第 35 卷 Vol.35
第 14 期 No.14
计 算 机 工 程 Computer Engineering
文章编号：1000—3428(2009)14—0181—03 文献标识码：A
2009 年 7 月 July 2009
中图分类号：TP391.41
詹天明，张建伟，陈允杰，王 宇，吴玲玲
(南京信息工程大学数理学院，南京 210044) 摘 要：针对 CV 模型的多水平集算法需要较高的数值稳定性以及曲线演化速度慢的缺点，根据人脑 MR 图像的特征，提出一种快速 CV 双水平集算法，统计被 2 条曲线划分成 4 类的直方图，构造符号矩阵，依次将直方图上的点放入其他类中，根据能量的变
化更改该点对应 点的符号，得到粗分割结果，并对粗分割结果进行优化。对 MR 图像进行的分割实验表明，其分割效果更好，速度有大幅度的提高。 关键词：CV 模型；直方图；图像分割 Fast Chan-Vese Multiphase Level Set Algorithm on Human Brain MR Image Segmentation
ZHAN Tian-ming, ZHANG Jian-wei, CHEN Yun-jie, WANG Yu, WU Ling-ling
(College of Math & Physics, Nanjing University of Information & Technology, Nanjing 210044) 【Abstract】Multiphase level set method of Chan-Vese(CV) model is not suitable for real-time application for having numerical stability constraints and its low efficiency. Aiming at this disability and based on the specialty of human brain, a fast method to solve is developed. This approach computes the histograms of four areas which can be used to distinguish the area cut by two curves, and constructs signed tables. The points of the histogram are changed to other clusters and the sign of the points are checked according to the change of the energy. And the improved mean of small neighborhood method is used to optimize the results and get the final edges. Experimental results show that the new model can get the better results in an efficient way. 【Key words】Chan-Vese(CV) model; histogram; image segmentation
1
核磁共振成像在临床医学上起着越来越重要的作用。然 而，由于人体解剖结构的复杂性、软组织的不规则性，以及 成像质量受到多种因素的影响，使得医学图像的分割成为一 个难点。 近年来，人们对变分模型进行了大量的研究，经典的模 型，如 Snake 模型、几何主动轮廓模型，由于它们都基于边 缘信息，因此当目标内部具有强噪音或者区域边缘比较模糊 时分割效果不好甚至失败。 CV 模型 [1]是一种基于区域信息的分割模型， 能较好地处 理强噪音、边缘模糊等图像分割问题。近十几年来，在图像 分割领域得到了广泛的应用。但是传统的 CV 模型不能精确 分割如人脑 MR 图像之类的多目标复杂图像。 文献[2]在 CV 模型基础之上提出了 CV 模型的多水平集 算法，但是其求解过程中需要利用 Euler-Lagrange 方程解决 泛函极小化问题，需要非常高的数值稳定性。而且其每一次 迭代过程都需要对所有图像数据进行计算，非常费时。 本文针对这一缺点提出了一种快速 CV 算法。
概述
φ1 > 0
φ2 < 0
φ1 < 0 φ2 < 0
图1
φ1 > 0 φ2 > 0
φ1 < 0
φ2 > 0
2 条曲线将图像分成 4 个区域的示意图
CV 双水平集模型形式如下： F (C1 , C2 ,Φ ) = µ Length(C1 ) + µ Length(C2 ) +ν S (C1 ) +
ν S (C2 ) + λ11 ∫Ω (u0 − c11 )2 H (φ1 ) H (φ2 )dxdy + λ11 ∫Ω (u0 − c11 )2 H (φ1 ) H (φ2 )dxdy + λ12 ∫Ω (u0 − c12 )2 H (φ1 )(1 − H (φ2 ))dxdy + λ21 ∫Ω (u0 − c21 )2 (1 − H (φ1 )) H (φ2 )dxdy + λ22 ∫Ω (u0 − c22 )2 (1 − H (φ1 ))(1 − H (φ2 ))dxdy
