分类号学号M********* 学校代码10487密级
私有化学位申请人：王云
学科专业：计算数学党的性质
****：**
答辩日期：2013.5.23
A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree for Master of Science
A Posteriori Error Estimation for
Signorini Problem
Candidate : Wang, Yun
Major : Computational Mathematics
Supervisor : Dr. Wang, Fei
Huazhong University of Science & Technologypi调节器
Wuhan 430074, P.R.China
May, 2013
独创性声明
甲苯胺蓝
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果. 尽我所知, 除文中已经标明引用的内容外, 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果. 对本文的研究做出贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.
学位论文作者签名：
日期：年月日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定, 即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版, 允许论文被查阅和借阅. 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索, 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文.
保密□, 在年解密后适用本授权书.
本论文属于
不保密□.钓水鬼
(请在以上方框内打“√”)
学位论文作者签名：指导教师签名：
日期：年月日日期：年月日
摘要
有限元方法是计算数学中一个非常活跃的研究领域. 作为一种有效的数值方法，在过去的五十年中被广泛用于求解各类微分方程. 在其基础上, 以后验误差估计为核心的自适应有限元方法更加提高了计算效率. 不但占用较少的内存, 而且减少了计算时间并提高了精度, 成为解决许多数学物理问题的有效计算方法.
变分不等式是一类重要且十分有用的非线性问题, 广泛地应用于物理、工程、金融、管理等学科. 著名的Signorini问题属于第一类椭圆变分不等式, 描述了弹性体和刚体之间的无摩擦接触. 这篇硕士论文旨在探究自适应有限元方法在求解Signorini问题中的应用, 研究一种新的思路, 对其后验误差估计子的可靠性和有效性进行分析. 本文探索的这个思路, 较之先前其他文献对Signorini问题的后验误差估计子的研究, 有两个优势: 1. 本文的方法思路更简单明了; 2. 其思路不但可以推导残量型后验误差估计子, 也可以推广到其他形式的后验误差估计.
本文的想法是受到文献[17]中的思想启发. 我们把其中对障碍问题的后验误差估计的想法, 推广应用到Signorini问题的后验误差估计的可靠性和有效性的分析.这个思路是通过将不等式问题转化为一个等式微分方程的边值问题, 通过已有的关于线性椭圆微分方程的后验误差估计的理论, 得出该变分不等式问题的后验误差估计的性质. 当然, 问题可以转化, 但困难不能跨越, 还是要对其中的难点进行细致的分析. 本文推导出了Signorini问题的可靠的残量型后验误差估计子, 并对其有效性进行了探索.
文章在第一章绪论中回顾了本文所必须的理论基础: 变分不等式、有限元方法和自适应算法. 第二章首先对Signorini问题的物理背景进行回顾, 然后给出了简化的Signorini问题的数学表达式, 并给出其有限元方法的离散形式. 紧接着第三章探讨了其后验误差估计子, 给出了该估计子的可靠性和有效性分析, 这是本文的重点部分. 最后一章总结全文, 并针对本文所探索的问题及方法提出下一步研究的方向.
关键词：Signorini问题, 自适应有限元, 后验误差估计, 可靠性, 有效性
Abstract
The finite element method is an active research field in computational mathematics. As an efficient numerical approach, it has been widely used for solving a variety of differential equation in the past five decades. Based on a posteriori error estimate, the adaptive finite element method improves the computing efficiency. It achieves high accuracy with lower memory usage and less time consuming.
Adaptive finite element method becomes an effective numerical method for solving many mathematical and physical problems.
Variational inequalities form an important family of nonlinear problem, which have been widely used in physical, engineering, finance, and management science. The famous Signorini problem is a representative of elliptic variational inequality of the first kind, which describes a frictionless contact between an elastic body and a rigid object. This thesis is intended to apply the adaptive finite element method to solve Signorini problem. We investigate a new approach for analyzing the realibility and efficiency of the a posteriori error estimators. Comparing with other previous papers discussing this problem, the approach in this thesis has two advantages. First, this method is simple; another, it can derive not only the residual error estimators, but also can be extended to other type of a posteriori error estimators.
The idea we used in this paper is inspired by the article [17]. We extend the idea therein to analyze the efficiency and realibility of a posteriori error estimator for Signorini problem. The idea is to transform an inequality problem to a differential boundary value problem, then apply a posteriori error theory of the linear elliptic differential equation. Of course, the diffculty still exists, and we must analyze carefully about some key points. In this thesis, we derive reliable a posteriori error estimator
s, and the efficiency of the estimators is theoretically explored.
In chapter 1, we review some theoretical foundation which is necessary for the following analysis, including variational inequalities, finite element method and adaptive algotirhm. In chapter 2, firstly, we introduce physical background of Signorini problem, and then give ghe mathematical representation of the simplified Signorini problem and its
>福楼拜是怎样的老师
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议