思考和练习
1 如何描述受力物体内一点的应力状态？为什么？
受力物体内一点的应力状态，用过一点相互垂直的三个平面上的九个应力分量来描述。
因为过该点其它截面的应力均可以用这九个应力分量来求出。
2 已知受力物体内一点的应力状态分别为
()MPa ij ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000021012σ ；()MPa ij ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111σ （1）求外法线方向与三个坐标轴等倾斜截面上的应力分量；
（2）求该点的应力张量不变量；
（3）求该点的主应力，并画出主应力简图；
（4）求主偏应力，并画出主偏应力简图；
（5）求最大切应力
（6）求等效应力。
（1）)(2MPa N =σ，)(2MPa N =
τ；)(3MPa N =σ，0=N τ （2）0,3,4321=−==I I I ；0,0,3321===I I I
（3）0,)(1,)(3321===σσσMPa MPa ；0,0,)(3321===σσσMPa
（4）)(3
4,)(31,)(35321MPa MPa MPa −=′−=′=′σσσ )(1,)(1,)(232
1MPa MPa MPa −=′−=′=′σσσ （5）)(2
3;)(23MPa MPa （6）)(3;)(7MPa MPa
3 已知受力物体内一点的应力状态分别为
()MPa ij ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡−−=015151520015010σ ；()MPa ij ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=110308030030803050σ 试将其分解为应力偏张量及应力球张量，并计算应力偏张量的第二不变量。
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=′100001000010;101515151001500ij m ij δσσ
5502
=′I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=′3/1600003/1600003/160;3/1703080303/1603080303/10ij m ij δσσ 3/337002
=′I
4为什么说应力张量的第一、第二和第三不变量1I 、2I 、3I 与坐标的选择无关？
由于主应力数值与坐标的选择无关，，因此特征方程中的系数与坐标的选择无关。
5 等效应力具有哪些特点？
（1）等效应力是一个不变量；
（2）等效应力在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力，即
当032==σσ时，1σσ=；
（3）等效应力不是作用在某特定平面上的应力，因此，不能在某一截面上表示出来；
（4）等效应力可以理解为一点应力状态中应力偏张量的综合作用。
6已知受力物体内的应力场为：3126x c xy x +−=σ，222
3xy c y −=σ，y x c y c xy 2332−−=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数321c c c 、、。
321321=−==c c c 、、
7 真应变与工程应变有哪些特点？
（1）工程应变不能反映变形的实际情况；（2）对数应变具有可加性，而工程应变不具有可加性；（3）对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变；（4）工程应变计算简单。
8 主应变简图有几种形式，为什么？
主应变简图有三种形式，是由于体积不变条件决定的。
9 证明体积不变条件可表示为0=++z y x εεε
&&&。 由应变增量体积不变条件表达式除以时间增量。
10 判断下列应变场能否存在：
（1）2xy x =ε，y x y 2=ε，xy z =ε，0=xy γ，()y z yz +=221γ，()
2221y x zx +=γ； （2）()22y
x c x +=ε，2cx y =ε，xy xy 2=γ，0===zx yz z γγε。
（1）不存在；（2）当c =1时，存在。
11为什么说应变增量更能准确地反映受力物体的变形情况？
变形过程终了时的全量应变不一定取决于当时的应力状态。使得全量应变在塑性变形研究中的作用受到了很大的限制。应变增量与瞬时的应力状态相对应了。
12试述塑性加工时工具的工作速度、位移速度以及应变速率的区别与联系。
l
u 0&&=ε
练习与思考题
1 试述屈服准则的几何意义。
