刘健; 卢加华; 杨新云; 杨海燕; 马连杰
【期刊名称】《《地矿测绘》》
【年(卷),期】2019(035)003
【总页数】4页(P12-14,17)
【关键词】兰勃特投影; 正轴等角双标准纬线圆锥投影; 等角横切椭圆柱投影; 高斯-克吕格投影; 投影变形
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【作 者】刘健; 卢加华; 杨新云; 杨海燕; 马连杰
【作者单位】云南省地矿测绘院 云南昆明650218
【正文语种】中 文
【中图分类】P226
0 引言
中国1：100万地形图各图幅地图投影单独采用正轴等角双标准纬线圆锥投影，其他比例尺地形图的分幅与编号都是在1：100万地形图的基础上进行的，而1：50万及以上比例尺的地形图投影全部使用高斯-克吕格投影。在建国初期，部分对测量精度要求不高的地区，是以1：100万地形图为底图转绘的。但随着测量科学技术的进步以及技术手段的提高，目前中国测绘成果都要求统一到基于高斯-克吕格投影的2000国家大地坐标系或者与其相关的独立坐标系；为了方便使用，这部分成果需要转换到高斯投影上。因此，分析兰勃特投影与高斯-克吕格投影的原理及变形规律，对投影变换及地图投影的选择具有一定的指导意义。
1 地图投影
1.1 地图投影的定义
投影一词在数据中的含义是建立两个面（平面或曲面）间点的一一对应关系。地图投影和一般投影的原理一样，只是投影原面和投影面为特定的曲面[1]。投影原面不是一般的曲面，而是代表地球形状的地球椭球面或球面；投影面是平面或可展曲面（圆柱面或圆锥面） 。因此，地图投影的实质是建立地球面（地球椭球面或球面）上点的坐标（B，L）与地图平面上点的坐标（x，y）之间一一对应的数学关系，即：
式中：（B，L）是椭球面上某点的大地坐标，而（x，y）是该点投影后的平面直角坐标。
1.2 兰勃特投影
兰勃特投影是由德国数学家兰勃特（J.H.Lambert）1772年提出的。用一个正圆锥割于椭球面两标准纬线（B1，B2），应用等角条件将地球椭球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃特投影平面。根据切割方式的不同兰勃特投影的种类很多，本文仅讨论双标准纬线割圆锥投影，经线投影为直线且在图廓外相交于一点，纬线投影为同心圆的圆弧，经、纬线投影两两正交，投影原理示意图如图1、图2所示。
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以中央子午线L0为母线，投影面展开后数学关系如图3所示。计算公式为：
隋丽丽式中：ρS为投影区最低纬度BS的投影半径，它在确定的投影中为一常数；ρ为纬线投影半径；投影经线间夹角与相应经差成正比
图1 双标准纬线割圆锥投影Fig.1 Using double standard parallels to carry out secant conical projection
图3 投影平面坐标系的建立Fig.3 Establishment of projection plane coordinate system股市女神
1.3 高斯-克吕格投影
高斯-克吕格投影是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面而成的。该投影是19世纪20年代由德国数学家、天文学家、物理学家高斯最先设计，后经德国大地测量学家克吕格补充完善，故名高斯-克吕格投影，简称高斯投影。投影原理，如图4、5所示。
图4 等角横轴切椭圆柱投影Fig.4 Projection of equiangular transverse tangential ellipse cylinder
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图5 投影面展开Fig.5 Projection plane expansion
图2 兰勃特投影面展开Fig.2 Lambert projection plane expansion
投影展开后，投影坐标（x，y）与地理坐标（B，L）的数学关系如下：
式中：S是由赤道到纬度B的子午线弧长是第二偏心率）；t=tanB ；N为椭球面上的卯酉圈曲率半径，
2 投影变形
地图投影虽然解决了球面与平面之间的矛盾，但在平面上想要完全无误地表示地球的各个部分是不可能的。这是由于地球面是一个不可展的曲面，在平面上表示它的一部分或全部，都不可避免地会产生失真的现象。这种失真的现象叫做投影变形，由于兰勃特投影和高斯投影都是等角投影，因此本文只讨论长度变形和面积变形。 2.1 长度比与长度变形
利用微分学原理，将投影微分平面上某一方向上无穷小线段长与原面上对应的无穷小线段长之比称为长度比，用μ表示，则：
图6 原面与平面微分图形对应关系Fig.6 The graph correspondence between original plane and plane differential
长度比与1之差称为长度相对变形，简称长度变形，用vμ表示，则：
2.2 面积比与面积变形
利用微分学原理，将图6中投影微分面上无穷小面积和相应原面上无穷小面积之比称为面积比，用P表示，设投影原面[1]与投影面上两微分图形ABCD和A＇B＇C＇D＇的面积分别为dF、dF＇，则：膜技术的应用
面积比与1之差称为面积相对变形，简称面积变形，用vp表示，则：
3 变形分析
3.1 兰勃特投影变形
兰勃特投影属于等角投影，等角投影的等角条件是m=n(m为一点上沿经线方向的长度比，n为一点上沿纬线方向的长度比)，即投影后经纬线依然保持正交，此时：
式中：α为比例常数，C为另一常数，确定这两个常数的实质是确定标准纬线；r=NcosB；
将等角条件代入式（4）和式（5），可得出投影变形的简化公式。
通过分析式(9)和式(10)，可知兰勃特投影的长度比和面积比只与纬度B有关的函数，与经差无关。也就是说，在同一条纬线上各点的变形值相等，故等变形线的形状是与纬线一致的同心圆弧，在标准纬线上没有变形；标准纬线以外变形逐步增大。
3.2 高斯投影变形
高斯投影为等角投影，没有角度变形，并且任意一点长度变形与方向无关。所以，对其变形的分析主要可针对长度变形展开。通过计算分析，高斯投影的长度比 µ的计算公式可以简化为：
式中：l为经差，为椭球第二偏心率。从式（12）可看出，高斯投影的变形与经差和纬差都有关系。面积变形比：
3.3 算例分析
纳板河流域国家级自然保护区于1991年7月经云南省人民政府批准建立为省级自然保护区，2000年4月晋升为国家级自然保护区。位于西双版纳傣族自治州境内，以纳板河流域为主，地跨景洪市嘎洒镇和勐海县勐宋乡、勐往乡。以纳板河流域国家级自然保护区为算
例，基于克拉索夫斯基1940椭球，分别投影到兰伯特投影和高斯投影面上，分析两种投影的变形规律。
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