知识点一 :
1.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.记作：_________________ 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A.
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作______________
释义：有两种可能： ①A是B的一部分；②A与B是同一集合，即A=B
也就是说，任何一个集合是它本身的子集 即.
2.Venn图(文氏图):
在数学中，我们经常用封闭的曲线的内部代表集合，称这种图形为Venn图.
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系如下：
或
3. 集合与集合之间的 “相等”关系：
若____________________，则中的元素是一样的，因此.即 .
4.真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）. 记作：________________________，读作：A真包含于B（或B真包含A）.
其中“存在元素”的含义也可以简单的理解为 对于有两种可能： ①A是B的一部分；②A与B是同一集合，即A=B，而A B仅表示A是B的一部分，且.用Venn图表示为：
5.空集：_____________________________.
规定：①空集是任何集合的子集，即A；
②是任何非空集合的真子集.即若A≠，则A.
6.易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
②{0}与空集：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合
③{}与：{}是含有一个元素的集合，在这里是一个元素 ≠{}，∈{}. 当然如果明确是空集合，则应为{}.
7.子集的个数：
①空集有_________个子集，就是其本身，有_________个真子集；
②单元素集{a}有2个子集__________，有1个真子集，有0个非空真子集；
③双元素集{a,b }有4个子集____________，有3个真子集________，有2个非空真子集_________；
④三元素集{a,b,c }有8个子集、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}，有7个真子集、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}，有6个非空真子集{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}.
一般地，含n(n≠0)个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集的个数为
[例1] 已知.
［例2］设集合M=｛x|x= +,k∈Z｝,N=｛x|x= +,k∈Z｝,则（）
A、 M=N B、 M N C、 M N D、 M∩N=
［例3］若，求是实数的取值范围.
练习：已知集合，.若，求实数m的取值范围
［例4］已知集合，，且,求a的取值范围
［例5］下列集合中表示空集的是( )
A．{x∈R|x＋5＝5} B．{x∈R|x＋5＞5}
C．{x∈R|x2＝0} D．{x∈R|x2＋x＋1＝0}
［例6］已知集合，，若,求m的取值范围
［例7］已知三个集合E＝｛x｜x2－3x＋2＝0｝，F＝｛x｜x2－ax＋a－1＝0｝，G＝｛x｜x2－bx＋2＝0｝
问：同时满足FE，GE的实数a和b是否存在？若存在，求出a，b所有值的集合；若不存在，请说明理由．
练习：
一、选择题
1．下列关系不正确的是
A．RQ B．RZ C．NN D．ZQ
2．下列命题：
（1）空集没有子集 （2）任何集合至少有两个子集
（3）空集是任何集合的真子集 （4）若,则
正确的有 （ ）
A 0个 B 1 C 2 D 3
3 设集合，，则下列关系中正确的是 （ ）
A B C D
4．设M＝｛x｜x＞，则①0M，②M，③｛0｝M，④｛｝M，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
青海藏语网5．集合M＝｛y｜y＝x2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是（ ）
A．M＝N B．M左卡尼汀N C．MN D．无法确定
6.下面四个命题正确的是:
A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集
C．空集有真子集 D．={0}
7 已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是 （ 水源地保护工程 ）
A．15 B．16 C．3 D．4
8 若则满足上述条件的集合M的个数是 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．设，则集合的关系是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．集合A＝｛x｜x2＋x-1＝0，x∈Rgpu集｝，B=｛x｜x放水器2-x+1＝0，x∈R｝则A_________B．
11．满足｛1，0｝M｛0，1，2，3｝的不同集合M有___________．
12．非空集合M满足①M｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M．则同时满足①，②的M共有_________个．
13 已知，集合，若,则实数
14 若集合，则b的值是__________
定义，若，则N－M= .
三、解答题
15 ．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当AB时，求b的取值集合．
16 已知集合劳合乔治，，若,求实数a的取值范围17 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ -1=0 , a∈R} 若BA ，求实数a 的取值范围。
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