【专题研究之四⼗】深度解析Hurst模型的打开⽅式
主要观点
现实与理想
诸多市场异象的发现使⼈们对有效市场假说的质疑愈发深重，这些异象主要集中在：收益分布正态性、波动率与时间长度幂率关系、市场记忆性等⽅⾯。⽽分形市场理论则与之不同，它具备两个明显特征：长记忆性（长程相关性）和标度不变性。 分数布朗运动
Peters在系统性提出分形市场理论的同时，还⽤分数布朗运动来描述⾦融市场的运⾏。所谓分数布朗运动实际是由标准布朗运动扩展⽽来，具有⾃相似性，其序贯极差亦服从TH定律。同时，由分数布朗运动性质，不难发现使⽤Hurst模型的理论基础。
Hurst模型的打开⽅式
⾦融市场中⼤多数时间序列的波动往往表现为⾮周期性循环，重标极差分析法从标度不变性⾓度出发，不仅能有效计算⾮周期性循环的平均循环长度（避免传统谱分析弊端），⽽且还能分析周期性循环的固定周期。 在重标极差法下计算Hurst指数，为保证结果稳定性与准确性，将⼦区间长度N的上限确定为⾮周期性循环的平均循环长度极有必要，⽽平均循环长度的计算有赖于重标极差分析。企业家宣言
此外，由于分形市场理论并不以正态分布为前提，因此，传统的算术平均和标准差形式并不适⽤于Hurst指数的期望和标准差的计算公式。
Hurst模型在指数择时上的应⽤
利⽤时变Hurst指数制作多空择时策略，对于上证综指，在10年半的时间内，Hurst模型共发出20次信号（反转信号共7次），共获得累计33.72倍的收益，年化收益39.80%，最⼤回撤-18.54%。⽽对于上证50，在过去4年半的时间
内，Hurst模型共发出13次信号（其中反转信号共3次），累计收益达78.37%，年化收益13.72%，最⼤回撤-16.19%。对于沪深300指数，在过去3年半的时间内，Hurst模型共发出10次信号（其中反转信号共4次），累计收益191.15%，年化收益35.71%，最⼤回撤为-18.06%。
最新观点
今年以来，基于周频数据的上证综指Hurst指数已先后两次进⼊反转区域（2017.3.17~2017.5.5、2017.6.16⾄今），并分别于2017.4.7、2017.7.21发出由涨转跌的反转信号。
正⽂内容
1
理想与现实
1.1、市场异象
有效市场假说是⾦融市场研究的⼀个重要概念，其核⼼思想是，任何时刻证券的价格都完全并正确反映了所有可获取的信息，它对应于⼀种理想的市场结构，即：收益率序列具有独⽴（或短期记忆性）、线性、有限⽅差等特征，并服从正态分布。然⽽，近年来，诸多市场异象的发现使得⼈们对有效市场理论的质疑声愈发深重。
党内法规清理的处理方式包括
1）⽼调重弹的尖峰厚尾
考察过去⼗年来股票市场的统计特性，⽆论从⽇收益还是从周收益的⾓度看，其偏度和峰度两个统计量均显著异于正态情况下的值（正态分布下的偏度和峰度值分别为0和3），且J-B统计量均⼤于5%临界值，说明其具有显著的尖峰厚尾特
情况下的值（正态分布下的偏度和峰度值分别为0和3），且J-B统计量均⼤于5%临界值，说明其具有显著的尖峰厚尾特征。
同时，尖峰厚尾现象在相关指数收益分布图上亦得到明显的印证：
究其原因，在于投资者不仅根据⾃⾝对股票价格和价值的判断来进⾏投资决策，同时，其决策也往往受股价波动趋势的影响：在⼀个连续的上涨（或下跌）趋势得到确认后，投资者会相信新⼀轮上涨（或下跌）⾏情的到来；因此，在市场的⼀轮上涨（或下跌）趋势得到确认后，往往紧跟着连续的上涨（或下跌），这便会导致收益分布在两个尾部要⽐正态分布“厚”。同时，由于投资者对于趋势的确定存在⼀个阈值效应（只有波动超过⼀定阈值，投资者才会作出相应反应），因此，在收益分布中，峰部和尾部占优更⼤的⽐重。logistic模型
2）神奇的1/2法则？致命的1/2法则？
在股市收益满⾜随机运动和正态分布的假设前提下，股市收益率序列的标准差是有限的，因此可⽤于测度股市收益的不确定性，且标准差具有如下标度关系：
