依据
地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制 图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形；在有些投影图上沿某一方向 一、地图投影的概念
地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首
先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是
不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。
球面上任何一点的位置取决于它的经纬度，所以实际投影时首先将一些经
纬线交点展绘在平面上，并把经度相同的点连接而成为经线，纬度相同的点连
接而成为纬线，构成经纬网。然后将球面上的点按其经纬度转绘在平面上相应
的位置。由此可见，地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定
的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为:
χ=f1(λ，φ)y=f2(λ，φ)(2-1)
根据地图投影的一般公式，只要知道地面点的经纬度(λ，φ)，便可以在
投影平面上到相对应的平面位置(χ，у)，这样就可按一定的制图需要，将
一定间隔的经纬网交点的平面直角坐标计算出来，并展绘成经纬网，构成地图的"骨架"。经纬网是制作地图的"基础"，是地图的主要数学要素。
二、地图投影的基本方法
地图投影的方法，可归纳为几何透视法和数学解析法两种。
1.几何透视法
次氯酸钠几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面(借助的几何面)上的一种投影方法。如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个投
影平面上，即将球面经纬线转换成了平面上的经纬线。
几何透视法是一种比较原始的投影方法，有很大的局限性，难于纠正投影
变形，精度较低。当前绝大多数地图投影都采用数学解析法。
2、数学解析法
数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方
法确定经纬线交点位置的一种投影方法。大多数的数学解析法往往是在透视投
黑箱方法影的基础上，发展建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影
方法有一定联系。
三、地图投影的变形
1.地图投影变形的概念
地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下
面的图是几种不同投影的经纬线网形状，可以看出，用地图投影的方法将球面
转化为平面，虽可保证图形的连续和完整，但投影前后经纬线网的形状却明显
不同。这表明，投影以后经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图
上的各种地面事物也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何性质(长度、方向、角度、面积)受到了影响。地图投影变形是指球面转换成平面后，地图上所产生的长度、角度和面积误差。
地球仪是地球的缩影。通过对地图与地球仪上的经纬线网的比较，可以发
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现地图投影变形表现在长度、面积和角度三个方面。
地球仪上的经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等。赤道最长;出井伸之
纬度愈高，纬线越短；极地的纬线长度为零。第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等。第三，所有经线长度相等。在同一条经线上，纬差相同的经
线弧长相等(椭球体面上，从低纬向高纬稍有加长)。然而在图2-13(a)上，各
条纬线长度相等，说明各条纬线并不是按照同一比例缩小的。在图2-13(c)上，同一条纬线上经差相同的纬线弧长不等，从中央向两边逐渐缩小。各条经线长
度不等，中央的一条经线最短，从中央向两边逐渐增大。这表明在同一条纬线
上由于经度位置的不同，比例发生了变化，从中央向两边比例逐渐缩小，各条
经线也不是按照同一比例缩小，但它们的变化却是从中央向两边比例逐渐增大。
地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长
度变形。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而变，而且在同一点上还因方向的不同而不同。
地球仪上经纬线网格的面积具有以下特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等。第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小。
然而地图上却并非完全如此。在图2-13(b、c)上，同一纬度带内，经差相同的
网格面积不等，这表明面积并不是按照同一比例缩小的，面积比例随经度的变
化而变化。
由于地图上经纬线网格面积与地球仪上的球面网格面积的特点不同，在地
图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。
面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形又因地点的不同而不同。
在图2-13(b、c)上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬
线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图
上有角度变形。
地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制
图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形；在有些投影图上沿某一方向
无长度变形。
2.变形椭圆
地图投影变形随地点的不同而改变，变形椭圆能很好说明投影变形情况。
变形椭圆是指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。
如下图所求，制作一个半球经纬网立体模型，并在模型的极点和同一条经
线上安置几个等大的不透明的小圆，使极点与投影平面相切。在模型的圆心处
放一盏灯，经灯光照射以后，在投影平面上就有了经纬线网格。模型上的小圆
投影到平面上以后，除了极点处的小圆没有变形外，其余的都变成了椭圆。从
实验中可明显看出，无论灯光在什么位置，半球模型与投影平面相切处的小圆
都没有变形。离切点愈远，小圆投影的变形愈大，有的方向上逐渐伸长，有的
方向上逐渐缩短。
地图投影变形的分布规律是：任何地图都有投影变形；不同区域大小的投影
其投影变形不同；地图上存在没有变形的点(或线)；距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然；地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之
越小。上述规律对地图投影具有普遍性。
可证明球面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。图上中，ADBC
为地面上的微小圆，展在平面上如上图所示，以经纬线为直角坐标轴X、Y；圆
醉了丽江上任一点M的坐标x=MJ，y=MK。在投影面上，A´B´；为AB的投影，C´D´；为CD的投影，M´；为M的投影。由于投影一般有角度变形，A´B´；与C´D不一定为直角相交，故A´B´、C´D´；为斜坐标轴系。令其轴为X´、Y´，则M´
的坐标为x´=M´J´，y´=´M´K。由此可
浙江同志以得出:
这个方程式代表一个以O´；为原点，以交角为θ的两个共轭直径为坐
标轴的椭圆方程式。这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。
在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆的比较，说明变形的性质
和大小。椭圆半径与小圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变形随方
向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆
短轴方向。这两个方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面积与小圆面积之比，
可说明面积变形。椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。
3.长度比和长度变形
长度比µ；是投影面上一微小线段ds'和椭球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为:
长度比用于表示投影过程中，某一方向上长度变化的情况。µ1，说
明投影后长度拉长，µ1，说明投影后长度缩短了;µ=1，则说明特
定方向上投影后长度没有变形。在某一点上，长度比随方向的变化而变化。因
此在研究长度比时，只是研究一些特定方向上的长度比，即最大长度比a(变形
椭圆长轴方向长度比)、最小长度比b(变形椭圆短轴方向长度比)、经线长度比
m和纬线长度比n。如果投影后经纬线呈直角相交，则经纬线长度比就是最大和最小长度比。若投影后经纬线交角为θ，则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有以下关系:
由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形Vµ；就是(ds'-ds)与
ds之比，即长度比与1之差，用公式表示为:
由此可见，长度变形是衡量长度变形程度的一个相对概念。Vµ；是一
个0，=0和0的数。
4.面积比与面积变形
面积比P就是投影面上一微小面积dF，与椭球体面上相应的微小面积dF
之比。投影面上半径为r的微分圆，投影到平面上后变成长轴为ar、短轴为br
的微分椭圆，则:
P是个变量，它因点位的不同而不同，是一个1,=1,1的数。
用面积比可以说明面积变形。所谓面积变形就是(dF´-dF)与dF之比，即面积比与1之差，以VP表示面积变形，则:
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