图像处理中的数学问题

在图像处理的发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透在图像处理的所有分支之中。

到上世纪六七十年代为止，以Fourier分析为代表的线性处理方法占据了几乎整个数字图像处理领域。在此期间，借助于随机过程理论，人们建立了图像模型通过概率论以及在此基础上建立的信息论建立了图像编码的框架；线性滤波（维纳滤波、卡尔曼滤波）方法为低层图像处理提供了有力的理论支持；而FFT则被广泛使用在图像处理的几乎所有分支中。这些数学工具极促进了图像处理的发展和应用。

自上世纪八十年代开始，非线性科学开始逐渐渗透到图像处理方法之中，许多新颖的数学工具被引入到图像处理领域，使相关的理论变得多元化。尤其以小波和多尺度分析为代表的信息处理方法，继承和发展了上帝已死Fourier分析，将函数论和逼近论的最新成果应用在工程应用中，建立起了完整的系统框架，在图像编码、图像分割、纹理识别、图像滤波、边缘检测、特征

提取和分析等方面的应用中，已经取得了非凡的成果。目前，小波分析方法业已成为信号处理的基础理论之一

同时，其他非线性的数学工具的应用也取得丰硕的成果：如分形在图像编码和纹理识别中的应用，在动态图像弹性形变识别中的应用，多尺度分析在图像检索和识别中的应用，非线性规划在矢量量化和图像编码中的应用等等。另外，图像确定性模型（BV 模型）的建立、模糊数学对图像质量的评价体系、Meaningful理论对图像距离的研究是对图像本质的进一步刻划，使计算机可以更贴切地描述人类的视觉系统。

特别的，基于非线性发展（偏微分）方程的图像处理方法成为近年来图像研究的一个热点。它从分析图像去噪的机理入手，结合数学形态学微分几何、射影几何等数学工具，建

立了滤波和偏微分方程相关的公理体系。另外，它在图像重构、图像分割、图像识别、遥感图像处理、图像分析、边缘检测、图像插值、医学图像处理、动态图像修补、立体视觉深度检测、运动分析等方面得到了一定的应用。在研究过程中，人们介绍了一些概念，如active coutour(snake)，level set(level line)等，把数学和图像有机地联系起来。

另一方面，图像处理的实际需求和工程背景也刺激了一些数学分支的发展，如小波理论的研究动力来源于信号处理中对于时频局部化分析的需求，而且在理论体系建立起来之前已经有了广泛的应用；偏微分方程的粘性解概念的提出也是因为在图像处理的应用中应用条件不满足各种微分学中的假设；对于投影几何的研究也由于图像Moisaic的需求变得细致。

近年来，我国高校的数学系设置了信息与科学计算专业，甚至如大学数学科学院信息科学系。作为一个近年快速发展的新学科，它运用近代数学方法和计算机技术解决信息科学领域中的问题，应用十分广泛。图像处理是其中一个非常重要的方向，许多学校都把图像处理作为一个重点发展方向。但是，目前还存在一些问题：一方面，数学系的研究人员对于图像发展以及背景的了解不够深刻；另一方面，数学系中新建的专业和图像处理领域的交流沟通还不是很通畅，因而对于图像处理领域中的一些热点问题的了解还不够及时和全面。

进入本世纪以后，随着计算机的和Internet网络技术的飞速发展，图像处理的发展也进入了一个新的飞跃阶段。同时，图像处理和计算机视觉的工程应用中还有许多问题尚待解决。为了进一步关注图像处理领域中涉及的数学问题，并使数学研究人员对相关数学问题的工程背景有所了解，1999中国科学院自动化研究所举办了相关的暑期班，2003年交通大学理学院举办了图像处理的数学问题研讨班，2004年在大学数学科学研究中心举办“图像处理中的数学问题”讲习班，2004世界末日几号年，大学数学院举办了以＂数学与图像处理＂为主题的国际会议，2007年，偏微分方程在图像处理中的应用国际会议在山师学院成功举办．

图像处理中的数学问题研究与应用

随着计算机技术的发展日新月异，用计算机对信息的获得、加工、处理等相关技术都得到飞速发展和应用，图像信息发展更快，并形成图像处理这门新兴学科。数字图像处理是30年来迅速发展起来的一门技术，由于对图像处理的要求还在不断增加，图像的应用领域还

在不断扩大，因此对图像处理的理论也在不断的补充和发展。本文章讨论的主要是图像处理中的数学问题，学习并研究图像的基本处理中涉及到的数学问题，让大家可以更好的学习掌握图像处理技术。

"对号函数图"是物体透射光或反射光的分布，"像"是人的视觉系统对图的接收在大脑中形成的印象或认识。图像是两者的结合。人类获取外界信息是靠听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉等，但绝大部分（约80%左右）来自视觉所接收的图像信息。图像处理就是对图像信息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的需要。

图像文件可以分为二种：位图与矢量图。矢量图是用一组数学指令来描述图形的容，这些指令定义了构成图形的所有直线、曲线等要素的形状、位置等信息。使用矢量图可以任意缩放图形和以任意分辨率的设备输出图形而不会影响图像的品质。但是，矢量图很难表现彩复杂的图像。位图，也叫作栅格图，是由许多小栅格（即像素）组成的，处理位图时，实际上是编辑像素而不是图像本身。因此，在表现图像中的阴影和彩的细微变化方面或者进行一些特殊效果处理时，使用位图形式是最佳的选择，它在这方面的优点是矢量图无法比拟的。但是，位图的清晰度与其分辨率密切相关，处理图像时，必须设置合适的

