索忠林
空军航空大学基础部，长春（130022）
E-mail：ccjlasuo@mail.jl
孵化器摘要：超塑性材料是应变速率敏感性材料.在超塑性材料单向拉伸变形的宏观力学研究上，关于变形的本构方程、失稳判据、极限应变和断裂应变的预测方面，都存在着不同程度的分歧.为了深入研究应变速率在拉伸变形过程中的变化规律，规范和统一超塑变形在宏观力学研究方面存在的分歧，本文将超塑性单向拉伸变形的试样看作非线性动力系统，通过建立该系统的非线性微分方程，研究应变速率的变化规律，给出了超塑性单向拉伸变形的应变速率波动模型，进而给出了不同变形路径下的本构方程. 关键词：超塑性变形，应变速率，本构方程，失稳，微分方程.
中图分类号：TG113.25
关于超塑性材料及其变形规律的研究已走过了半个多世纪的漫长岁月.超塑性研究已经从最初的观察某些金属及合金的超塑性现象，发展到深入研究其力学性能和变形机理，直到应用.超塑变形过程中的晶界滑
动是人们普遍接受的变形机制.近年来出现了用分子动力学模拟超塑变形中的晶界滑动[1].瑞士的学者对于二维和三维的晶界滑动问题进行了分子动力学模拟，并在超塑性国际会议上做了相关的主题报告，其研究结果具有世界领先水平.但是这种模拟主要还是定性的或半定量的.
模拟超塑变形的晶界滑动，对于从微观上研究超塑性变形行为，揭示超塑性变形机理具有非常重要的意义.如果能够从宏观上模拟超塑性变形过程，揭示超塑变形的力学特性，会为宏观变形力学规律与微观物理机理相互衔接的研究提供理论基础.本文对超塑性单向拉伸变形过程进行非线性动力学分析，阐述变形过程中应变速率的变化规律，提出超塑性材料拉伸变形的应变速率波动模型；给出不同的变形路径下包含应力、应变、应变速率、应变速率敏感性指数、应变硬化指数和变形初始条件的本构方程，拟为从宏观上模拟超塑性变形过程建立理论基础.
1超塑性拉伸变形的应变速率波动模型
超塑性材料的应变速率敏感性是与材料的变形机制密切相关的[2].在高温下，材料变形过程中同时存在硬化和软化两个相悖的过程.硬化主要是由晶内位错堆积造成的，软化则主要通过动态回复和动态再结晶实现.当应变速率较高时，变形以晶内滑移为主要变形机制.这时应变造成的硬化本来就得不到及时的松弛，提高应变速率会使软化过程进行得更不充分，造成应力的升高.但这种影响与应变引起的硬化比起来是较小的，因此此时m值尽管不为0，但应力仍主要表现为对应变敏感.在中等应变速率下，变
形机制发生了变化，以位错滑移和空位扩散协调下的晶界滑动为主.这时软化过程有足够的时间进行，因此在一定的变形条件下硬化和软化能够在某一应力水平上达到平衡，而不会出现明显的应变硬化现象.这种平衡状态就是一种准稳定变形状态.此时如果提高应变速率，就会打破这一平衡，引起应力的升高，应力的升高又会加快软化过程的进行，直到在更高的应力水平上与硬化过程达到新的平衡，从宏观上表现出来就是应力对应变速率的敏感性[2].
关于拉伸变形的稳定性，人们已经作了大量的工作[3][4].采用不同的参变量作为评价塑性失稳的指标，得到几种典型的失稳准则[5]-[9].还有人通过引入状态参数[10]，建立含有多个参数的二阶微分方程，通过对方程中参数的讨论来解析塑性失稳.
在文[11]中，建立了超塑性拉伸变形微分方程
2mX X X σγσ
=−+&&. (1.1) 2(1)P mX X X P
γ=−+&&. (1.2) 其中σ为真实应力，&σ
为应力对时间的变化率，P 为载荷，&P 为载荷对时间的变化率，&ε为应变速率1=⋅εγσ，=⋅&&m εε
σσ，==&&&X d dt εε.且利用方程(1.2)从非线性动力学的角度解析了超塑性拉伸变形的稳定性.
畑山東明在《m 値と塑性不》[12]中将试样分成若干个小单元，并认为各小单元最稳定的状态是弹性应变为0的状态.记此状态为(0)S ，这是没有外力作用的状态，断裂寿命无限大.指出每个小单元或是整个试样停留在给定应变速率状态的时间和可能性依赖于这个应变速率状态对于断裂驱动能量在力学方面是否稳定；指出在变形过程中，各小单元以及整个试样的应变速率以一定的周期进行波动，其波动的大小取决于m 值.