这就是著名的1/2法则，意味着标准差依时间的平⽅根⽽呈现规模变化，同时，这也指出了计算波动率的另⼀种⽅式，即：以⽇波动率乘以时间长度的平⽅根来计算⼀段时间内的累计波动率。如果对以上等式两边取对数，不难发现，在双对数图上，（log(σ(Tτ) )，log(T)）是以斜率为1/2的直线。
但事实是否果真如此？我们对国内股票市场（上证综指）进⾏测试，不难发现，短期内，上证综指实
cad模型际波动率值与理论波动率值（即：通过1/2法则计算得到的波动率）较为接近（通常实际波动率值略⾼），但存在⼀个转折点N，当时间长度⼤于N后，实际波动率与理论波动率间将开始出现较⼤偏差（实际波动率远低于理论波动率）。
以图3为例，我们测试了截⾄2008-1-23不同时间长度的波动率。从波动率-时间的双对数图（Lnσ–Ln T图）上不难发现，当时间长度⼤于61天后，理论波动率与时间波动率间出现较⼤偏差，⽽当时间长度⼩于61天时，实际波动率和理论波动率间值亦⾮严格相等（⼤多数情况下，波动率是以⽐时间的平⽅根略⾼的速率在增加）。⽽若我们使⽤相同的市场参数重新进⾏随机模拟，则不难发现，在平均的意义下，波动率和时间长度间能够较好地遵循1/2法则，即：1/2法则能够很好地适⽤于随机运动，但却不适合股市。
3）⾃相关性
随机游⾛和有效市场假说假设证券收益的时间序列中不存在相关性，市场对过去是⽆记忆的。但越来越多的研究表明，⾦融市场收益序列的相关性始终存在，除了早已为⼈所熟知的马⽒短记忆效应外，市场往往具有长程相关性（当我们将时间滞后期拉长后，我们往往可从ACF图得到相应的证据）。
究其原因在于，传统有效市场理论认为⾦融市场⾃相关函数是以指数幂率的⽅式进⾏衰减，⽽实际上，市场⾃相关函数通常是以双曲幂率的速度衰减，衰减速度远低于有效市场假设所认为的指数幂率⽅式，因此，从ACF图上看，虽然滞后期不断变⼤，但市场的⾃相关性远未达到可以被忽略不计的地步。
1.2、分形市场与有效市场
由于有效市场假说⼀直被看作是资本市场理论的主要基⽯，因此受到⽐任何⼀种经济理论都要⼴泛的实证检验。如前所述，⼤量经验数据对其正确性提出了质疑，这些与理论不同的检验主要集中在：对EMH正态性假定的检验、对易变性（即：波动率与时间长度幂率关系）的研究、市场记忆性等诸多⽅⾯。传统EMH的理论框架是基本线性的市场假设，并在实证分析过程中，主要通过运⽤标准布朗运动来衡量市场是否有效；但实际市场并不如有效市场理论假设得那么简练，⽽是经常表现为有偏的随机游⾛，⽽这恰恰是EMH分析所忽视的地⽅。
与有效市场理论相对应的是分形市场理论。上世纪六⼗年代，美国科学家mandelbrot提出股票市场收益分布并不遵循正态分布，⽽是具有尖峰胖尾效应。上世纪九⼗年代，Peters在此基础上，提出了分形市场假设，即⾦融市场本质上是⼀个复杂的⾮线性动态系统：
1）资本市场由数⽬众多的投资者组成，⽽且每⼀个投资者具有不同的投资期限，这就决定了市场受不同投资⾏为和投资周期的影响；
2）不同的市场信息对投资者产⽣不同的影响，短期投资者更注重历史信息，⽽长期投资者更关注基本信息；
3）市场的稳定性主要取决于其流动性，只有当市场是由处于不同投资期限和不同投资⽔平的众多投资者组成时，流动性才能得以实现；
4）市场价格不仅反映了市场中基于技术分析所作的短期交易，⽽且反映了基于基本分析对市场所作的长期估价；
5）若市场与整体经济循环⽆关，则市场本⾝并⽆长期趋势可⾔，其波动主要由交易量、流动性和短期信息决定；若相关，则随着经济周期循环的确定，风险将逐步的降低。
它具有诸多不同于EMH的特点，其中最明显的两个特征是：1）长记忆性（长程相关性），即：过去
的信息将对未来产⽣长期的影响，从⾃相关性⾓度看，表现为⾃相关函数衰减⽅式的不同（以负指数幂率还是双曲幂率⽅式衰减）；2）标度不变性，即：不同时间标度下具有相似或相同的统计规律，从易变性⾓度看，表现T^H准则。
2
分数布朗运动
