1、平行四边形 (2)
3、梯形................................... ..2
4、圆形 (3)
5、扇形 (5)
6、椭圆 (6)
视听剧场
二、立方几何的面积公式和体积公式 (7)
1、面积公式 (7)
（1）、圆柱 (7)
（2）、圆锥 (7)
（3）、圆台 (7)
（4）、球体 (7)
（5）、球缺、球扇和球带 (10)
2、体积公式 (11)
（1）、祖暅原理 (11)
（2）、平衡法（杠杆原理） (11)
（3）、柱体（圆柱、棱柱） (12)
（4）、锥体（圆锥、棱锥） (12)
（5）、台体（圆台、棱台） (13)
（6）、球体 (14)
（7）、球台 (16)
几何图形从零维到三维，分别是点、线、面、体。点为零维，线是一维，面是二维，立体为三维。不同维公式之间的规律是一样的，可以用简单的低维公式推出高维公式。不同形状同维同性质公式其实可以统一成一个公式。面积的实质是相互垂直的两线段相乘，体积的实质是线段乘与线段相垂直的面。
一、平面几何面积公式
1、平行四边形面积公式：S=ah
底X高h
a
2、三角形面积公式：S=1
2 ah
A、用平行四边形方法h
S=1
数学课堂教学的有效性
2
×ah，即底X高÷2
很明显，只要知道（1）和（2）中的任何一个公式，就容易知道另外一个公式。平行四边形是由两个三角形组成，因此，三角形面积是平行四边形的一半。
B、用等效长方形办法（平均值法）a/2
也可以把三角形面积等效于长方形面积，即S=1
2
a×h ，h
虚线为等效长度，其值为1
2
兴宁市技工学校
a；高为h，不变a
注意：乘号的位置不一样，虽结果是一样，但其方法是不一样的。
C、用梯形方法（用极限法，即令上底长度为零，上底为零时，上底变成了顶点）
令梯形的一个底边长度为零，则梯形退化成三角形 b=0
S=1
2
(a+b)h= S=
1
2
(a+0)h=
1
2
ah h
a
3、梯形面积公式：S=1
2
(a+b)h ( 上底+下底)×高÷2
A、三角形办法 b
S=1
2
ah +
1
2
bh==
1
2
(a+b)h h
用虚线连接对角线，分成上下两个三角形，高相等。
a
a
B 、用等效长方形办法 b S=12
(a+b) ×h h 虚线为等效长为1
园林建筑的空间美感2(a+b)，也称中位线；高h 不变 a
C 、三角形扩充法
当梯形的上底边的长度无限接近零时，梯形变成了三角形。
三角形的底边a=a+0，令0=b，则
S=12ah=12(a+0) ×h=1
2(a+b) h
4、圆形
A 、 圆形周长公式：L=πD=2πR
证法1：根据π的定义：周长L ÷直径D
π=L÷D
L=πD C
三角函数知识：
如图 sinA=BC
AC ，即正弦=对角直边/斜边 A
从图易知，角α= 22n π=n π
所以，边长a n =2Rsin(π/n) 因此，周长L=n×2Rsin (π/n) α
当n 无穷大时，α无穷小（也就是无限接近零），导致AB 长度 无限接近弧AC 长度（AB≈弧AC ）
而弧AC=αR ，sinα=AB/OA=AB/R
所以sinα= AB/R =弧AC/R=α
n →∞，L=n×2Rsin (π/n)=n×2R ×π/n =2πR
B 、 圆形的面积公式：S=πR 2=πD 2/4
证法1：利用三角形面积公式证明
很容易看出，底边为周长L ，半径R 为高，圆心为顶点 S=1
2×L×R=1
2×2πR×R =πR 2
O戚家军编制
A B
C
R
证法2：利用梯形面积公式证明
很容易看出，上底边长度为零，即上底边是圆心；下底边为周长L ；半径R 为高 S=12×(0+L) ×R=12×2πR×R =πR 2
证法3：利用正多边形面积公式证明
从图易知，角α= 2n π水解酸化
已知夹角及其两边的三角形面积公式：S △=12
R 2sinα 正多边形面积S n =n×S △=12nR 2sin(2n π)
n →∞，sinα=α R
所以 S 圆=Sn=12nR 2sin(2n π)=12
nR 2×2n π=πR 2 证法4、长方形面积法（平均值法，中线法）
圆周长L 周=2πR ，圆心长Lo=0，高为R 所以中线(虚线)长L=0圆2
L L +=πR 0 S=LR=πR ×R=πR 2
证法5、推理法
相似形的面积比等于对应边比的平方，圆都是相似形，所以圆面积的比值跟R 2
有关，而圆的参数只有一个，即只要一个参数（半径R ），就能完全确定出圆，所以圆面积公式里一定有R 2项。
圆跟π有关，所以面积公式里一定有π项。 π只是一个无量纲数（没有单位的数，根据π的定义可知，周长/直径，两长度相除后，变成的无单位的数），而R 2是有单位的数（面积的单位平方米），根据
单位一致原理，π与R 2只能相乘或相除，而不能相加减。单位一致的数，才能相加减。
画一个边长为R 的正方形，画一个半径为R 的圆，圆明显经正方形大。正方形的面积公式为R 2，即S=R 2=1R 2，而圆的面积比正方形大，所以常数大于1，只能相乘。
所以圆的面积公式为S=πR 2
α
5、扇形
A 、弧长公式L=αR
证法1：根据弧度的定义：
1弧度：弧长等于半径R 所对应的圆心角
也就是说：1弧度=弧长R /半径R ＝1
α
所以弧度也是无量纲数
所以α弧度对应的弧长L=αR
根据弧度的定义，可以推出圆的弧度=2πR/R=2π，
圆周角定义为360o ，圆弧度为2π
所以 2π=360o
π=180o
证法2 猜想法
正比：如果两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。也就是一个量的增加，另一个量也随之增加。
从扇形图形上可以明显看出，固定半径R 时，弧长L 与α弧度成正比
得出L/α=定数，而此定数是在固定半径R 的情况下成立的，所以此定数应该为半径R
所以 L/α=R
从而 L=αR
B 、扇形面积公式 S=12
αR 2 证法1：利用圆形面积公式证明
扇形面积/圆形面积=α/(2π)
S 扇=S 圆×2απ=πR 2×2απ=12
αR 2 证法2 利用三角形面积公式
弧长L 为底边，高为半径R
12×αR×R=12
αR 2 R
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