将拉伸试样看做一个系统，该系统由于载荷的作用而产生应变速率.就是说载荷是该系统的驱动力，通过载荷的作用而使得系统获得一定的应变速率，从而实现应变的增加.载荷与应变速率满足微分方程(1.2) [11]，即
2(1)P mX X X P
γ=−+&& 当试样制成后，给定了拉伸温度，在变形过程中当应变速率满足1(1)P P εγ∗
=−⋅&&时，系统处于最佳的稳定态.变形过程中试样的应变速率ε
&就是围绕着这个应变速率ε∗
&进行波动变化的. 下面结合超塑性材料的变形机制及定态解1(1)P P εγ∗
=−⋅&&，从系统的角度来研究拉伸过程中应变速率的变化.在变形过程中，系统通过加载初始载荷，由初始载荷和材料的应变硬化特性确定初始应变速率.而材料的晶粒尺寸、实验温度和初始应变速率决定应变速率
敏感性指数m 的大小.变形初期，应变速率保持在1(1)P P εγ∗
=−⋅&&的水平.变形中由于应变的产生而出现硬化现象，随着硬化的积累，硬化部位的应变速率下降，试样的应变速率ε
&低于1(1)P P εγ∗
=−⋅&&水平.若此时的应变速率ε&处于一个合适的水平，硬化部位发生软化，应变速率ε
&将得到回复.应变速率的回复有三种可能，第一，虽然应变速率有所回复，但是幅度太小，还处在低于ε∗&的水平；第二，回复的幅度较为合适，应变速率回复到ε
∗&或ε∗&的邻近水平.第三，回复的幅度太大，处在高于ε∗
&的水平.在稳定和准稳定变形阶段应变速率基本都能回复到ε
∗&或ε∗&的邻近水平，以保证变形平稳进行.经过这样的回复后，应变速率处在一个新的水平，不管这个水平是三种可能的哪一种，随着变形的进行都要多次重复上述的硬化和软化过程（应变速率合适的情况下），应变速率也要重复波动，除非发生断裂.应变速
率回复到ε∗&或ε∗
&的邻近的能力大小取决于应变速率敏感性指数m .整个超塑性拉伸变形的过程就是应变速率围绕ε
∗
&上下波动的过程. 在系统的变化过程中，应变速率的变化使得系统发生失稳现象.当试样的应变速率ε&偏离ε
∗&时，若应变速率能够回复到或接近应变速率ε∗
&，变形将保持平稳进行；当试样的应变速率不能回复到应变速率ε
∗&上来，并且偏离的较大时，试样发生整体的失稳.当试样的部分
应变速率偏离固有的应变速率时，在试样的各部分之间的相互作用力以及应变速率敏感性、应变硬化的影响下，该部位的应变速率有两种发展方向.当该部位的应变速率偏离应变速率ε
∗&后，在很短的时间内又向ε∗&趋近时，将保持稳定性变形；当该部位的应变速率向偏离ε∗&更大的方向变化时，试样就发生了局部失稳.在应变速率的波动变化中，应变速率敏感性指
数m 代表着应变速率回复或趋近应变速率ε
∗
苔丝论文&的能力，m 值越大回复能力越大.当初始应变速率进入到中等应变速率区域时，系统将获得较大的m 值，但是这个m 值并不是固定不变的.随着应变的增加，应变速率偏离ε
∗
&的频率加快、幅度加大，当m 达到最大值后呈下降趋势时，造成应变速率的回复能力也在下降.当m 值下降到一定程度，系统便完全丧失了应变速率的回复能力.最后由于应变速率偏离应变速率ε
爱尔朗分布∗
&越来越大，造成断裂失稳的发生，试样断裂. 2 不同变形路径下的本构方程
自从人们认识到应变速率对超塑性变形的作用以来，就不断通过实验或是理论研究探索应变速率对超
塑性变形的影响及其在超塑性变形过程中的变化规律.人们对于超塑性拉伸变形做了大量的实验，从实验的角度给出了超塑性拉伸变形的力学状态方程.
一直以来人们对于超塑性材料单向拉伸变形的研究，其目的就是要寻能够根据材料的一些可测的特性概括出任一时刻的形变历史，从而可以不依赖对形变历史的详尽了解就可预测将来的变形情况的本构方程.虽然Backofen [13]给出了反映超塑性拉伸变形的本构方程，
Hart [14]给出了反映这一变形过程的状态方程，
但是由于这两个方程其结构和所反映的各力学参量、物理量、材料参数之间关系的简单化和模糊化，使它们不能全面而具体的反映超塑性拉伸变形的过程，使得它们在应用上受到很大的限制.另外由于超塑性变形过程的复杂性，也不是能用简单和模糊的关系方程所反映的.