在主应力空间中，屈雷斯加屈服准则为一与三个坐标轴等倾斜的六棱柱面；米塞斯屈服
准在主应力空间为一与三个坐标轴等倾斜的圆柱面。
2 试述米塞斯屈服准则与屈雷斯加屈服准则的特点。
（a ）屈雷斯加屈服准则：k s 2=σ；米塞斯屈服准则：k s 3=σ。
（b ）与坐标的选择无关
（c ）在屈雷斯加屈服准则中，没有考虑中间主应力对材料屈服的影响。而米塞斯屈服准则由于考虑了中间主应力对屈服的影响。 （d ） 静水压力对两种屈服准则没有影响。
（e ） 在主应力空间中，屈雷斯加屈服准则为一与三个坐标轴等倾斜的六棱柱面在π平面上为一正六边形，称为屈雷斯加六边形。米塞斯屈服准在主应力空间为一与三个坐标轴等倾斜的圆柱面，在π平面上为一个圆，称为米塞斯圆。
（f ）应用上的限制
在主应力顺序已知时，屈雷斯加屈服准则是主应力分量的线性函数，使用起来非常方便，在工程设计中常常被采用。而米塞斯屈服准则显得复杂。但是，当主应力顺序未知时，屈雷斯加屈服准则为六次方程，显然比米塞斯屈服准则复杂得多。
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3 何谓π平面，为什么说在π平面上有六个对称轴？
过原点且与等倾斜轴垂直的平面，称为π平面。由于假设材料的屈服与坐标的选择无关，
因此，可以得到三个对称轴，由材料的拉压性能相同，可以得到另外三个对称轴。
4 已知应力张量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=C C ij 0000000σ （C 为正的常数）
，试问当恰好发生屈服时，按米塞斯屈服准则和屈雷斯加屈服准则，?=C 。 按米塞斯屈服准则：s C σ31=；屈雷斯加屈服准则：s C σ2
1=。
黄磷行业准入条件5 在棱边为1×1×1mm 立方体的一个面上施加710N 的压缩载荷，正好使该立方体发生屈服，如果在其它两个面上分别作用有10N 和20N 的压缩载荷时，则该平面上需要作用多大载荷，才能使该立方体发生屈服？假设接触面上的摩擦可以忽略。
40N，或－10N。
6 已知具有半球形端部的薄壁圆筒（如图1所示），平均半径为r，壁厚为t，受内压力p 作用，试求此时薄壁圆筒的屈服条件（按米塞斯屈服准则和屈雷斯加屈服准则）。
按米塞斯屈服准则：s t pr σ=23；按屈雷斯加屈服准则：s t
pr σ=。
7 在x 、y 、z 坐标系下，试推导出y z σσ=、0==yz zx ττ条件下的米塞斯（Mises ）屈服准则的表达式。 ()222
3s xy y x στσσ=+−
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8 为什么说描述塑性范围内的应力-应变关系比弹性范围内的要复杂得多？
由弹性应力应变关系可知，应力应变的关系是线性的，并可用虎克定律来描述，应变可
由应力唯一确定。但是，在塑性变形范围内，应力与应变的关系是非线性的，应变不能由应力唯一确定，而是与变形历史有关。这是由于随着变形的发生与发展，材料原有的组织和性能也随之发生变化，而且塑性变形是永久变形，每一微小阶段的塑性变形所导致的组织和性能变化都要保留下来，并影响下一阶段的变形过程，因此，各个微小变形阶段的应力应变关系都是不同的。
9 试述全量理论与增量理论的区别。
增量理论：应力与应变增量之间关系。全量理论：应力与全量应变之间关系的。二者的
区别在于：表达式、假设条件不同。
10 应力应变顺序对应规律包含哪些基本内容？在应用上有何意义？
应力应变顺序对应规律包括应力应变顺序对应关系和应力应变的中间关系。应力应变顺
序对应规律，既可以根据应变的顺序确定应力的顺序，也可以根据应力顺序确定应变的顺序。
长白山日报电子版11 等效应力-等效应变单一曲线假设有什么意义？
根据单一曲线假设，就可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力与等效应变曲
线。
12 等效应力-等效应变曲线的简化模型有哪些？分别写出其数学表达式。
理想弹塑性材料模型、理想刚塑性材料模型、幂指数硬化材料模型、刚塑性非线性硬化
材料模型、弹塑性线性硬化材料模型、刚塑性线性硬化材料模型。
13已知21s
σσ=，22s
罗马法原论
σσ−=，03=σ，a d p =1ε（a 为常数），试求相应的应变增量p
d 2ε、p d 3ε。屈服点
1：（-1）：0
14 已知下列三种应力状态三个主应力为：1）σ1=σ，σ2=0，σ3=-σ/2；2）σ1=2σ，σ2=σ，σ3=0；3）σ1=60，σ2=30，σ3=0。求应变增量的比值。
（1）1：（-1）：0；（2）1： 0：（-1）；（3）1： 0：（-1）。
图1 具有半球形端部的薄壁圆筒
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