周向红
（中南大学商学院, 湖南，长沙 410083）
摘要：针对具有区间数的多指标决策问题，借鉴一种逼近于理想点(TOPSIS)分析方法的思想，采用区间数灰关联度的计算方法，对正、负关联度，利用相对隶属度方法对决策方案进行评价，给出了解决区间数多指标决策问题的计算步骤。本文将整个评价方案看作一个整体来寻求正、负理想方案，该方法避免了区间数难以排序的问题，具有可理解性和可操作性。最后给出实例以验证该方法的有效性和实用性。 关键词：多指标决策；灰关联度分析；相对隶属度；区间数
Relative Membership Degree Method for Incidence Analyse Based on
Multi-Attribute Interval Number
XIANG-HONG ZHOU
(Central South University Business School, ChangSha Hunan 410083)
Abstract: With respect to multiple attribute decision-making problems with interval number, it draws lessons from the idea of topsis, adopts the computing method for the the grey incidence degree on the interval number and utilizes a relative membership degree method on the positive and negative relevancy degree to appraise decision scheme, a calculation steps for solving the decision-making problems with intervals is given. It avoids the problems that it is difficult to rank the interval numbers, and views the decision scheme in a whole system to seek positive and negative ideal scheme, meanwhile it is intelligible and operational. Finally, an example is given to prove the validity and practicability of the method.
Keyword: multiple attribute decision-making; grey incidence degree analysis; relative membership degree; interval number
1 引言
灰系统理论是我国学者邓聚龙教授首先提出的[1]，包括灰关联度评价方法、灰聚类分析方法等。灰评价的基本思想是根据待分析系统的各特征参量序列曲线间的几何相似或变化态势的接近程度判断其关联程度的大小，其优点在于能够处理信息部分明确、部分不明确的灰
系统。本文采用灰关联度分析[8]结合相对隶属度方法[6、10]
对决策方案进行评价。
多指标决策分析在具体应用中广泛存在[2]，常用的方案评价方法有ELECTRE、TOPSIS、灰
关联分析等[3、4、6]
。在实际问题中，由于指标值常常具有不确定性，从而导致决策数由明晰数拓展
到模糊数，目前，有许多文章已经探讨了基于区间数的TOPSIS方法[3]
，而采用基于区间灰关联度的方案评价方法还不是很多。文[5]给出了一种基于理想点的区间评价方法，把区间数决策矩阵元素的上、下区间界分割成上界矩阵和下界矩阵，文[6]在文[5]的基础上提出了一种基于灰关联度的区间评价方法，同时采用相对隶属度的方法对结果进行优选，该方法使得区间数决策矩阵被人为地割裂开，所得结果与实际不符。基于此，文[7] 把整个评价方案看作一个整体来寻求最优决策方案，采用灰关联度对方案进行评价。但是，只考虑与正理想方案的关联度，而没有考虑到与负理想方案的关联度。因此，本文借鉴TOPSIS 方法的思想，考虑到与正、负理想方案的关联度，利用相对隶属度方法对决策方案进行评价。 2 区间数的运算与区间数的距离
定义1 设A=,≤,B =[L
U
[a ,a ]L a U a L b ,U b ],L b ≤U
b 为区间数集中的两个区间数, 定义
为区间数A与B的距离。
(,)d A B
1
L L U U
(,)a b||a b|]
p p p
d A B=−+−（1）
本文取p = 1, 记 =
1
(,)
d A B L L U U
1
[|a b||a b|]
2
−+−, 称为海明距离。
1
(,)
d A B
定义2 设系统
3 关联分析的相对隶属度方法
综合各种方法的优点，给出基于区间数多指标决策关联分析的相对隶属度方法，其计算步骤分为以下七步。
（1） 构造原始数据矩阵
设多指标决策问题有n个被评估对象或拟定的决策方案组成决策方案集A, A= {A 1, A 2, …, A n}；m个评价指标或属性组成指标集R , R = {R1, R2, …, Rm }; 方案Ai 对指标Rj 的属性值为[,]
L U
ij ij
x x ( i= 1, 2,…, n; j= 1, 2, …,m )。由此，可以构造如下原始区间数矩阵：
A=（2）
11111212111111
