工业产品生产许可证管理条例集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，是表达数学知识、进行数学交流的重要工具。同时集合是高中数学的基本知识，为历年高考必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
一、 考纲解读
1.考试内容：（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算。 2.考试要求：（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系，全集与空集的含义；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。能用韦恩（V enn ）图表达集合的关系及运算；（3）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个集合的并集与交集。理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合子集的补集。 二、知识网络
三、知识讲解：
1.集合的有关概念
（1）某些指定的对象集在一起就构成一个集合，简称集。其中的每一个对象叫集合的元素，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征。
确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素。 互异性：集合中任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在一个集合中不能重复出现。 无序性：集合与组成它的元素顺序无关。如集合}{c b a ,，与}{b a c ,，是同一个集合。
（2）元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。任一元素a 与集合A 的关系是a A ∈与a A ∉二者必居其一。
（3）集合的分类：根据集合中元素的个数可将集合分为有限集、无限集和空集。
不含任何元素的集合叫做空集，用符号Φ表示。
空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
按集合中元素的属性，可将集合分为数集、点集及其它集合，中学阶段我们学习的主要是数集与点集，这也是高考重点考查的内容。
（4）集合的表示：集合有三种常用表示方法，它们是列举法、描述法和图示（V enn 图或数轴等）法。 为了书写和应用的方便，规定：非负整数集（自然数集）记作N ；正整数集记作N*或N +；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作 （文科不要求）
2.集合与集合之间的关系
（1）子集：如果集合A 中的所有元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆（或者B A ⊇）。
（2）真子集：若A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B ⊂（或者B A ⊃）。
注：定义中暗含真子集的两个条件：i ）A 是B 的子集，ii) B 中至少有一个元素不属于A 。
(3) 集合的相等，对于集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，则称集合A 与B 相等，记作A B =。即若A B =则集合A 、B 的所有元素都相同。
由集合子集定义易得：A A ⊆; 若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B ⊂且B C ⊂，则A C ⊂。（传递性）
若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，非空子集有2
1n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个。
（结合分步计数原理解释） 3.集合的运算及其性质
（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B 。即
{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈。图中蓝部分即为A 与B 的交集。
（2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，
悬臂梁挠度计算公式叫做A 与B 的并集，记作A B 。即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈。
图中黄部分即为A 与B 的并集。
（3）补集：已知全集为U ，集合A U ⊆，由U 中所有不属于集合A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集
说出来就过时合U 中的补集，记作U C A ，即U C A ={|,x x U ∈且}x A ∉。图中红
部分即为集合A 在集合U 中的补集。
全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合，叫做
全集，记作U 。
（4）集合的运算性质
①,,()();A A A A B B A A B C A B C ===
②,,()();A A A A B B A A B C A B C ===
③,,,;U U A A A C U C U Φ=ΦΦ=Φ==Φ
④(),(),()U U U U A C A A C A U C C A A =Φ== ；
⑤()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == ；
口诀：交之补等于补之并，并之补等于补之交
⑥A B =A ⇔A B ⊆⇔A B B = 。（考试中常用到，应该熟练转化）
四、命题趋势
本单元内容属于工具性知识，高考每年对本部分内容都有考查，近几年高考对本单元考查有如下特点:
高考对集合的考查有两种主要形式：（1）直接考查集合的概念；（2）以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用，从所涉及的知识点上来看，常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系，小题目综合化是近几年考试的特点。
（08年陕西卷（2），集合与方程结合；08全国卷Ⅱ（1），考察集合的运算；
07年陕西卷（2），集合与不等式结合；07全国卷Ⅰ（文科）（1），集合与不等式结合
06年陕西卷（1），集合与不等式结合；06全国卷ⅠⅡ（理科）（1），集合与不等式结合）
预测2010年高考仍会延续传统，题目会以选择或填空的形式出现，难度不大．会把重点放在基础知识
、基本方法和集合的载体作用上。
五、备考建议
1.集合作为高中数学的一种基本语言和数学表达工具，几乎每年为必考内容。其中集合的关系与集合的运算是考试的重点。在备考时要注意：既要牢固掌握集合的基本概念与运算，又要加强与其它数学知识的联系、突出集合的工具性。
2.本单元题目由浅入深配备了对集合的有关概念、，集合的运算的训练题，然后是适度地加强了与函数、不等式的联系，注意了小题目的综合化，但严格控制难度，强化集合的载体作用。
