作者：XXX 指导老师：XXX
摘 要 函数的一致连续性是数学分析中最重要，且高度抽象的概念之一，在数学分析和相关专业课的后继学习与研究中起着十分重要的作用.一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从函数一致连续性的定义出发，对一致连续性的性质、定理进行讨论，并介绍其应用. 关键词 函数 一致连续性 应用
1 引言
弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.因此本文对函数一致连续性的概念、性质以及判定条件进行了深入的分析和总结,目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续,使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识.
2 一次函数的连续性与一致连续性
2.1 定义
定义2.1.1 函数在某内有定义，若对 ，，使得当时，有
.
那么，函数在点处连续.
定义2.1.2 函数在区间上有定义，若对，，，只要，就有
,
则称函数在区间上一致连续.
2.2 函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系
（1）函数在区间上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系.函数连续性的李俊渠不仅和有关，而且还和点有关，即对于不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区间连续；而函数的一致连续性的仅与有关，与无关,即对不同的，都是是相同的.这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续李佳琦为啥没有薇娅厉害，而且要求函数在区间上的连续是“go to the goal一致”的.
（2）函数在区间上一致连续，则在上连续.这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（或）固定即可，但这个命题的逆命题：在区间连续的函数在这区间上不一定一致连续，却不一定成立.
例2.1 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）.
证明 取 ，对（充分小且不妨设），取，
则虽然有
,
但
.
所以函数在内不一致连续.
（3）在闭区间上连续的函数在上一致连续.这是著名的G.康托定理。（我们将在函数的一致连续性的判定定理进行介绍.）
注 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：
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（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系.
（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对，当时，就有
.
（3）函数一致连续的否定叙述：设函数在区间上有定义，若，使，
总，虽然有，
但是
,
则称函数在区间上非一致连续.
总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质.
3 一致连续的性质
性质3.1 设与都区在间贵州师范学院学报上一致连续，则在区间上一致连续.
证明 由于函数在区间一致连续，所以，
当时，有
所以
.
所以一致连续.
性质3.2 设与都在区间上一致连续，则在区间上一致连续.
性质3.3 若和都是区间上的有界的一致连续函数，则
也在上一致连续.
证明 由题设，有界，从而存在 ，使
.
再由 ，都一致连续，则和 ,使，且时有
,
令,则，且时
所以在上一致连续.
性质3.4 设与都在区间上一致连续，且区间上有界，且存在
，使得对任意的有，则在区间一致连续.
证明 由在区间的一致连续性得 有
所以
=
.
由于，所以,即有界，函数在其定义域上一致连续.
再由性质3.3知，在其定义域上一致连续.
性质3.5 函数在 上一致连续,又在上一致连续,德鲁兹 ，则
在上一致连续.
证明 由在一致连续，故,使当,且
时，有
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