图像分辨率，否则，输出图像时会遗漏细节，使图像模糊。位图图像和矢量图形没有好坏之分，只是用途不同而已。因此，整合位图图像和矢量图形的优点，才是处理数字图像的最佳方式。

图像处理技术分模拟图像处理和数字图像处理，利用数字计算机或其它高速、大规模集成数字硬件，对从图像信息转换来的数字电信号进行某些数字运算或处理，以期提高图像的质量或达到人们所要求的某些预期的结果称为数字图像处理，简单的说，依靠计算机对图像进行各种目的的处理我们就称之为数字图像处理。它是计算机应用领域中的一个重要方面，涉及众多科学的理论问题和实际方法。

数字图像处理牵涉的面非常广，它影响到了科学技术和社会的各个方面。它从60级配砾石>镁合金熔炉年代开始，随着计算机技术的发展而迅速发展起来：美国喷气推进实验室(JPL)对徘徊者7号在64年发回的几千月球照片，用数字图像处理技术，成功地绘制出月球表面地图。随后又对探测飞船发回的照片进行了图像处理，从此开始了数字图像处理的广泛应用。

研究数字图像处理技术最早的目的是改善人类分析判断时采用的图像信息，是以人为对象，为了满足人的视觉效果而改善图像的质量，处理过程中输入的是质量差的图像，输出

的是质量好的图像，随着计算机技术与人工智能技术的发展，主要目的演变为处理自动装置感受的景物数据（计算机视觉、模式识别等）。常用的图像处理方法有图像的二值化、图像的亮度和对比度的调整、图像的边缘增强、如何得到图像的直方图、图像直方图的修正、图像的平滑、图像的锐化等、图像的伪彩、彩图像转换为黑白图像、物体边缘的搜索等等。

图像处理就是用各种不同的算法Q对图像进行操行，即图像处理可以抽象地表示为Q(G)，算法Q的形式取决于图像处理的目的以及图像G的数学模型。目前常用于描述图像的数学模型有三种――中华菊头蝠连续模型、离散模型以及随机场模型。虽然每一幅图像都可以用这三种模型描述，但在实际应用中要根据使用目的的不同选择适当的模型。最常用的离散模型把图像看做像素点的集合，这种模型从概念和表达上来说是最简单的、最基本的表达形式。但对图像处理问题来说，它不是惟一的，也不见得是最好的。由于目前已经建立的图像模型并不能很好地解决图像处理中的所有问题，图像模型至今都是值得研究的理论基础。

随着计算机技术的发展，有一类图像处理是以机器为对象，处理的目的是使机器能够自动识别目标，这称之为图像的识别，这其中要牵涉到一些复杂的模式识别的理论，图像处理

中的难点之一是基于容的图像检索。目前主要是使用统计学方法来形成高层特征，并通过加权平均来替代目标特征。然而这种处理的实际效果并不令人满意。如何设置底层特征并用于目标特征提取，已成为图像处理领域的共性问题。

数字图像的基本特点是：处理的大多是二维信息，信息量大，传输占用的频带较宽。有很多数字图像中象素间的相关性较大，冗余比较多，有利于压缩。对三维景物图像的理解一个视角的二维图像通常是不够的。数字图像处理后的图像很多情况下是给人观察和评价的，因此受人的因素影响较大。

当在脑海里想象一幅沙漠的图片时，对于成千上万单调重复的黄像点而言，与其一个一个定义“黄、黄、黄……”长长的一串颜，还不如告诉电脑：“从这个位置开始存储1000个黄像点”来得简洁，而且还能大大节约存储空间。由于计算机处理的信息是以二进制数的形式表示的，所有的计算机文件归根结底都是以“1”和“0”的形式存储的，和黄像点一样，只要通过合理的数学计算公式，文件的体积都能够被大大压缩以达到“数据无损稠密”的效果。图本质上是由点和如何显示这些点的绘图算法表示的。这些信息在显示以前一般存储在数据库文件中。复杂画面不仅数据库复杂，其存取算法也复杂。这些复杂数据库中的数

据以各种方式组织在一起，例如，环结构、二叉树结构、四叉树结构等等，这些结构一般称为数据结构。数据库本身可以包含指针、子结构和其他非图的数据。

图像变换是图像处理的重要理论基础与应用工具，目前研究的主要图像变换基本上是正交变换，正交变换可以减少图像数据的相关性，获取图像的整体特点，在利于用较少的数据量表示原始图像，这对图像的分析、存储以及图像的传输都是非常实际的问题。这类变换的典型代表是离散余弦变换，它是图像压缩标准JPEG的基础。沃尔什－哈什玛变换等也可以实现图像压缩，而且它们的基向量为整数，运算速度更快，在图像压缩领域也有很好的应用前景。离散Fourier变换的图像压缩功能比较弱，但它的物理意义非常明确，可以将时域图像转换到空域处理，是图像滤波、图像复原、图像重建以及图像形状分析等应用的理论基础。由于图像的量非常大，使得快速算法也是使图像处理获得更广泛工程应用的一个很有价值的研究方向。除了正交变换外，小波变换也是现在研究的一个热点。

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