(1)
其中， S (C ) 为 C 的内部面积； µ ,ν ≥ 0 ； λ11 , λ12 , λ21 , λ22 分 别是各个能量项权重系数； 11 , c12 , c21 , c22 是 4 个区域的均值， c 用下式表示：
基金项目：江苏省教育厅“青蓝工程”基金资助项目(2006) 作者简介：詹天明(1984－)，男，硕士研究
生，主研方向：图像分析 与处理，模式识别；张建伟，教授、博士；陈允杰，博士研究生； 王 宇、吴玲玲，硕士研究生 收稿日期：2008-03-26 E-mail：zhantianming1984@sina
2
ctd因为人脑图像只有白质、灰质、脑脊液和背景 4 类，所 以在对人脑图像进行分割时只需要利用文献[2]提出的 CV 双 水平集模型，主要思想如下： 利用 2 条曲线 {φ1 = 0} ∪ {φ2 = 0} 将图像分成如下 4 个区域 (如图 1 所示)： {φ1 > 0,φ2 > 0} , {φ1 > 0,φ2 < 0} , {φ1 < 0,φ2 > 0} , {φ1 < 0, φ2 < 0}
CV 双水平集模型
—181—
c11 =
∫Ω u0 ( x, y ) H (φ1 ) H (φ2 )dxdy ∫Ω H (φ1 ) H (φ2 )dxdy
i ∆F11→12 = ( x − c12 ) 2
c12 =
c21 = c22 =
∫Ω u0 ( x, y ) H (φ1 )(1 − H (φ2 ))dxdy ∫Ω H (φ1 )(1 − H (φ2 ))dxdy
∫Ω u0 ( x, y )(1 − H (φ1 )) H (φ2 )dxdy ∫Ω (1 − H (φ1 )) H (φ2 )dxdy ∫Ω u0 ( x, y )(1 − H (φ1 ))(1 − H (φ2 ))dxdy ∫Ω (1 − H (φ1 ))(1 − H (φ2 ))dxdy
(2)
i ∆F11→21
m12 ⋅ k m ⋅k − ( x − c11 ) 2 11 m12 + k m11 − k m ⋅k m ⋅k = ( x − c21 ) 2 21 − ( x − c11 )2 11 m21 + k m11 − k
m22 ⋅ k m ⋅k − ( x − c11 ) 2 11 m22 + k m11 − k
i ∆F11→22 = ( x − c22 ) 2
其中， k 是区域内像素值等于 i 的点个数，即等于 h11 (i ) 。若
i 存 在 ∆F11→rs < 0 (r=1,2; s=1,2) ， 说 明 这 k 个 点 不 属 于
极小化式(1)得到的 Euler-Lagrange 方程如下： ∂φ1 ∇φ 2 2 = δ (φ1)[µ∇ 1 −ν − λ11 c11 − u0 H(φ2 ) − λ12 c12 − u0 (1− H (φ2 )) + ∂t ∇φ1
λ21 c21 − u0 H(φ2 ) + λ22 c22 − u0 (1− H(φ2 ))] ∂φ2 ∇φ 2 2 = δ (φ2 )[µ∇ 2 −ν − λ11 c11 − u0 H(φ1) + λ12 c12 − u0 H(φ1) − ∂t ∇φ2
2 2
i {φ1 > 0, φ2 > 0} 区域，计算这 3 个能量差的最小值 ∆F11→ pq (p=1
或 2；q=1 或 2)，若 p 改变，将第 1 个符号矩阵对应点的符 号修改为-1；否则第 1 个符号矩阵不变。若 q 改变，将第 否则不变。修改直方图 2 个符号矩阵对应点的符号修改为-1， h11 (i ) = 0 , hpq (i ) = hpq (i ) + k ，修改像素 点总数 m11 = m11 − k ,
mpq = mpq + k ，修改均值 c11 = c11 +
c −i×k c11 − i × k , c pq = c pq − pq 。 m11 − k mpq + k
λ21 c21 − u0 (1− H(φ1)) + λ22 c22 − u0 (1− H(φ1))]
2 2
φ (0, x, y ) = φ0 ( x, y )
(3)
其中， δ ( χ ) 为 Dirac 函数，一般取为 δ ( χ ) =
δ ( χ ) 替换成 ∇φ 。
ε π (χ 2 + ε 2 )
，或将 3.2
其他 3 个区域内的直方图上的点的修改方法与之类似。 Step4 重复 Step3 直到能量 F 不再改变。 结果优化 当图像具有强噪音时， 该算法往往会将噪声点分割出来， 本文利用改进的小邻域均值算法对分割结果进行优化，在消 除噪声点对分割结果影响的同时也能保留角点信息。 设 U1 , U 2 是 3.1 节的粗分割结束后的符号矩阵，因为这 2 个矩阵都是二值矩阵，其值为 1 或者-1，将 U1 , U 2 相加减， 得到对应的 4 个区域。 4 个矩阵记录分别记录这 4 个区域， 用 利用小邻域均值算法对其去噪。由于传统的小邻域均值求差 算法在去除噪声点的同时也会将角点一并去除，因此本文对 传统的算法进行改进，在去除噪声点的同时将角点保留。方 法如下：对单独的噪声点直接去除，对多个噪声点连在一起 的这种情况，判断其 8 邻域内与该点像素值相等的点的均值 差。若其 8 邻域内存在某一点的均值