21212222212122
11111212111111
11221
[,][,][,][,]
[,][,][,][,]
博雅汉语
[,][,][,][,]
[,][,][,
L U L U L U L U
m m m m
L U L U L U L U
m m m m
L U L U L U L U
n n n n n m n m n m n m
L U L U L
n n n n nm
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
−−
−−
−−−−−−−−−−
−
L
L
M M M M M
L
L1][,]
U L U
nm nm nm
x x
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦其中，[,]
L U
ij ij
x x为第i个地区在第j个指标下的区间数，L
ij
x为该区间数的下确界，U
ij
x为该
区间数的上确界。L
ij
x，U
ij
x∈R，L
ij
x≤U
ij
x。（＝1，2，L，n；
i j＝1，2，L，）n为地区数，m为指标个数，当
m
L
ij
x=U
ij
x时，区间数退化为实数。
（2）规范化决策矩阵
如果指标是效益型指标，直接采用“比重变换法”[9]，如公式（3），将矩阵A转换成矩阵B。
1
1
/
,
/,
n
L L U
ij ij ij
i
n
U U L
ij ij ij
i
b x x
秋光的涨幅b x x
=
=
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∑
∑
（3）如果指标是成本型指标，则按公式（4）处理。
1
1
1
1
1
1
U
ij
L
ij n
L
i ij
L
ij
U
ij n
U
i ij
x
b
x
x
b
x
=
=
⎧
⎪
⎪=
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪⎩
∑
∑
（4）
B= 111112121111112121
2222212122111112121111
1111221[,][,][,]
[,][,][,][,][,][,][,]
[,][,][,][,][,L U L U
L U
L U
m m m m L U L U
L U L U
m m m m L U L U
L U L U
n n n n n m n m n m n m L U L U L n n n n nm b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b −−−−−−−−−−−−−−−L
L M M M M M
L L 1][,]U L U
nm nm nm b b −⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（5）
（3） 构造理想最优决策最差方案
正理想解，其中
12(,,,)m v v v v ++++
=L j v +=[,]L U j j v v ++=[ ()
max ,max ],1,2,,;1,2,,L U
ij ij i i
z z i n j m ==L L （6）负理想解，其中
12(,,,)m v v v v −−−−
=L ()
[,][min ,min ],1,2,,;1,2,,L U L U
j j j ij ij i
i
v v v z z i n j m −−−====L L （7）（4）计算区间关联系数
计算与正理想解的关联系数ij ξ+
{}{}{}
min min max max max max ij ij i
j
i
j
ij ij ij i
j L L L L ρξρ++
+++
+=
+
（8）
其中，，分辨系数ρ∈[0，1]，一般ρ=0.5。为第i 个方案在第j 个指标下，区间数[,1,2,,;1,2,,i n j ==L m L ij L +
]L
U
ij ij b b 到正理想区间数[,]L
U
j j v v ++的海明距离。
1[||||]2
L L U U ij ij j ij j L b v b v ++=−+−+ （9）
同理，计算与负理想解的关联系数ij ξ−
{}{}{}
min min max max max max ij ij i
j
i j
ij ij
ij
i
j L L L L
ρξρ−−
−−
−+=
+
其中，i n ，分辨系数ρ∈[0，1]，一般ρ=0.5。为第i 个方案在第j 个指标下，区间数[,1,2,,;1,2,,j m ==L L ij L −
]L
U
ij ij b b 到负理想区间数[,]L
U
j j v v −−的海明距离。
1[||||]2
L L U U ij ij j ij j L b v b v −−=−+−−
（5）计算区间关联度
关联度是因素之间关联性的“量度”，是分析灰系统中多因素关联程度的一种方法。i ε+
为第i个方案Bi 与正理想解V + 的区间数关联度。
鲁米那1
m
i
j ij
j w εξ+
+==∑1,2,,i n （10）
=L 同理，计算与负理想解的关联度i ε−
。
1
m
i
j ij i n
j w εξ−−==∑1,2,,=L www.paper.edu
（6）计算各个方案的相对隶属度
根据分析, 正、负理想方案实际不存在, 因此，方案的择优与排序问题是在方案集中选取使其尽可能地