由于实际⾦融市场太复杂，⽆法通过理想的简单⾼斯马尔科夫模型进⾏建模，Edgar（1991）在提出分形市场概念的同时，还指出⽤分数布朗运动可以更准确地刻划⾦融市场的波动，Peters在此基础上，系统性地提出分形市场假说，并⽤分数布朗运动来描述⾦融市场的运⾏。所谓分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, FBM），实际是由标准布朗运动扩展⽽来：
⼀个随机过程B_H(t)被称为分形布朗运动（FBM），若它满⾜以下定义：
其中，0<H<1，Γ（·）为伽马函数，B（s）为标准布朗运动，⽽K(t-s)满⾜：
根据定义不难发现，分数布朗运动BH(t)实则是dB(t)的加权平均，其权函数即为记忆核函数K。同时，当H=1/2时，BH(t)退化为标准布朗运动；当H>1/2时，由于记忆核函数随幂率缓慢衰减，此时BH(t)的运动因此⽽具有持久性或长期记忆性；⽽当H<1/2时，情形恰恰相反，导致BH(t)的运动具有反持续性。
从这个意义上说，分数布朗运动实际是标准布朗运动这⼀特殊情形的推⼴（将H值从特殊值1/2扩展到0<H<1）。
此外，对于指数为H的分形布朗运动X(t)，可定义其序贯极差：
由于分数布朗运动具有⾃相似性，则此时其序贯极差亦服从T^H定律。基于重标极差的Hurst指数计算⽅法的理论来源即基于此标度不变性理论。
不仅如此，分数布朗运动的时间增量还具有如下性质：
1）分数布朗运动的增量均值为0，即：
2）分数布朗运动的增量⽅差与时间间隔呈幂率关系，即：
3）分数布朗运动增量间的相关性满⾜：
当H=1/2时，C(T)=0，即：未来增量与过去增量不相关；当H<1/2时，C(T)<0，未来增量与过去增量间负相关，即：过去价格增加（或减少）预⽰着未来价格的减少（或增加），未来市场⼤概率将出现反转；当H>1/2时，C(T)>0，未来增量与过去增量间正相关，即：市场⼤概率将延续过去⼀段时间中的上涨（或下跌）趋势。⽽我们对Hurst模型应⽤的理论基础通常便来⾃于此。
3
Hurst模型的打开⽅式抗坏血酸氧化酶
3.1、Hurst指数计算步骤
Hurst是⼀位英国的⽔⽂学家，⼆⼗世纪初他在尼罗河参与⽔坝⼯程（⽔库控制）⼯作——需要确定每年⽔库的放⽔量，以避免因过多（或过少）放⽔导致⽔库⽔位降低到危险程度（或溢出）。构建模型时，⼀个⾃然的想法是假定不可控部分（⾬⽔）流⼊量遵循随机游⾛，但由于尼罗河地区的⽣态系统具有较⼤的⾃由度（受诸多因素影响），随后Hurst发现其并不遵循随机游⾛，并由此提出重标极差法，⽤于描述分数布朗运动中的参数H。此后，Mandelbrot和Wallis对Hurst理论（尤其是R/S分析⽅法）作了较为系统的研究，并给出严格的数学描述。上世纪九⼗年代，Peters则将该⽅法引⼊资本市场领域，并取得了较为明显的效果。
对于Hurst指数的计算⽅法（重标极差法），其计算流程⼀般分为三步：
1、将长度为N的时间序列（通常为收益率序列）划分为长度为n的A个连续⼦区间Ia（a=1,……,A），Ia中每⼀点记作Rk,a；
2、针对不同的⼦区间长度n，计算A个⼦区间的平均重标极差：
。其中每个⼦区间上重标极差的计算步骤：
1）对每个长度为n的⼦区间，在对相应时间序列作零均值化处理后，计算其累计离差：
2）定义单个⼦区间上的极差：pka
3）计算各⼦区间上的重标极差值（即：对⼦区间上极差重新标度）：（R/S）a=Ra/Sa，其中，
3、由于样本的平均重标极差值与样本长度之间存在标度关系，即：
因此，对不同时间尺度（即：不同划分长度n）重复以上过程，并将所得的平均重标极差值(R/S)n对n进⾏双对数回归：
可得到相应的Hurst指数。
3.2、关于R/S分析法
3.2.1 关于周期
所谓的周期性仅仅是我们强加于市场的⼀个幻相？还是真实存在于⾦融市场的时间序列（⽆论是价格指数还是经济数据）中？若周期性存在，周期长度是否固定且唯⼀？
在⾦融市场上，关于时间序列周期（或者说循环长度）的分析⼀直是个⼗分重要但却始终悬⽽未决的问题。在传统的有效市场假说中，⾦融市场价格波动通常被认为遵循随机游⾛；但后来⼤量实证研究（Debondt & Summers）表明，⾦融市场（尤其是股票市场）中⼤多数时间序列（包括：价格、经济数据等）的波动并不遵循随机游⾛原则，⽽是表现为⼀种均值回复的特性，即：⾦融市场中⼤多数时间序列（包括：价格、经济数据等）存在着不断起伏的循环过程。
