实验2.8 波尔振动实验（二）
[ 实验目的 ]
1． 观察和研究自由振动、阻尼振动、受迫振动的特性
2． 观察和研究振动过程的拍频、相图、机械能转换和守恒现象
[ 实验内容 ]
1. 观察扭摆的自由振动和阻尼振动，测定阻尼系数。 2. 研究扭摆在简谐外力矩作用下角度、角速度、振幅等随外力矩频率的变化关系，观 测幅频特性。
3. 研究扭摆在简谐力矩作用下振动与外力矩之间的相位差随外力矩频率的变化关系，
即相频特性。
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4. 观测扭摆在简谐外力矩作用下摆动逐渐趋于稳定的动态过程中出现的拍频现象。
怀铁二中5. 研究扭摆振动的角度和角速度之间的变化关系，即相图，观测机械能的转化和守恒
现象。
[ 仪器设备 ] 仪器名称
数量 型号 技术指标 扭摆（波尔摆）
1 ZKY-BG 固有振动频率约0.5Hz 秒表
1 DM3-008 石英秒表，精度0.01s 三路直流稳压稳流电源
1 IT632
2 三路隔离，0-30V/1mV ，0-3A/1mA 台式数字万用表 1 DM3051 5-3/4位，1μV-1000V ，10nA-10A ，准确度为读数的0.025%
数据采集器及转动传感器
1 SW850及CI6531 最高采样率1000Hz ，分辨率0.25°，准确度±0.09° 实验测控用计算机 1 IdeaCenter B320i 一体台式计算机，USB2.0，Windows7
注：上表中的型号、技术指标需要学生根据实际使用设备自行更改。
[ 实验原理 ]
振动是物质运动的一种基本形式。在力学、电磁学、光学、原子物理等领域都普遍存在振动的现象。振动和共振在机械制造、建筑工程、电子、微观科学研究等科技领域中有着广泛的应用。如众多电声器件是运用共振原理设计制作的，如利用核磁共振和电子顺磁共振研究物质结构也是基于共振的原理。
本实验拟采用波尔共振实验仪（扭摆）定量研究多种与振动有关的物理量和规律。
1．扭摆的阻尼振动和自由振动
在有阻力矩的情况下，将扭摆在某一摆角位置释放，使其开始摆动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是扭摆的弹性恢复力矩E M ，它与扭摆的扭转角θ成正比，即E M c θ=−（c 为扭转恢复力系数）；二是阻力矩R M ，在摆角不太大的情况下可近似认为它与摆动的角速度成正比，即()R M r d dt θ=−（r 为阻力矩系数）。若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律[？]可列出扭摆的运动方程：
22+=E R d d I M M c r dt dt
θθθ=−−， （1） 即：
022=++θθI
c dt
d I r dt d （2） 令（β称为阻尼系数），20c I ω=（0ω称为固有圆频率），则式(2)变为
（3） 其解为
（4） 其中为扭摆的初始振幅，为扭摆作阻尼振动的周期，且。
由式（4）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅及第个周期时的振幅，并测得摆动个周期所用的时间，则有
（5） 2r I β=220220d d dt dt
θθβωθ++=002exp()cos exp()cos A t t A t t T
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πθβωβ=−=−0A
T 2ωπ==0A n n A n =t nT 000exp( )exp( )n A A nT A A nT
β==−
所以
（6） 若扭摆在摆动过程中不受阻力矩的作用，即，则式（3）左边第二项不存在，
。由式（6）可知，不论摆动的次数如何，均有，振幅始终保持不变，扭摆处于自由振动状态。
2．扭摆的受迫振动
当扭摆在有阻尼的情况下还受到简谐外力矩的作用，就会作受迫振动。设外加简谐力矩的频率是，外力矩角幅度为，则为外力矩幅度，因此外力矩可表示为。扭摆的运动方程变为
（7） 其中。在稳态情况下，式（7）的解是回延安 再出发
