf+2
1
n n ) exp(n1*t)＝Ts （17） 容易解出
套期保值
m t ＝
1
2
*12
*1ln
n n Tf n n Ts n ++ (18)
进而我们可以求出整个取暖过程从锅炉中流出的热水总质量z m 为
z m ＝⎰m
t dt c 0
*＝c*m t =
1
支撑 作文2
*12*1ln
n n Tf n n Ts n ++*c (19)
② 对模型Ⅱ的求解：
联立（6）-（9）式，整理后即可得：
)()(**F T Ts d
A
Ts Tw L c -=
-λ水 （20）
即
d
Ts Tw c T Ts A L F )()
(--=
水λ （21）丙烯酸酯类
且由建模过程易知此时T=Ts.
综上所述：t 时刻室内温度T 为
T=-
21n n +(Tf+2
1n n ) exp(n1*t) t<m t T=Ts t ≥m t
其图形大致如图一所示
图一：室内温度T与时间t的大致关系曲线
六、模型结果的分析与检验
由图1可以看出，室内温度T上升的速率逐渐减小，这与现实生活基本一致。
为了能够说明不同条件（包括建筑材料，几何尺寸，外界温度，传热介质等）对室内温度T随时间t变化曲线的影响，我们先出以上各不同条件的中间值（我们也称标准值），如表一所示；然后根据表一中的值，编写一个matlab程序biaozhun.m（在运行该程序前先运行jie-tm.m程序得出tm的值，该两程序源代码见附录三）绘出室内温度T随时间 t变化的标准对比曲线，如图二所示。
表一：各不同条件的中间值
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