1.柱坐标计算法 当积分区域在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。读者从图13-26中看出，点的柱坐标实际上是它到坐标平面上垂足的平面极坐标与点的竖坐标的组合。 根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。
定理13-6 在定理13-5的假设条件下，则有
(13-28)李京姬
其中是在坐标平面上的垂直投影（图13-27）。
例17 求三重积分，其中是由球面的上半球面与抛物面围成的区域（图13-28⑴）。 解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为与。它们围成的区域在坐标平面上的垂直投影为圆。根据式（13-28），
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2.球坐标计算法 当积分区域是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。如图13-29，点的球坐标与直角坐标的关系为
其中，。
径的球面上的简单封闭曲线，自原点发出
且与相交的射线环绕一周所构成的空间区
域（图13-30），称为由封闭曲线张成的顶点
在原点的立体角。若用表示所包围的那部分球面面积，则这个立体角的大小规定为
钢结构论坛特别，单位球面上封闭曲线张成的立体角的大小为（即围成的球面面积）。
对于空间中的有界闭区域，首先用下面的三族曲面将划分成许多小区域：
沪剧风雨同龄人⑴通过轴作一族半平面；
⑵以原点为顶点且以轴为中心轴作一族圆锥面；
⑶以原点为球心作一族同心球面。
图13-31中表示出这些小区域中的一个。它在单位球面上的中心投影的面积为
（中心投影边界曲线张成的立体角的大小）
因此，那个小区域的底面的面积为。当的直径很小时，把它看成长方体（合理假设），则它的体积为瘦素。
现在，设有函数在有界闭区域上连续，则它在上的三重积分
为把上面最后的三重积分化为累次积分（三次积分），假定自原点发出且通过区域的内点的每一条射线与区域的边界曲面的交点不多于两个。如图13-32，自原点发出的射线与区域相交时，穿入点到原点的距离记为，而穿出点到原点的距离记为；这样的射线同时也穿过区域在单位球面上的中心投影。于是有
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