非谐效应——热膨胀
一、热膨胀
通常是指外压强不变的情况下，大多数物质在温度升高时，其体积增大，温度降低时体积缩小。 物体因温度改变而发生的膨胀现象叫“热膨胀”。通常是指外压强不变的情况下，大多数物质在温度升高时，其体积增大，温度降低时体积缩小。在相同条件下，气体膨胀最大，液体膨胀次之，固体膨胀最小。也有少数物质在一定的温度范围内，温度升高时，其体积反而减小。因为物体温度升高时，分子运动的平均动能增大，分子间的距离也增大，物体的体积随之而扩大；温度降低，物体冷却时分子的平均动能变小，使分子间距离缩短，于是物体的体积就要缩小。又由于固体、液体和气体分子运动的平均动能大小不同，因而从热膨胀的宏观现象来看亦有显著的区别。灌水定额
压力保持不变时，由于温度的改变，造成固体、液体和气体发生长度或体积变化的现象。膨胀的程度用膨胀系数表示。
固体的热膨胀固体的线膨胀系数定义 l是试件的长度，T 是温度,p是压强。对于每种固体，都有一个德拜特征温度，低于此特征温度时,α随温度强烈变动；高于此特征温度时,α实际上是常数。处在室温的许多普通材料，其温度都接近或高于各自的特征温度，其长度随温度变化的规律，可用近似式l＝lo(l+αt)表示，
式中lo为零摄氏度(0°C)时的长度，t是摄氏温度。从微观看，固体的热膨胀是固体中相邻原子间的平均距离增大。 晶体中两相邻原子间的势能是原子核间距离的函数，势能曲线是一条非对称曲线。在一定的振动能量下，两原子的距离在平衡位置附近改变着，由于势能曲线的非对称性，其平均距离r大于平衡时的距离ro；在更高的振动能量时，它们的平均距离就更大。由于振动的能量随温度升高而增大，所以两原子间的平均距离也随温度升高而增大，结果使整块固体胀大。
二、热膨胀系数
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物体由于温度改变而有胀缩现象。其变化能力以等压(p一定)下，单位温度变化所导致的体积变化，即热膨胀系数表示。热膨胀系数有体膨胀系数β和线膨胀系数热α。
体膨胀系数β=ΔV/(V*ΔT)，
线膨胀系数α=ΔL/(L*ΔT)，
式中ΔV为所给温度变化ΔT下物体体积的改变，V为初始体积；ΔL为所给温度变化ΔT下物体长度的改变，L为初始长度。
严格说来，上式只是温度变化范围不大时的微分定义式的差分近似；准确定义要求ΔV与ΔT无限微小，这也意味着，热膨胀系数在较大的温度区间内通常不是常量。
常德水表厂温度变化不是很大时，α就成了常量，利用它，可以把固体和液体体积膨胀表示如下：
Vt=V0(1+3αΔT)，
而对理想气体，
Vt=V0(1+0.00367ΔT)；
Vt、V0分别为物体末态和初态的体积
对于可近似看做一维的物体，长度就是衡量其体积的决定因素，这时的热膨胀系数可简化定义为：单位温度改变下长度的增加量与的原长度的比值，这就是线膨胀系数。
对于三维的具有各向异性的物质，有线膨胀系数和体膨胀系数之分。如石墨结构具有显著的各向异性，因而石墨纤维线膨胀系数也呈现出各向异性，表现为平行于层面方向的热膨胀系数远小于垂直于层面方向。
宏观热膨胀系数与各轴向膨胀系数的关系式有多个，普遍认可的有Mrozowski算式：
α=Aαc+(1-A)αa
αa,αc分别为a轴和c轴方向的热膨胀率，A被称为“结构端面”参数。
三、非简谐效应
简谐近似的方法是认为原子振动位移
很小，故势能展开式中只保留二次项，
忽略三次方及以上的各非谐项，并用
一系列独立的谐振子来描述晶格振
动。这种简谐理论，数学处理简单，
可以成功地解释晶格比热等物理问
题，却不能解释晶体热膨胀问题。按
简谐近似，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的（如图3-7-1中的虚线所示），随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。若计入非简谐效应，即考虑原子间的相互作用势能的3次方以上的项，则势能曲线在平衡位置附近将不再对称（如图1中的实线所示），当温度升高，总能量增大时，原子间的平均距离将会增大，从而引起热膨胀现象。
四、晶体的热胀系数
为简单起见，只考虑非谐项对一维晶体中某两个原子平均距离的影响。设晶体中的原子1固定在原点，原子2的平衡位置为0r ，δ代表B 原子离开平衡位置的位移。两原子之间的相互作用势能在0r 处附近作泰勒级数展开，得：
贺敏仁000232302311()()()()()2!3!r r r U U U U r U r r r r δδδδ∂∂∂+=++++∂∂∂ ………（1） 这里有，
0()0r U r ∂=∂，0()U r 对晶格动力学问题无影响，可取0()U r =0。
若令 0221()2!r U K r ∂=∂，0331()3!r U g r ∂=∂
则有：230()U r K g δδδ+=-……………………………………………
读者寄语（2）
在简谐近似下，势能展开式中只保留到二次项，即：
20()U r K δδ+= (3)
由图1可看出，图中虚线是简谐近似下的势能曲线，是对称的。在任何温度下，原子围绕其平衡位置作对称简谐振动，温度低时，振幅小，温度高时，振幅大。但其平衡位置仍在0r ，所以无热膨胀，显然与实际不符。也可用数学方法计算位移δ的平均值δ。按玻尔兹曼统计，平均位移可写为：
22exp exp exp exp B B B B U K d d k T k T U K d d k T k T δδδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==
⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ (4)
上式中分子的被积函数是奇函数，故积分为0，即0δ
=。由此可见原子的平均位置和原子的平衡位置相同，没有热膨胀。若计入非谐项的影响，则势能曲线不对称，原子振动的平衡位置不再是原来的平衡位置，随温度升高，振动平衡位置向右移，增大了两原子的间距。而且温度越高，这距离越大，显示出热膨胀，且热胀系数与T 有关。
按玻尔兹曼统计，平均位移可写为：
2323exp exp exp exp B B B B U K g d d k T k T U K g d d k T k T δδδδδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==
⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰…………………（5） 设δ很小，则上式的分子和分母分别为：
2233
exp (1)B K k T B B K g g d e d k T k T δδδδδδδδ-+∞+∞-∞-∞⎛⎫+=-≈+ ⎪⎝⎭⎰⎰分子
2514220324B K k T B B B k T g g e d k T k T K δδδπ-+∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰
(6)
生于一九九叉
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