然⽽，不同于⾃然界中的⽇⽉交替、四季变化等具有固定周期的周期性循环，⾦融市场中⼤多数时间序列（包括：价格、经济数据等）波动（涨跌）往往表现为⾮周期性循环（即：并⽆精确固定的频率<；或者说具有时变性>，⽽往往表现为⼀个平均的频率）。这⼀事实早已在各类涉及谱分析（或周期分析）理论的信号处理或计量经济学建模过程中得到印证：在使⽤各式各样谱分析⽅法（⽆论是经典谱估计⽅法，还是诸如参数型、⾮参数型的现代谱估计）来解构历史数据，并由此获得若⼲个固定周期后，通过应⽤具有相应周期的正弦函数可在样本内获得较好的拟合效果，平均拟合优度甚⾄可超过70%，但样本外预测效果却往往差强⼈意。以PPI数据为例，我们可以很轻易地使⽤现代谱分析⽅法获取样本内历史PPI数据所包含的所谓周期，并通过引⼊正弦函数获得良好的样本内拟合效果，⽽⼀旦对该模型作外推，则预测误差成倍放⼤。
更为不幸的是，早期⼈们对⾦融市场价格波动循环的研究，却还主要集中在规则的周期性循环上：上世纪六⼗年
代，Granger等⼈即提出可以通过谱分析理论来研究部分周期性⾦融时间序列，并发现对于具有显著周期性的时间序列，其功率谱函数在基频及其谐频上的峰值所对应频率的倒数即为其周期。对于谱分析⽅法，除了其本⾝具有⼀定程度的缺陷（存在诸如：频谱泄露、谱线分裂、虚假峰值、分辨率低等⼀系列问题），它还预设了⼀个前提，即：假设了涉及经济、价格数据的各类时间序列均由诸多具备不同频率和振幅的正弦波合成。可遗憾的是，⽬前为⽌没有任何直观的理由使⼈相信，⾦融市场的循环与正弦波或其他周期循环有关，⽽⼤多数⽤于谱分析的时间序列亦不满⾜可傅⾥叶展开的前提假设。同时，当周期性时间序列的信噪⽐较低或时间序列不存在固定周期时，谱分析⽅法也会变得⽆能为⼒。
有鉴于此，近年来，随着系统科学在⾦融市场中的⼴泛应⽤，⼤量研究发现，⾦融市场的价格波动实际存在着⼀种⾮周期性循环。⾃上世纪九⼗年代以来，越来越多的⼈（Lo, Peters, Cheung, Corazza等）通过引⼊R/S分析法（Rescaled Range Analysis，重标极差法）来研究⾦融市场的⾮周期性循环特征。
3.2.2 R/S分析法（Rescaled Range Analysis）
针对⾦融市场上的波动聚集性问题，传统的ARCH族模型可以对之进⾏很好的描述。但是这类模型建⽴的基础是假定所研究的系统是随机且其分布满⾜正态性要求，当系统是介于随机性和确定性之间的⾮线性系统时，这些标准的统计⽅法就不再有效，此时便不得不诉诸于⾮参数统计⽅法。
R/S分析⽅法就是这样⼀种已得到⼴泛运⽤的⾮参数统计⽅法。R/S分析法是由英国⽔⽂学家Hurst在上世纪五⼗年察尼罗河流量变化时发现，并被Peters将其推⼴⾄资本市场。其主要思想是分析重标度的累积均值离差的标度⾏为（对于⼀个在⼀维时间轴上游⾛的质点，其累积均值离差实际就是质点随时间偏离起始点的距离）。该⽅法的最⼤优点在于它不必假设所测度的时间序列的分布特征：⽆论是正态分布还是⾮正态分布，R/S分析结果的稳健性均不受影响。
由分数布朗运动的性质和Hurst指数的计算过程，不难发现，R/S分析法的实质是利⽤了重标极差值的标度不变性，通过回归得到其在双对数（Log(R/S)N-LogN）图上的斜率，并以此作为Hurst指数值。所谓标度不变性：
对于具有循环（⽆论是周期性循环还是⾮周期性循环）特性的时间序列，当时间长度达到循环长度时，恰恰是标度不变性现象消失的开始。在Log(R/S)N-LogN图上，直观的表现为时间序列的循环长度（⽆论是周期性循环还是⾮周期性循环）等于偏离幂率轨迹的突变点所对应的时间长度。R/S分析法可⽤于分析⾮周期性循环的平均循环长度的依据即在于此。
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