与负理想方案关联度越小越好，而与正理想方案则相反。设方案Bi相对于正理想方案的相对隶属度为i µ。则由模糊集合论中余集的定义，Bi相对于负理想方案的相对隶属度为1i µ−，由此定义Bi与正、负理想方案的综合加权关联度。
2222
min ()(1)1,2,,i i i i i F i µµεµε−+=+−=L n 1
（11）
.0i st µ≤≤
求解模型
令
()
0i i
dF d µµ=，可得： 22
1222[1],
1,2,,i i i i i i
i εεµεεε−+−+−+=+==+L n
（12）
（7）排序
当i µ越大时，第i个方案越接近正理想方案，越远离负理想方案。因此我们可根据i µ 的大小进行排序。 4 应用实例
本文实例采用参考文献[7]的基础数据，实现上述提出的步骤。
投资银行欲对某市4家企业A 1, A 2, A 3, A 4进行投资, 现选取投资净产值率、投资利税率、内部收益率、环境污染程度等4项指标对它们进行评估, 以决定是否对其投资。
陕西理工大学魏乐R 1为投资净产值率(净产值与投资额之比) ; R 2为投资利税率(净利税与投资额之比) ; R 3为内部收益率;
R 4为环境污染程度(环保部门历时检测并模糊量化)。
投资银行通过调查与核算这4家企业A 1, A 2,A 3, A 4的上述指标, 具体数据如表1所示; 其中指标R 1,R 2,R 3为效益型指标, A 4为成本型指标。如表1所示：
表1 区间数决策矩阵
Ai R1 R2 R3 R4 A1 [1.8,2.2] [1.2,1.8] [1.8,2.2] [5.4,5.6] A2 [2.3,2.7] [2.4,3.0] [1.6,2.0] [6.4,6.6] A3 [1.6,2.0] [1.7,2.3] [1.9,2.3] [4.4,4.6] A4 [2.0,2.4] [1.5,2.1] [1.8,2.2] [4.9,5.1]
规范化处理后的区间数决策矩阵如表2所示。 表2 规范化区间数决策矩阵王家新的资料
Ai R1 R2 R3 R4 A1 [0.1940,0.2857] [0.1304,0.2647] [0.2069,0.3098] [0.2311,0.2491] A2 [0.2470,0.2609] [0.2609,0.4412] [0.1839,0.2187] [0.1960,0.2102] A3 [0.1720,0.2597] [0.1848,0.3382] [0.2814,,0.3239] [0.2813,0.3057] A4 [0.2051,0.3120] [0.1630,,0.3088] [0.2059,0.3098] [0.2537,0.2747]
原方法与正、负理想方案的关联度及其排名如表三，从表中可以看到，仅考虑与正理想方案的关联度时，排名是一致的，都是A A 。如果仅考虑与负理想方案的关联度时，排名有所变化，。
3241A A f f f 1342A A A A f f f www.paper.edu
表3 原方法与正、负理想方案的关联度及其排名
方案
原方法结果及排名
与理想方案的关联度及排名
与负理想方案的关联度及排名
1 0.5305 4 0.5541 4 0.7525 4
工程结算
2 0.7457 2 0.6601 2 0.7504
3 3 0.8547 1 0.7520 1 0.6089 1
4 0.6867 3 0.6352 3 0.610
5 2
如果综合考虑到与正、负理想方案的关联度时，采用隶属度、综合关联度、TOPSIS 方法，它们得到的排序结果相同如表3所示， 。 342A A A A f f f 1
由表4可知，方案 A 3仍然具有较大的投资价值，投资银行仍应当把A 3作为首选投资对象，这与文[7]结论相同。然而，综合考虑到与正、负理想方案的关联度时，排序结果有所变化。但是，通过不同方法的对比，本文所得结论是正确并且合理的。
5 结论
本文借鉴一种逼近于理想点分析方法的思想，采用区间数灰关联度的计算方法，对正、负关联度，利用相对隶属度方法对决策方案进行评价，给出了解决区间数多指标决策问题的计算步骤。并结合算例比较说明该方法的合理性、可理解性以及易操作性，能够运用于区间数多指标体系多方案的评价，具有广泛的应用价值。 参考文献
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[4] Wolfgang Janko, Edward Bernroider Multi-Criteria Decision Making An Application study of ELECTRE & TOPSIS 2005
[5] 梁梁 陈刚 基于理想点的区间评价方法[J]，预测,1996,5:60-61
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[7] 党耀国, 刘思峰, 刘斌, 于亦文 多指标区间数关联决策模型的研究[J]，南京航空航天大学学报,2004,36(3):403-406
[8] 熊和金 陈绵云 瞿坦 灰关联度公式的几种拓广[J]，系统工程与电子技术 2000,22(1): 8-10
[9] Goh C H , Tung Y C A , Cheng C H. A revised weighted sum decision model for robot selection[J]. Computers &Industrial Engineering, 1996.30(2):193-199.
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