差小于该点的均值差， 且按这个方向遍历下去符合上述条件的像素点的个数应该大 于某一个阈值，则该点是角点需保留。
在这个模型中，φ1 , φ2 每次更新后需要重新初始化为符号 距离函数，以保证计算稳定性 [3]，计算量大，影响分割效率， 为此引入快速 CV 算法。
3
从 式 (3) 可 以 看 出 传 统 的 CV 模 型 需 要 利 用 EulerLagrange 方程解决泛函极小化问题，需要数值的稳定性非常 高， 而且其每一次迭代过程都需要对所有图像数据进行计算， 因而很费时。文献[4]介绍了一种无需初始化的水平集方法， 能够大量地减少计算时间，但其分割结果受数值稳定性的影 响较大，无法得到精确的分割结果。文献[5]提出了一种快速 水平集的优化方法，主要思想是先初始化将图像分成目标和 背景 2 个部分，再遍历所有的点。对当前点，如果是目标点 则将其改成背景点，计算能量是否变小，若变小则将此目标 点改为背景点；反之将其改成目标点做类似的计算和修改。 如此扫描直到能量函数不再改变。 该方法每次只遍历一个点， 存在大量的重复计算，且受单一水平集的限制无法分割多类 图像，如脑图像。本文针对这个缺点，对该方法进行改进， 结合 CV 双水平集模型和直方图的优点，提出了一种快速的 CV 算法，该算法在保证精确度的同时能快速提高分割效率。 算法分为 2 个部分：(1)遍历 4 个区域内的直方图上数目 大于 0 的像素点，修改符号矩阵，得到
粗的分割结果。(2)对 粗分割结果进行优化，去除目标及背景的噪声点。 快速粗分割 快速粗分割实现步骤如下： Step1 给定 2 条初始曲线，分别构造 2 个符号矩阵来区 与曲线内部对应的点其值设为 φ = 1 ， 分 2 条曲线的内外区域， 3.1 与曲线外部对应的点其值设为 φ = −1 。 Step2 分别统计被曲线划分成的 4 个区域的直方图 h11 (i ) ,
h12 (i ) , h21 (i ) , h22 (i ) ， 像 素 数 m11 , m12 , m21 , m22 ， 以 及 均 值
c11 , c12 , c21 , c22 。
快速 CV 算法
4
实验在 P G 2.0/516 MB 微机上用 Matlab 实现。 图 2(a)是一幅加入椒盐噪声的人工合成图像。图 2(b)是 未优化的分割结果，从结果中可以看出，粗分割的效果对噪 声非常敏感。图 2(c)是利用传统小邻域均值对粗分割结果优 化后的分割效果，虽然它能去除噪声点，但是会将图中的角 点区域的点当作噪声点一并去除， 无法得到精确的分割效果。 图 2(d)是利用本文改进的小邻域均值对粗分割结果优化后的 效果，从图中可以看出，其在去除噪声点的同时也能保留角 点信息，分割效果更加精确。整个分割耗时 0.491 s，而 CV 双水平集分割需要耗时 9.848 s，可以看出本文的分割效率 更高。
实验结果和分析
整形归来2Step3 分 别 对 4 个 区 域 的 直 方 图 上 每 个 点 i (i = 0,
1, , 255) ，若 h11 (i ) > 0 ，则采取以下操作：假设将其放入到
(a)原始图像及 初始曲线
(b)粗分割结果
(c)传统小邻域 均值优化结果
(d)本文方法 优化结果
其他 3 个区域内，计算能量差。 以将 {φ1 > 0, φ2 > 0} 内的点放到其他 3 个区域为例，能量 差分别为 —182—
j.d.塞林格图2
加噪声的图像分割结果
图 3(a)是真实脑 MR 图像，包含白质、灰质、脑脊液、 背景 4 个部分。图 3(b)~图 3(d)是采用 CV 双水平集算法迭代
800 次后的分割结果， 3 幅图依次为白质、 这 灰质、 脑脊液(下 同)。从图中可以看出尚未分割完全，却已经耗时 398.80 s。 图 3(e)~图 3(g)是采用 CV 双水平集加惩罚项算法的分割结 果，可以看出其受数值稳定性的影响，分割效果不理想，且 整个分割耗时 69.36 s。图 3(h)~图 3(j)是采用本文算法对脑图 像的分割结果，整个分割耗时 6.085 s。
判断分割的准确度：
J ( S1 , S2 ) = S1 ∩ S2 S1 ∪ S2
(4)华南农业大学设备处
其中，S1 , S 2 分别为准确分割的结果和需判断的方法得到的分 割结果。
5
本文针对 CV 双水平集模型和 Bing Song 方法的不足， 提出了一种快速 CV 算法。实验证明，它在大幅度提高运算 效率的同时，也能得到更好的分割效果，该方法可以应用于 彩 MR 图像的分割。
(a)真实图像 (b)结果 1 (c)结果 2 (d)结果 3 (e)结果 4
结束语
参考文献
[1] Chan T, Vese L. Active Contours Without Edges[J]. IEEE Trans. on Image Processing, 2001, 10(2): 266-277. [2] Luminita A, Vese L, Chan T. A Multiphase Level Set Framework for Image Segmentation Using the Mumford and Shah Model[J]. International Journal of Computer Vision, 2002, 50(3): 271-293.