在前面给出的(1.1)(1.2)虽然是比较复杂的微分方程，但是当把m 、γ看作是常数时，利
用应变速率的基本定义，它却是可解的二阶微分方程.在(1.1)式中把m 、γ看作是常数，将ε
&从0ε
&到ε&、σ从0σ到σ、ε从0到ε积分，可以得到应力、应变速率、应变、应变速率敏感性指数、应变硬化指数之间的关系为：
00m m e γεσσεε
⋅=&&. (2.1) 在(1.2)式中，将P 从0P 到P ，其它同上进行积分，可得到
岛袋宽子(1)00
m m P P e γεεε−−⋅=&&. (2.2) 这里的0σ、0ε
&分别为应力和应变速率的初始值.从(2.1)(2.2)两式中可以看出在变形过程中初始应变速率的作用.(2.1)(2.2)这两个方程比较全面而又具体的反映了超塑性材料单向拉伸变形过程中，各力学参量、物理量、材料参数之间关系，同时也表达了应力、应变、应变速率
之间的关系，以及它们与实验的初始条件有关.在(2.1)式中令0γ=，
便得到Backofen [13]提出的本构方程，也就是说m K σε
=&只是(2.1)的一个特例，是忽略了应变硬化指数作用的本构方程.从σ、P 的表达式来看，它们的表示形式非常类似，这与在同一变形路径下σε−、P ε−的曲线形状相近是相吻合的.如果联立(2.1)(2.2)两式，可以得到理想状态下由载荷、应变确定应力的关系式：
0Pe P εσσ=. (2.3)
此式说明变形过程中应力的变化取决于载荷与应变的变化.
方程(2.1)(2.2)具有非常重要的意义，它不仅全面而具体地反映了超塑性变形过程中，各变量、材料参数之间的关系，而且可以利用它们确定不同变形路径下变量参数之间的关系. 定载荷拉伸下0P P =，于是由(2.2)可得：
(1)0m m e γεε
ε−⋅=&&或10m e γεεε−⋅=&&， (2.4) 0e εσσ=. (2.5)
恒应变速率拉伸下0εε=&&，则有 0e γεσσ⋅=， (2.6)
(1)0P P e γε−−⋅=. (2.7)
恒速率拉伸下0dL
L ==&&&.这样由L L ε=&&得到ln d dL L ε=−&，联合d dL L ε=得到ln 1d d ε
李叔同的传奇人生
ε=−&.对ln 1d d εε=−&两端将ε&从0ε&到ε&、ε从0到ε积分，得 0e εε
ε−=&&. (2.8) 利用文[11]的(5)式，联合0dL
L ==&&&和L L ε=&&可得下式 ()m σγεσ
=−&&， (2.9) 对此式两端σ从0σ到σ、ε从0到ε积分，得到
()0m e γεσσ−−⋅=. (2.10)
根据σ的定义：P ＝σA 可以得到P 随时间的变化率：=+&&&P
A A σσ，用P ＝σA 同除该式两端有：
P A P A σσ
=+&&& 将=−&&A A ε代入上式中得到P P σσε=+&&&，将此式与(2.9)式联合可得 (1)P m P
γε=−+−&&. (2.11) 此式两端P 从0P 到P 、ε从0到ε积分得到下式：
(1)0m P P e γε−+−⋅=. (2.12)
从上述几组公式中可以更加清楚的看到材料参数m 、γ在不同变形路径下对超塑性变形所起的作用.在定载荷下，(1)m γ−对于应变速率的上升、下降、保持稳定是至关重要的参数，这一点同Li chuan chung [15]的讨论相吻合，而且Li chuan chuag 已将其作为塑性局部化因子的主要部分，并将其推广
到双向拉伸和胀形实验中[16].另外，这一参数也受到M.Y.Demeri [17]的高度重视，将其作为判断流动失稳的准则.在恒应变速率拉伸下，γ和1γ−是决定σ、P 上升、下降、保持稳定的关键参数.其中0γ=时σ取得最大值，1γ=时P 取得最大值，而P 取最大值时的1γ=同以往的研究结果相同.在恒速率拉伸下，m γ−和
1m γ+−决定着σ、P 的上升、下降、保持稳定，m γ=时σ取得最大值，1m γ=+时P 取得最大值，而1m γ=+这一结论同以往学者的研究结果也是相同的.
3 总结
综上所述，本文以超塑性变形的微分方程为基础，结合超塑性材料的变形机制阐述了超塑性变形的应变速率的波动模型，从中体现了超塑性材料的应变速率敏感性对变形过程的影响.本文结合超塑性拉伸变形的微分方程建立了全面而具体反映变形过程力学变量、材料参数、物理量之间关系，能够体现初始条件影响的本构方程. 该本构方程为利用非线性动力学模拟超塑性拉伸变形提供了理论依据. 通过应变速率波动模型和不同变形路径下的本构方程，进一步明确了材料参数在变形过程中的作用和影响.
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Strain-rate fluctuation model for superplastic tensile
deforming
Suo Zhonglin
School of Basic Sciences，Aviation University of Air Force of PLA，Changchun (130022)
Abstract
Superplastic materials are sensitive to strain rate sensitivity. There are different comments on constitutive equation, instable criterion, prediction of limit strain and failure strain in study of macro-mechanics of superplastic materials. In order to investigate deeply the changing law of strain rate during deformation, it is necessary to normalize and unify those differences. In this paper, samples of superplastic tensile deformations are regarded as nonlinear dynamical system. Through establishing nonlinear differential equation and studying the changing law of strain rate, strain-rate fluctuation model for superplastic tensile deforming and constitutive equation under different deformation path are given.
Keywords：Superplastic deformation，strain rate，constitutive equation，instability，differential eq
ustion
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