平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一进行咨询。
1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下 ()()2
11212,u x x x x = ()118,4e =
()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =
（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()2
11212,u x x x x =，可得121122MU x x =，1
22122MU x x =，
故消费者1的边际替代率为12
1
11122
12
1212121
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22MU x x x MRS MU x x x ===。 同理可得消费者2的边际替代率为222
12
21
2x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：
12
1212
MRS MRS = 从而有：
12
2
21211
2x x x x = ① 又因为212210x x =-，21
1121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的
特征函数：
1122
1111
10422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：
1112
12121
121
1418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1
158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，2
1221052/11x x =-=。
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图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率
2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,
,k n ∈。系统内存在I （I 为正整数）个消
费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i
k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费
量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：
()
1
0n
i i
k k k k i I
i I
p x e =∈∈-=∑∑∑
当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：
(
)()
()11
n i i i i
k k k n k k k i I
i I
i I雨水管道
i I
i i n
k
k
i I
i I
i i k k
i I
i I
p x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑
由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
(){}11212,min ,u x x x x = ()130,0e = (
)2,v p y =
()20,20e =
注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。 （1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：
1
11121212
30p m x x p p p p ==
=++
对消费者2，根据罗伊恒等式(),i
i v p x p m v m
∂∂=-
∂∂，可以得到他的马歇尔需求函数为： 22
101,22i i i
p m x i p p =
==
均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着： 12
12230202002p p p p p +-=+ 解得
1212
p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2
210x =。
（2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。此时消费者1的马歇尔需求函数为：
111121212
5p m
x x p p p p ==
=
++ 消费者2的马歇尔需求函数为：222i i i
p m
x p p ==，1,2i =。由均衡时，
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每种商品市场出清，即：
12122520p p p p p +-=+，解得1214
p p =，进而可得11121x x ==；214x =，2
21x =。
4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为
221313/2/1ED p p p p =-+- 321314/2/2ED p p p p =-- （1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？
（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？
解：（1）对任意的0t >，有：
()()
()()
3322221111
3322
331111321321422422tp p tp p
ED tp ED p tp tp p p tp p tp p ED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=
所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：
1230ED ED ED ++= ①
如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：
33222111111
3
214223p p p p p
ED p p p p p =-+-++=-+ （3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：
32
11
321
气囊止血带1321422
p p p p p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩ 解得：
2
1
31
35p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是
3312215
3
p p p p p p ==。
5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下拍拍烧
()()11121212,123 8,30u x x x x x x e =++= ()()22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=
求：
（1）对两种物品的超额需求函数。 （2）为该经济决定均衡价格比率。 解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：
()()1
121112212
12
511,21 ,922p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+ ()()22
2111221212
119,9 ,122p p x p p x p p p p =
+⨯=⨯+ 所以两种商品的超额需求函数为：
1
2222111111
12
111222
222
5
181021918301522111910309140153022p p p ED x x p p p p p p ED x x p p p =+--=
+++-=-=+--=⨯++⨯+-=-
（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即： 2112301515300p p
p p -=-=
解得：
1
2
2p p =。
6．判断下列命题，并给出理由：
（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。
（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。 答：（1）错误。理由如下：
契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A 和B 是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。
图16-2 不同的初始禀赋导致不同的均衡
（2）错误。理由如下：
帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。
7．请证明：
在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是
11
22
1111222
2u x u x u x u x ∂∂∂∂=∂∂∂∂
这里，上标表示人，下标表示物。
证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：
()
()1212112211
112222
1212max
,, 1,2
x x x x i i i u x x u x x u
x s x i t e =.+=.=，，，，
构造这个问题的拉格朗日函数：
()()()()()112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ⎡⎤=---+--+-⎣⎦
效用最大化的一阶条件为：
1
111111
111222
222112
22222
0000L u x x L u x x L u
x x L u x x μμλμλμ∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂
从而可得到：
1122111
112222
2u x u x u x u x μμ∂∂∂∂==∂∂∂∂
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