(f)结果 5
(g)结果 6
(h)结果 7
(i)结果 8
(j)结果 9
[3] 张建伟, 陈允杰, 夏德深. 基于直方图的快速 Mumford-Shah 模 型 MRI 分割[J]. 中国图象图形学报, 2005, 10(7): 838-843. [4] Li Chunming, Xu Chenyang, Gui Changfeng, et al. Level Set Evolution Without Re-initialization: A New Variational Formulation[C]//Proc. of IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. [S. l.]: IEEE Press, 2005: 430-436. [5] Song Bing, Chan T. A Fast Algorithm for Level Set Based Optimization[R]. Los Angeles, USA: University of California, UCLA CAM Report: 02-68, 2002.
图3
脑 MR 图像的分割结果
从分割结果以及分割效率(见表 1)上可以看出， 本文的算 法在保证准确性的同时有效地提高了分割速度。
表1
算法 CV 双水平集算法 CV 双水平集加惩罚项算法 本文算法
分割精确度
白质 85.69 82.26 94.25 灰质 78.09 76.55 95.29 脑脊液 80.25 70.97 86.42
(%)
本文对 100 多帧 3T 脑图像进行了对比实验，使用下式 (上接第 180 页) ICA 与传统滤波器的比较 用 ICA 方法与传统滤波器对 Camera 图像进行比较滤波 实验。由图 4 可以发现，ICA 滤波后所得到的锐化图像在边 缘细节上有非常明显的凹凸性，立体感强。而传统高通滤波 器滤出的锐化图像有较宽的边缘，进一步的图像增强处理才 能获得输出图像的层次感。且 ICA 滤波与传统滤波器相比还 有如下优点：(1)与基于空域二阶导的 LoG 滤波结果相比，同 样不具有方向性，对灰度突变较为敏感，定位精度高等特点， 而且轮廓清晰。本实验中主要表现在图中“照相机”的轮廓 结构上，ICA 滤波效果明显优于 LoG 滤波的结果。(2)与基于 频域的巴特沃思滤波器相比，同样具有能抑制低频的优点， 而且不需要进行傅里叶变换，不会引起计算误差问题，也不 会出现较宽的边缘。主要体现在图中“摄像者”的外围轮廓 上，巴特沃思滤波器滤出的图像在摄像者外围轮廓处存在非 常明显的白边缘。 4.2中国医师进修杂志
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顾逸斐
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5分子量测定
本文将原始图像和其经适当几何变换后获得的图像作为 输入数据，结合常用的基于峭度的 FICA 算法进行分析，提 取到图像中突变的细节部分，说明 ICA 滤波所产生的一个独 立分量具有高通特性，并在理论上对 ICA 特征提取过程进行 了有效论证。 从仿真实验结果来看，该方法使提取出的图像灰度层次 感增强，改善了输出图像的主观视觉质量，有利于后面进一 步处理图像，并具有一定的可靠性和实用性。 参考文献
[1] 姚 敏. 数字图像处理[M]. 北京: 机械工业出版社, 2006. [2] 杨福生, 洪 波. 独立分量分析的原理与应用[M]. 北京: 清华 大学出版社, 2006. [3] Hyvarinen A, Hoyer P O. Independent Component Analysis[M]. [S. l.]: John Wiley & Sons, 2001. [4] Hyvarinen A, Oja E. A Fast Fixed-point Algorithm for Independent Component Analysis[J]. Neural Computation, 1997, 9(7): 1484- 1492. [5] 张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004. [6] Hyvarinen A. Fast and Robust Fixed-point Algorithms for Independent Component Analysis[J]. IEEE Trans. on Neural Network, 1999, 10(3): 626-634.
结束语
(a)原图像
(b)ICA滤波结果
(c)LoG滤 波器结果
(d)巴特沃思 滤波器结果
图4
与传统滤波器比较的示意图
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顾逸斐
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