熵值法与TOPSIS 法以及两者结合
补充：
⼀、熵值法
熵越⼤说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越⼩；熵越⼩说明系统越有序，携带的信息越多，权重越⼤。
熵值法是⼀种客观赋权⽅法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进⾏赋权，从⽽得出各个指标相应的权重，相对变化程度⼤的指标具有较⼤的权重。 步骤
假设有m个待评价样本，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
其中 表⽰第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。
对于某项指标，样本的离散程度越⼤，则该指标在综合评价中所起的作⽤就越⼤。如果该指标的标志值全部相等，则表⽰该指标在综合评价中不起作⽤。例如：
语⽂
数学英语⾳乐张三50448590李四33742078王五46388810陈六65459851杨七
13
65
12
45索爱m600
或者
GDP
就业⼈数
财政⽀出
⼈均可⽀配收⼊
北京xx xx xx xx 上海xx xx xx xx ⼴州xx xx xx xx 深圳
xx
xx
xx
xx
（2）数据处理
为消除因量纲不同对评价结果的影响，需要对各指标进⾏归⼀化或者标准化处理。归⼀化处理：
X =⎝⎜⎛x 11⋮x ⋱⋯x 1n ⋮x mn
⎠⎟⎞X ij X j
若所⽤指标的值越⼤越好（正向指标:）
若所⽤指标的值越⼩越好（负向指标:）
其中为第 j 项指标值，为第 j 项指标的最⼤值，为第 j 项指标的最⼩值。或者标准化处理：
（3）计算⽐重
计算第 j 个指标中，第 i 个样本标志值的⽐重：
此，可以建⽴数据的⽐重矩阵复方苯甲酸膏
（4） 计算第 j 个指标的熵值
其中，常数
保证，即最⼤为1所以，第 j 个指标的熵值为
x =ij
′x −x ma x min
x −x j min x =ij
′x −x ma x min
x −x ma x j x j x max x min x =
ij ′
S j x −ij x ˉj p =ij ，0≤x ∑i m
ij
x ij
p ≤ij 1
P =⎝⎜⎛p 11⋮p ⋱⋯p 1n ⋮p mn
控制与决策
⎠⎟⎞e =j −k p ln p i ∑
m
ij ij
k >0，k =ln m
1
0≤e ≤j 1e j e =j −p ln p ln m 1i ∑
m
ij ij
（5）定义第 j 个指标的差异程度
熵值法根据各个指标标志值的差异程度来进⾏赋权，从⽽得出各个指标相应的权重
（6）定义权重
（7）进⾏综合评价
其中第 i 个待评价样本的综合评价值
语⽂
数学英语⾳乐综合评价值F张庭玉
张三50448590李四33742078王五46388810陈六65459851杨七
13
65
12
45
⼆、TOPSIS 法
TOPSIS是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级
TOPSIS 法的基本原理
在归⼀化后的原始数据矩阵中，到有限⽅案中的最优⽅案和最劣⽅案，然后分别计算评价对象与最优⽅案和最劣⽅案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。
基本步骤
假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
（1）数据预处理
d =j 1−
e j
w =
j d ∑j =1n
j
d j F =i w p j =1∑
n
j ij自己的花是让别人看的教学设计
F i F 1F 2F 3F 4F 5
X =⎝⎜⎛x 11⋮x ⋱⋯x 1p
⋮x np
⎠⎟⎞
.使指标具有同趋势性。评价指标中有正向指标和负向指标之分，⼀般把负向指标转化为正向指标，转化的⽅法可采⽤倒数法（即1/X），多适⽤于绝对数指标；差值法（即1-X），多适⽤于相对数指标。转化后的数据矩阵仍记为X。.数据⽆量纲化.。将原始数据归⼀化，以消除量纲向量数据归⼀化的⽅式：
最终得到分析数据矩阵
（2）寻最优值和最劣值
出各项指标的最优值和最劣值，建⽴最优值向量和最劣值向量（3）计算各个评价对象与最优值和最劣值之间的距离
（4）计算各个评价指标与最优值的相对接近度
（5）排序
根据的⼤⼩进⾏排序，越⼤，表明评价对象越接近最优值。
三、熵值法 + TOPSIS 法
z =
ij x ∑i ij
2x ij Z =⎝⎜⎜⎜⎛z 11z 21⋮z n 1z 12z 22⋮z n 2⋯⋯⋱⋯z 1p
z 2p
⋮z np
⎠⎟⎟⎟⎞
z +z −
z =
+z ,z ,⋯,z n j
max
(1+2+
浙江省天台中学
p +
)
z =
−z ,z ,⋯,z n j
min
(1−2−
p −
)
D =
i +
z −z j
∑
(ij j +)
2
D =
i −
z −z j
∑
(ij j −)
2
C =
i D +D i +i −D i −
C i C i
.
可以结合熵值法 和 TOPSIS法各⾃的特点，进⾏评价。假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
其中 表⽰第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。
（1）求⽐值
（2）求熵值
（3）信息冗余值
（4）定权
（5）归⼀化 （向量标准化）
（6）构造加权矩阵
X =⎝⎜⎛x 11⋮x ⋱⋯x 1p
⋮x np
⎠⎟⎞X ij p =
ij x ∑i =1n
ij
x ij e =j −p ln p ，e ∈ln n 1i =1∑
n
ij ij j 0,1[]
d =j 1−
e j
w =
j d ∑j =1p
j
d j z =
ij x ∑i =1n ij
2x ij z =ij ∗
z ⋅ij w j
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