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新教材苏教版高中数学必修第一册全册书各章节知识点考点重点难点归纳总结

苏教版必修第一册重点归纳

第一章集合

1.1　集合的概念与表示

第1课时　集合的概念

知识点1　元素与集合的概念

(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．

(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．

假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？

[提示]　不去，不清楚自己是不是高个子．

集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．

知识点2　元素与集合

1．元素与集合的表示

(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．

2．元素与集合的关系

(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作蓓舒宁a∈A，读作“a属于A”．

(2)不属于(符号：∉或)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或aA，读作“a不属于A”．

知识点3　常用数集及表示符号

名称	非负整数集 (自然数集)	正整数集	整数集	有理数集	实数集
符号	N	N*或N＋	Z	Q	R

考点

类型1　集合的概念

【例1】　(1)考察下列每组对象，能构成集合的是( )

①中国各地的美丽乡村；

美国情景喜剧补偿心理②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．

A．③④ B．②③④

C．②③ D．②④

(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)

①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；

②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；

③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．

(1)B　(2)②　[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.

(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.

②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．

③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]

一组对象能组成集合的标准是什么？

[提示]　判断一组对象是否为集合的三依据：

(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．

(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．

(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．

类型2　元素与集合的关系

【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是( )

①π∈R　②∈R　③∉Q　④0∈N*　⑤|－2|∈Z

A．2 B．3

C．4 D．5

(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．

(1)C　(2)2或4　[(1)①π是无理数∴π∈R故①正确，是无理数∴∈R，②正确.是无理数∴∉哈尔滨学院图书馆Q，④0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z正确．

(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A.

a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.]

判断元素与集合关系的2种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

类型3　集合中元素的特性及应用

【例3】　已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？

[提示]　a≠b，a＝1或b＝1.

[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a.

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.

(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A杜华瑾中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.

2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．

[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当无线收发器a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1.

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．

所以a＝－1.

由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

第2课时　集合的表示

知识点1　集合的表示方法

表示方法	定义	一般形式
列举法	将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内	{a1，a2，…，an，…}
描述法	将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来	{x\|p(x)}
Venn 图法	用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合