（8）
其中为角振幅，由下式表示 （9）
而角位移与简谐外力矩之间的位相差则可表示为
（10） 式（8）说明，不论扭摆一开始的振动状态如何，在简谐外力矩作用下，扭摆的振动都会逐渐趋于简谐振动，振幅为，频率与外力矩的频率相同，但二者之间存在相位差。
（1）幅频特性
由式（9）可见，由于，当时，振幅，接近外
力矩角幅度。随着逐渐增大，振幅随之增加，当时，振幅有最大
值，此时称为共振，此频率称为共振频率。当或时，振幅都将减小，
n
A A nT 0ln 1=β=0R M 0β=0n A A =ω0θ00θc M =0cos M M t ω=ext 22ext 022=cos M d d h t dt dt I
θθβωθω++=0h M I =)cos(ϕωθ+=t A A 22222
04)(ωβωω+−=h
A θϕ122
02tan ()βωϕωω−=−A ϕ20000h M I c I θωθ===0→ω20/A h ω→0θωA 2202βωω−=A ωRes ωω>Res ωω<Res
当很大时，振幅趋于零。共振频率与阻尼的大小有关系，当时，，即扭摆的固有振动频率，但根据式（9），此时的振幅将趋于无穷大而损坏设备。故要建立稳定的受迫振动，必须存在阻尼。图1为不同阻尼状态下的幅频特性曲线示意图。
（2）相频特性
由式（10）可见，当时，有，即受迫振动的相位落后于外加简谐力矩的相位；在共振情况下，相位落后接近于。在时（有阻尼时不是共振状态），相位正好落后。当时，有，此时应有，即相位落后得更多。当时，趋近，接近反相。在已知及的情况下，可由式（10）计算出各值所对应的值。图2为不同阻尼状态下的相频特性曲线示意图。
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图1 不同阻尼状态下的幅频特性曲线 图2 不同阻尼状态下的相频特性曲线 3． 振动的频谱
任何周期性的运动均可分解为简谐振动的线性叠加。采集一组如图3所示的扭摆摆动角度随时间变化的数据之后，对其进行傅立叶变换，就可以得到一组相对振幅随频率的变化数据。以频率为横坐标，相对振幅为纵坐标可作出一条如图4所示的曲线，即为波尔振动的频谱。在自由振动状态下，峰值对应的频率就是波尔振动仪的固有振动频率。
图3 角度随时间变化关系 图4 振动的频谱 ω0β=0=ωωRes 00ωω≤≤0(2)ϕπ≥≥−2π0ωω=2π0ωω>tan 0ϕ>(2)φπ<−0ωω>>ϕπ−0ωβωϕ
4．拍频
当扭摆作受迫振动时，由于驱动力频率与扭摆固有振动频率不相等，所以在扭摆上施加简谐驱动力后，
扭摆从初始运动状态逐渐过渡到受迫振动的稳定状态过程中，其运动为阻尼振动和受迫振动两种振动过程的叠加。由于两种振动过程的频率接近，将会出现“拍”的现象。若阻尼振动的频率为 ，驱动力的频率为 ，则扭摆的摆动角度随时间变化的关系曲线的振幅将会起伏变化，其包络线的频率约为| − |。
太原科技大学图书馆5．相图和机械能
扭摆的摆动过程存在势能和动能的转换，其势能和动能为
势能： =
动能： =
；(11)
其中I为扭摆的转动惯量。势能与摆动角度的平方成正比，动能与角速度的平方成正比。若以角度为横坐标，角速度为纵坐标画出两者的关系曲线，称为相图。通过相图可直观地看出扭摆振动过程中势能与动能的变化。图5所示为阻尼振动的相图，机械能不断损耗，相图逐渐缩小至中心点。图6所示为理想的自由振动的相图，势能和动能相互转换，但总的机械能始终保持不变，相图为一个面积保持不变的椭圆。
图5 阻尼振动的相图图6 自由振动的相图
[ 实验装置 ]
本实验的装置主要由（1）波尔振动仪，（2）直流稳压稳流电源，（3）数字万用表，（4）转动传感器及数据采集器等四部分构成。
1.波尔振动仪
其结构如图7所示。圆形摆轮4安装在支撑架7上，蜗卷弹簧6的一端与摆轮的轴相连，另一端固定在摇杆5上。在弹簧弹性力的作用下，摆轮可绕轴自由往复摆动。在摆轮的外边缘有一圈槽型缺口，其中一个长凹槽2比其它凹槽长许多。对准长凹槽处有一个光
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