摘要
根据贝利提供的理论，一名NBA球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。
为了探讨球员能力和薪资的关系，本文主要运用多元分析中的主成分分析法和因子分析法，借助于SPSS软件对数据进行分析，首先从衡量球员技术水平的得分、助攻、投篮命中率等10项指标出发，得出各指标与公因子的表达式。用因子分析法对2011-2012赛季的8个球队现役球员的综合能力进行评估分析，得到球员能力的综合指标模型，算出每个球员的综合得分。最后，我们将球员所得薪资与个人能力进行二次非线性回归，用MATLAB软件拟合出两者之间的函数关系。将算得的应得值与实际所得值进行比较分析，得出检测值之间的误差，然后给出相关的合理解释。 关键词：因子分析法、综合能力指标、回归分析
一、问题提出
科比、斯塔德迈尔、德克-诺维茨基等球员是NBA联盟里闪耀的球星，他们能够拿到动辄几千万的年薪也是无可厚非的事情。不过近日南犹他大学的经济学教授大卫-贝利在进行的一项统计中，得出科比、小斯、诺维茨基等人实际上属于高薪低能的表现。他们的所得和所起到的表现并不能成为正比。
大卫-贝利对球员是否高薪低能的事情早有研究，为此他有着一套缜密的计算公式，而早在2006年的时候，他还和同伴一起撰写过一本名为“胜利的工资”的著作，在这本书中，贝利阐释了计算一名球员是否高薪低能的公式，这个公式被称之为“胜利产值”。根据贝利提供的理论，一名球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。
综合种种数据，经过测算，才会得出最终的“胜利产值”，以决定这名球员是否是高薪低能。在近日贝利给美媒体的一封邮件中，他表示：“在球场上，一支球队若想获得胜利，他们对球权的控制能力是关键，他们需要将这些球权转化为得分。而在2011-12赛季中，总共要为990场常规赛的胜利支付19亿美元，这意味着每场常规赛胜利合194.6万美元，根据每场胜利的花费和一名球员的获胜场数以及他的工资，就可以计算出他的性价比是否合格。”而令人感到意外的是，在贝利计算出的十大性价比低下的榜单上，竟然出现了科比、小斯、诺维茨基等人的名字，而且科比还位列这份榜单的第二位。
请收集球员的表现数据，建立数学模型，合理评价球员的能力和薪资关系。
二、问题分析
球员的薪资高低是受个人能力、上场时间、球场经验、巨星效应等很多因素影响的，其中球员个人能力是评判一个球员薪资的一个最重要的指标。球员能力是由得分、篮板、助攻、抢断、盖帽等因素所决定。本文针对这一情况，建立了评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型。首先，我们采用因子分析法，求得球员能力的综合得分，然后根据球员实际所得薪资与球员能力进行回归分析，得到拟合后的函数关系。最后我们对一个球员是否高薪低能进行了评判，模型的合理性得到了验证。
三、模型假设
1.假设收集的球员数据均真实可靠；
2.假设球员所得的薪资跟所在的球队的战绩无关；
3.假设支球队支付给球员的薪资不会超过联盟规定的工资帽。
四、符号说明及概念引入
：第个球员实际应得的薪资；
：第个球员的个人能力；
：第个指标的个能力贡献；
：第个公因子；
：第个外因子；
：第个因子的方差值
五、模型的建立与求解
5.1 基于球员综合能力的模型：模块Ⅰ
针对球员能力与得分、篮板、助攻、盖帽、抢断、失误等十项个人数据，我们采用因子分析法对其进行分析。考虑到球队众多，且每支球队人员组成差别不大，故我们选取题中提到的十名球员所在的支球队进行分析，下面以篮网队为例，求出球员综合能力指标。在中进行因子分析的步骤如下：
为了确定本题中采用的因子分析适用性，我们采用了KMO和球形Bartlett检验。KMO检验球员指标间的偏相关是否较小，Bartlett球形检验是判断相关矩阵是否是单位阵，参见图5-1。
图5-1
KMO 和 Bartlett 的检验 |
取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。 | .797 戒毒 |
Bartlett 的球形度检验 | 近似卡方 | 266.476 |
ldodf | 45 |
Sig. | .000 |
| | |
由Bartlett检验可以看出，球员指标间具有较强的相关性，而且KMO的统计量为0.797，大于0.7，说明各指标间信息的重叠程度还是比较高的。
由图5-2所示的公因子方差可知：提取的各个公因子几乎都在80%以上，因此提取出的这
几个公因子对各变量的解释能力是较强的。即提取的各指标对球员综合能力的评价程度较高。
图5-2
公因子方差 |
| 初始 | 提取 |
得分 | 1.000 | .943 |
篮板 | 1.000 | .978 |
助攻 | 1.000 渗铝 | .911 |
抢断 | 1.000 | .883 |
盖帽 | 网络数据库1.000 | .937 |
投篮命中率 | 1.000 | .816 |
罚球命中率 | 1.000 | .795 |
失误数 | 1.000 | .953 |
出场次数 | 1.000 | windows ce 5.0.763 |
出场时间（分钟） | 1.000 | .969 |
提取方法：主成份分析。 |
| | |
由下图可知，输出的结果，只有前三个特征根大于1，前三个因子的方差贡献率为，因此选前三个因子已足够描述球员的综合能力水平。
图5-3
解释的总方差 |
成份 | 初始特征值 | 提取平方和载入 | 旋转平方和载入 |
合计 | 方差的 % | 累积 % | 合计 | 方差的 % | 累积 % | 合计 | 方差的 % | 累积 % |
1 | 6.419 | 64.186 | 64.186 | 6.419 | 64.186 | 64.186 | 4.171 | 41.705 | 41.705 |
2 | 1.362 | 13.620 | 77.806 | 1.362 | 13.620 | 77.806 | 3.177 | 31.768 | 73.474 |
3 | 1.167 | 11.675 | 89.481 | 1.167 | 11.675 | 89.481 | 1.601 | 16.007 | 89.481 |
4 | .492 | 4.918 | 94.399 | | | | | | |
5 | 砂石料.328 | 3.283 | 97.682 | | | | | | |
6 | .111 | 1.115 | 98.796 | | | | | | |
7 | .089 | .887 | 99.683 | | | | | | |
8 | .015 | .148 | 99.831 | | | | | | |
9 | .011 | .109 | 99.940 | | | | | | |
10 | .006 | .060 | 100.000 | | | | | | |
提取方法：主成份分析。 |
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