第5章参数估计
●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本,样本均值为25。 (1)样本均值的抽样标准差等于多少?
(2)在95%的置信水平下,允许误差是多少?
解:已知总体标准差σ=5,样本容量n=40,为大样本,样本均值=25,
(1)样本均值的抽样标准差===0。7906
(2)已知置信水平1-=95%,得 =1。96,
于是,允许误差是E ==1.96×0.7906=1.5496。
●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本.
(3)假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差;
(4)在95%的置信水平下,求允许误差;
(5)如果样本均值为120元,求总体均值95%的置信区间。 解:(1)已假定总体标准差为=15元,
则样本均值的抽样标准误差为 ===2.1429
(2)已知置信水平1-=95%,得 =1.96,
于是,麦克斯韦速率分布允许误差是E ==1.96×2.1429=4.2000。
(3)已知样本均值为=120元,置信水平1-=95%,得 =1.96,
这时总体均值的置信区间为 =120±4。2=
可知,如果样本均值为120元,总体均值95%的置信区间为(115。8,124.2)元。
●3.某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时):
周建人3.3 | 3。1 | 6。2 | 5.8 | 2。3 | 4。1 | 玩偶之城5.4 | 4。5 | 3。2 |
4。4 | 2。0 | 5。4 | 2。6 | 6。4 | 1.8 | 3.5 | 5.7 | 2。3 |
2。1 | 1.9 | 1.2 | 5.1 | 4.3 | 4。2 | 3.6 | 0。8 | 1。5 |
4。7 | 1。4 | 1.2 | 2。9 | 3。5 | 2.4 | 0.5 | 3.6 | 2。5 |
| | | | | | | | |
求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90%、95%和99%。
解:⑴计算样本均值:将上表数据复制到Excel表中,并整理成一列,点击最后数据下面空格,选择自动求平均值,回车,得到=3。316667,
⑵计算样本方差s:删除Excel表中的平均值,点击自动求值→其它函数→STDEV→选定计算数据列→确定→确定,得到s=1.6093
也可以利用Excel进行列表计算:选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格,输入“=(a7-3。316667)^2",回车,即得到各数据的离差平方,在最下行求总和,得到:
=90。65
再对总和除以n-1=35后,求平方根,即为样本方差的值
s===1。6093。
⑶计算样本均值的抽样标准误差:
已知样本容量 n=36,为大样本,
得样本均值的抽样标准误差为 ===0.2682
⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间:
1置信水平为90%时:
由双侧正态分布的置信水平1-=90%,通过2-1=0。9换算为单侧正态分布的置信水平=0.95,查单侧正态分布表得 =1.64,
计算得此时总体均值的置信区间为
=3.3167±1.64×0。2682=
可知,当置信水平为90%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.87,3。76)小时;
2置信水平为95%时:
由双侧正态分布的置信水平1-=95%,得 =1.96,
计算得此时总体均值的置信区间为
=3.3167±1。96×0.2682=
可知,当置信水平为95%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.79,3.84)小时;
3置信水平为99%时:
若双侧正态分布的置信水平1-=99%,通过2-1=0。99换算为单侧正态分布的置信水平=0。995,查单侧正态分布表得 =2。58,
计算得此时总体均值的置信区间为
=3.3167±2。58×0.2682=
可知,当置信水平为99%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2。62,4.01)小时。
4. 从一个正态总体中随机抽取容量为8 的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。
解:(7。1,12。9).
5。某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由16个人组成的一个随机样本,他们到单位的距离(公里)分别是:
10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2
求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间.
解:(7。18,11.57).
●6. 在一项家电市场调查中,随机抽取了200个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电视机.其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间,置信水平分别为90%和95%。 解:已知样本容量n =200,为大样本,拥有该品牌电视机的家庭比率p =23%,
拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为
===2.98%
⑴双侧置信水平为90%时,通过2-1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平=0.95,查单侧正态分布表得 =1。64,
此时的置信区间为 =23%±1。64×2。98%=
可知,当置信水平为90%时,拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为(18。11%,27.89%)。
⑵双侧置信水平为95%时,得 =1.96,
此时的置信区间为 =23%±1。96×2.98%=
可知,当置信水平为95%时,拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为
;(17。16%,28.84%)。
●7。某居民小区共有居民500户,小区管理者准备采取一项新的供水设施,想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户,其中有32户赞成,18户反对。 (1)求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间,置信水平为95%;
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(2)如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%,应抽取多少户进行调查?
