习题十
1. 设G是一个(n，m关天经济区发展规划
)简单图。证明：，等号成立当且仅当G是完全图。 证明：（1）先证结论：
因为G是简单图，所以G的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理，G图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。 （2）机组乘务员 =〉G是完全图
因为G具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。所以，G的每个结点的点度都为n-1，G为完全图。 G是完全图 =〉
因为G是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G的边数 。■
2. 设G是一个（n，n+1）的无向图，证明G中存在顶点u，d（u）≥3。
证明：反证法，假设,则G的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1，矛盾。因此，G中存在顶点u，d（u）≥3。■
3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2）
（3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）
解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。 可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。下面以（2）为例说明：
(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G的点集合V= { v1,v2,v3,v4,v5}
每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)
马克思主义唯物史观
将奇数3，3 对应的结点v2,v3一组，画一条连线
其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。■
4．证明：在（n，m）图中。
证明：图的点度数是一组非负整数{d(v1),d(v2)…d(vn)}，那么这组数的算术平均值一定大于等于其中的最小值，同时小于等于其中的最大值。对应到图的术语及为：最大值为，最小值为δ，平均值 = (d(v1)+d(v2)…+d(vn))/n = 2m/n,所以。■
5．证明定理10.2。
【定理10.2】 对于任何（n,m）有向图G =（V，E），
证明：有向图中,每条有向边为图贡献一度出度，同时贡献一度出度，所以总出度和总入度相等，并和边数相等。因此，上述关系等式成立。■
6．设G是（n，m）简单二部图，证明：。
证明：本题目，我们只需要说明n阶的简单二部图的边数的最大值 = 即可。
设n阶的简单二部图，其两部分结点集合分别为V1，V2,那么|V1| + |V2| = n。此种情况下，当G为完全二部图时，有最多的边数，即max(m) = |V1||V2|,变形为，max(m) =( n-|V2|)|V2|.此函数的最大值及为n阶二部图的边的上限值，其上限值为当|V2|=n/2 时取得。及max(max(m)) = ,所以n阶二部图(n,m), ■
7. 无向图G有21条边，12个3度数结点，其余结点的度数均为2，求G的阶数n。
解：根据握手定理有： 21 =( 3Χ12 + 2(n-12))/2, 解此方程得n = 15■
10．判断图10.29中的两个图是否同构，并说明理由。
解：题中两个图不同构，因为左边图的唯一3度点有2个1度点为其邻接点，而右图唯一的3度点只有1个1度点为其邻接点。因此这两个图不可能同构■
13. 设有向图D=<V,E>如下图10.31所示。
汾渭盆地(1) 在图中出所有长度分别为1，2，3，4的圈 (至少用一种表示法写出它们，并以子图形
式画出它们)。
(2) 在图中出所有长度分别为3，4，5，6的回路，并以子图形式画出它们。
解：(1)
(2)子图略
长度为三的回路：Ae1Ae1Ae1A,Ae1Ae3De2A,Ae4Be7Ce5A,Ae4Be8Ce5A
长度为四的回路：AAAAA，AAADA，AABe7CA,AABe8CA,ABe7CDA,ABe8CDA
长度为五的回路：AAAAAA,AAAADA,AAABe7CA,AAABe8CA,AABe7CDA,AABe8CDA, AADADA,AAAe4Be7Ce5A,AAAe4Be美拉德反应8Ce5A, ADAe4Be7Ce5A,ADAe4Be8Ce5钢便桥A■
15. 若u和v是图G中仅有的两个奇数度结点,证明u和v必是连通的。
证明：反证法，假设u和v不连通，那么他们必然分布于此图的两个连通分支中。那么它们将分别是各连通分支中唯一的奇数度结点。根据握手定理，一个图中奇度点的个数为偶数。而两个连通分支中，奇度点的个数为奇数。矛盾。矛盾的产生，是由于假设不连通导致的，因此，题设结论成立■
17.设(n, m)简单图G满足,证明G必是连通图。构造一个的非连通简单图。
证明：假设G不连通，分支G1，G2．．Ｇｋ，那么他们的边数的最大值ｍａｘ（ｍ）＝Σ（ｎｉ－１）ｎｉ／２≤Σ（ｎｉ－１）（ｎ－１）／２＝（ｎ－１）／２Σ（ｎｉ－１）＝（ｎ－１）（ｎ－ｋ）／２，所以，只有当k=1时，才能满足题设要求，G是连通图。如果将顶点集合分成两个点集，|V1|=1，|V2|=n-1,构成如下的有两个分支的非连通简单图，
G1=（1，0），G2=Kn-1,满足题设条件■
18. 设G是阶数不小于3的连通图。证明下面四条命题相互等价:
(1）G无割边；
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