一、知识与方法清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sin x ,x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0),⎝⎛⎭⎫π2，1,(π,0),⎝⎛⎭⎫3π
2，－1,(2π,0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1),⎝⎛⎭⎫π2，0,(π,－1),⎝⎛⎭⎫3π
2，0,(2π,1)．
【对点训练1】已知函数()π24f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭.
（1）用“五点法”作出()f x 在[]0,π上的简图. （2）由图象写出()f x 在[]0,π上的单调区间. 【解析】（1）列表： 描点､连线如图所示：
（2）由函数图象可知,()f x 在[]0,π上的单调增区间为π0,8⎡
⎤⎢⎥⎣⎦,5π
,π8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，单调减区间为π,85π8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )
【对点训练2】（2021上海市高三模拟）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ,2x ,…,n x ，若()34tan cos x x α-=，则sin 2α=___________. 【答案】3
5
【解析】因为()cos2cos100x x x =≥，则有1022πx x k =+或1022πx x n +=,k ,n ∈N ,
解得1π4x k =或π麦克斯韦理论
6
n x =
,k ,n ∈N ，又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ,2x ,…,n x ，所以0x =,π6,π4,π3,π2,
2π
3
,
…, 故3π4x =
,4π3x =，所以()34tan cos x x α-=，即ππtan cos 43α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
,
则
1tan 11tan 2αα-=+，解得1tan 3α=，故222
2sin cos 2tan 3
sin 22sin cos sin cos tan 15
ααααααααα====++. 3.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．
【对点训练3】（2021江苏省镇江市高三上学期10月月考）函数(李忠仁
)2
ln 32y x x =--是（ ） A ．,16π⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
B ．1,
6π⎛
⎤
- ⎥⎝
⎦
C ．63,
π⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
D ．5,66ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】由题知,2320,
2sin 10
x x x ⎧-->⎨
-≥⎩ 由2032x x -->，解得31x -<< 由2sin 10x -≥解得,
5226
6
x k k π生物教具制作
π
ππ≤≤
++,k Z ∈ 当0k =时，由31,
56
6x x ππ-<<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，解得
16x π≤<.当1k =时，区间()3,1-和1317,66ππ⎛⎫
⎪⎝⎭无交集； 当1k =-时，区间()3,1-和117,66ππ
⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
无交集；所以函数的定义域,16π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选A.
4.y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的值域，可根据()1cos 1x ωϕ-≤+≤（或 ()1sin 1x ωϕ-≤+≤）来求.
【对点训练4】()2sin sin f x x x =+的值域为 【答案】[]3,1-
【解析】当0sin 1x ≤≤时
()[]2sin sin sin 0,1f x x x x =-=∈，当1sin 0x -≤<；时
()[)2sin sin 3sin 3,0f x x x x =-=∈-，所以()f x 的值域为[]3,1-.
5. 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )在某一区间上的值域，先求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．
【对点训练5】（2021福建省福州一中高三五模）函数()ππcos 22sin cos 22f x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
神黄豆
,π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥
台风中心⎣⎦的最小值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．0
【答案】A
【解析】()ππcos 22sin cos 22f x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos22cos sin x x x =+cos2sin 2x x =+24x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
因为π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以52,
444x πππ⎛⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
故当5244x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2x π
=时,()min 12f x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，故选A. 6.形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域；
【对点训练6】（2021天津市河西区高三下学期二模）函数()sin cos 6f x x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
的值域为（ ）
A ．[-2,2]
B ．⎡⎣
C ．[-1,1]
D ．22⎡-⎢⎣
⎦ 【答案】B
【解析】f (x )=sin x -cos ()6
x π
+
=sin x x +12sin x =32sin x x ()6x π-,
所以函数f (x )的值域为⎡⎣，故选B
7.形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数求值域，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域；
【对点训练7】（2021年北京市高考数学试题）函数()cos cos2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为9
8 D ．偶函数，最大值为98
【答案】D
【解析】由题意,()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数,
又2
219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝
⎭, 所以当1
cos 4x =
时,()f x 取最大值98
.故选D. 8.形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域． 【对点训练8】()()2sin 12cos 1y x x =++的值域为
【答案】3,32⎡-+⎢⎣
. 【
解
析
】
()()()2sin 12cos 14sin cos 2sin cos 1
y x x x x x x =++=+++,
设
sin cos ,t x x x =+≤≤，则2
2
13221222
y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当min 13,22t y ==-,
当t =
,max 3y =+.
9.分式形式的函数求值域，要注意定义域的限制, 【对点训练9】()sin 2cos 1sin x x
f x x
=+的值域为
【答案】14,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
【解析】()()()()22
2sin 1sin sin 2cos 112sin 1sin 2sin sin 11sin 1sin 22x x x x f x x x x x x x -⎛
⎫===-=--+≠- ⎪++⎝
⎭,
因为1sin 1x -<≤，所以()f x 的值域为14,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
.
10. 周期函数的定义
对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.
【对点训练10】（2021年全国高考乙卷真题）函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）
章宗祥
A ．3π
B ．3π和2
C ．6π
D ．6π和2
【答案】C
【解析】由题,(
)
34x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，所以()f x 的最小正周期为
26
13
T ,.
故选C ．
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