解: 已知总体单位数N=500,重复抽样,样本容量n =50,为大样本,
样本中,赞成的人数为n1=32,得到赞成的比率为 p = ==64%
(1)赞成比率的抽样标准误差为 ==6。788%
由双侧正态分布的置信水平1-=95%,得 =1。96,
计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
= 64%±1.96×6。788%=
可知,置信水平为95%时,总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为(50。70%,77.3
0%)。
(2)如预计赞成的比率能达到80%,即 p=80%,
由 =6。788%,即=6.788%
得样本容量为 n == 34.72 取整为35,
即可得,如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%,应抽取35户进行调查.
8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表:
(1)求90%的置信区间;
(2)求95%的置信区间.
解:(1.86,17。74);(0。19,19。41)。
9。从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表:
(1)设,求95%的置信区间;
(2)设,,求95%的置信区间;
(3)设,,求95%的置信区间;
(4)设,,求95%的置信区间;
(5)设,,求95%的置信区间。
解:(1)2±1。176;(2)2±3.986;(3)2±3。986;(4)2±3.587;(5)2±3。364.
10.下表是由4对观察值组成的随机样本:
配对号 | 来自总体A的样本 | 来自总体B的样本 |
1 | 2 | 0 |
2 | 5 | 7 |
3 | 10 | 6 |
4 | 8 | 5 |
| | |
(1)计算A与B各对观察值之差,再利用得出的差值计算和;
(2)设和分别为总体A和总体B的均值,构造95%的置信区间.
解:(1),;(2)1。75±4。27。
11。从两个总体中各抽取一个的独立随机样本,来自总体1的样本比率为,来自总体2的样本比率为。
(1)构造90%的置信区间;
(2)构造95%的置信区间。
解:(1)10%±6.98%;(2)10%±8。32%。
12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时,需要对共需进行改进以减小方差.下面是两部机器生产的袋茶重量(克)的数据:
机器1 | 机器2 |
3。45 | 3。22 | 3。90 | 3。22 | 3.28 | 3。35 |
3。20 | 2。98 | 3.70 | 3。38 | 3。19 | 3。30 |
3.22 | 3。75 网络数字电视直播 | 3.28 | 3。30 | 3.20 | 3。05 |
3.50 | 3。38 | 3。35 | 3.30 | 3.29 | 3。33 |
2.95 | 3。45 | 3。20 | 3。34 | 3。35 | 3。27 |
3.16 | 3。48 | 3.12 | 3。28 | 3。16 | 3。28 |
3.20 | 3.18 | 3。25 | 段静莉 3。30 | 3。34 | 3。25 |
| | | | | |
构造两个总体方差比95%的置信区间.
解:(4。06,14.35)。
●13.根据以往的生产数据,某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间,若要求允许误差不超过4%,应抽取多大的样本?
解:已知总体比率=2%=0。02,由置信水平1—α=95%,得置信度=1.96,允许误差E≤ 4%
即由允许误差公式 E=整理得到样本容量n的计算公式:
n===≥=47。0596
由于计算结果大于47,故为保证使“≥"成立,至少应取48个单位的样本.
●14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验,标准差大约为120元,现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间,并要求允许误差不超过20元,应抽取多少个顾客作为样本?
解:已知总体标准差=120,由置信水平1-α=95%,得置信度=1。96,允许误差E≤ 20
即由允许误差公式 E=整理得到样本容量n的计算公式:
n=≥=138.2976
由于计算结果大于47,故为保证使“≥"成立,至少应取139个顾客作为样本。
15。假定两个总体的标准差分别为:,,若要求误差范围不超过5,相应的置信水平为95%,假定,估计两个总体均值之差时所需的样本容量为多大?
解: 57。
16.假定,允许误差,相应的置信水平为95%,估计两个总体比率之差时所需的样本容量为多大?
解: 769.