【知识回顾】
3．平面与平面平行的判定定理
4．直线与平面平行的性质
5．平面与平面平行的性质
【应用】
题型一 线面平行的判定定理应用
例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)EH∥平面BCD；
(2)BD∥平面EFGH.
[证明] (1)∵E、H为AB，AD的中点，∴EH∥BD.
∵EH平面BCD，BD 平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH，BD平面EFGH，EH 平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.
证明 连接AC交BD于O点
连接OM.
∵M为SC的中点，O为AC的中点，
∴OM∥SA.
∵OM 平面MDB，SA平面MDB，
∴SA∥平面MDB.
题型二：面面平行的判定定理应用
例2 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面C′DB∥平面AB′D′.
[证明] ∵AB綊CD綊D′C′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
∴BC′∥AD′.
又∵BC′平面AB′D′，AD′平面AB′D′，
∴BC′∥平面AB′D′.同理C′D∥平面AB′D′，
∵BC′∩C′D＝C′，
∴平面C′DB∥平面AB′D′.
如图，已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.
证明 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB，
又知DE平面ABC，因此DE∥平面ABC，
同理EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
题型三：线面平行的性质定理应用
例3 ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.
[变式训练3] 已知：a∥b，aα，bβ，α∩β＝l，汽车之友电子版求证：a∥b∥l.
证明 如图所示，∵a∥b，bβ，
∴a∥β，
又a α，α∩β＝l，
∴a∥l，
又a∥b，∴a∥b∥l.
题型四：面面平行的性质定理应用
例4 已知α∥β，A，C∈相位调制器α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长．
[解] 如图所示．
∵AB与CD相交于S，
∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
∵α∥β，∴AC∥BD，∴＝，
∴＝，即＝，解得SC＝16.
类题通法
由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系.另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得.
[变式训练4] 如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E.若AM＝9国家中长期教育改革和发展纲要，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78.求△END的面积．
解 ∵平面α∥β，
又平面AND∩平面α＝MC，超临界状态平面AND∩平面β＝ND，
∴MC∥ND，同理EN∥FM.
又AM＝9，MN＝11，NB＝15，
∴＝＝，＝＝，
又∠FMC＝∠END，
∴＝＝×＝，
∵S△FMC＝78，∴△END的面积S蒸发皿△END＝100.
【测验】
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1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不可能作出 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在
答案 D
解析 设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．
2．若直线l不平行于平面α，且lα，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案 B
解析 直线l不平行于平面α，且lα，所以l与α相交．故选B.
3．如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直线a，b上，那么正确的结论是( )
A．直线AC与BD可能相交
B．直线AD与BC可能相交
C．AC与BD，AD与BC都是异面直线
D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
答案 C
解析 本题适合用反证法：假设AC与BD共面，不妨设该平面为α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α.因为相异点A、B和相异点C、D分别是在异面直线a，b上，所以a α，b α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立，即得AC与BD是异面直线；同理可证AD与BC也是异面直线．
4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
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