六、例题讲析
题型1：集合的概念
例1：设集合|,,|,,2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ⎧
⎧⎫⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎭⎭⎩
⎩则M 、N 之间的关系是（ ） A. M N = B. M N ⊂ C. M N ⊃ D. M N φ=
世界机械发展史
问题分析：判断集合间的关系，要从元素入手，对元素的结构特征进行分析，寻异同。问题解答：解法一：列举法：335,,,,,,44444M πππππ⎧⎫=--⎨⎬⎭⎩
， 335,,,,0,,,,,4244244N ππππππππ⎧⎫=---⎨⎬⎭⎩
,,M N ∴⊂选B 。 解法二：比较法：21|,|,244k k M x x k Z x x k Z πππ⎧⎧+⎫⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎭⎭⎩⎩
，
2|,|,424k k N x x k Z x x k Z πππ⎧+⎫⎫⎧==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎭⎩⎭⎩
。∵,k Z ∈21k ∴+是奇数，而2k +仍是一个整数，∴M N ⊂，选B 。
解法三：数形结合法：把M N 、中的元素看成是以弧度为单位的角的集合，将其终边的平面直角系中的位置画出来，直观地看到M N 、的关系（如图1）选B 。
（图中蓝的部分为集合所包含的元素）
图1
知识总结：三种解法在把握集合元素特征上体现了不同的思维方法。方法一是采用列举法，使元素明朗化，方法二是从结构上的异同入手，分析整数的奇偶性，方法三是换一个角度看待元素，同时利用了数形结合的数学思想，直观明了。
例2：已知集合}}{
{2|1,,|1,A y y x x R B y y x x R ==+∈==+∈，则A B = ( ) A ． (0,1),(1,2) B. }{(0,1),(1,2) C. }{|1y y ≥ D. }{|1,2y y y ==或
问题分析：集合A 、B 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(),x y 。因此,A B 分别表示函数21(R),1(R)y x x y x x =+∈=+∈的值域，求A B 即求两个函数值域的交集。
问题解答：集合}}{{}}{{2|1,R |1,|1,R |R A y y x x y y B y y x x y y ==+∈=≥==+∈=∈，}}}{{
{|1|R |1A B y y y y y y ∴=≥∈=≥ 。所以选C 。
知识总结：①本题易错选B ，这是由于在集合概念理解上，仅注意了构成集合元素的共同特性，而忽视了集合元素是什么。事实上A 、B 的元素是数而不是点，因此A 、B 是两个数集而不是点集。②集合是由元素构成的，所以，认识集合要从认识元素开始。看下面集合，有何不同？ }}{{}}{{2222|1,|1,(,)|1,|1,A y y x B x y x C x y y x D x x x ==+==+==+==+
}}{{22(,)|1,,1.E x y y x x Z F y x ==+∈==+
例3．已知集合}}{{2
,,2,,,A a a b a b B a ac ac =++=，若A B =，则c 的值是 。 问题分析：要求c 的值，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同以及集合元素的确定性、互异性、无序性建立关系式。
问题解答：分两种情况进行讨论。
（1）若22,a b ac a b ac +=+=且 消去b 得：220a ac ac +-=，当0a =时，集合B
中的三个元素的均为零，与集合元素互异矛盾，0a ∴≠.2
120c c ∴+-=，解得1c =，这时集合B 中格致中学
三个元素又相同，1c ∴≠。
either的用法
（2）若222,20,a b ac a b ac b ac ac a +=+=--=且消去得：由（1）知0,a ≠2210c c ∴--=解得
1111,22
c c c =-≠=-或，又故。 知识总结：集合元素的三性是集合概念的重要组成部分，特别是元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题失败。这需要养成解题后检验的习惯，以修正问题的结论。
题型2：集合间的关系
（文）例4：设集合}{|32,A a a n n Z ==+∈，集合}{
|31,B b b k k Z ==-∈，则集合A 、B 的关系是 。
问题分析：反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的，因此，在判断集合间关系时，应回到元素与集合的关系中去。
问题解答：任取,323(1)1()a A a n n n Z ∈=+=+-∈则。
,1,,n Z n Z a B A B ∈∴+∈∴∈⊆ 故。
又任取,313(1)2(),b B b k k k Z ∈=-=-+∈则
,1,,k Z k Z b A B A ∈∴-∈∴∈⊆ 故。
由上分析得出A B =。
知识总结：为了对集合的元素明晰特征，这里的关键是先对元素进行适当的变形，然后再推理。集合之间的关系问题，是常碰到的，必须予以重视。
（理）例4、对于函数y = f (x )，若f (x ) = x ，则称x 为函数y = f (x )的“不动点”；对于函数y =
f (x )，若f [f (x )] = x ，则称x 为函数y = f (x )的“稳定点”. 记函数y = f (x )为“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ；即A = {x | f (x ) = x }，B = {x | f [f (x )] = x }.
（1）求证A ⊆B ；
（2）若f (x ) = ax 2 – 1 (a ∈R ，x ∈R )，且A = B ≠∅，求实数a 的取值范围.
问题分析：问题实质是方程问题，关键是利用方程理论借助集合思想分析求解，同时注意空集情况讨
论. 问题解答：（1）若A =∅，则A ⊆B 显然成立.
若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t ) = t ，因此
f [f (t )] = f (t ) = t ，则t ∈B ，从而A ⊆B .
（2）A 中元素是方程f (x ) = x ，即ax 2 – 1 = x 的实根，由A ≠∅知a = 0或⎩⎨
⎧≥+=∆≠0410a a ， 则a ≥41-. 而B 中元素是方程f [f (x )] = x ，即a (ax 2–1)2 – 1 = x ，整理得a 3x 4 – 2a 2x 2 – x + a – 1 = 0的实根. 由A ⊆B ，知上述方程左边含有因式ax 2 – x – 1. 则方程可化为：(ax 2–x –1)·(a 2x 2+ax –a +1) = 0，因此，要A = B 即要方程a 2x 2+ax –a +1=0 …………①
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