参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计讲义

内容介绍

本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.

金山毒霸6 内容讲解

引　言：
本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：
①分布中含有的未知参数θ；
②θ的函数；

③分布的各种特证数。

§ 7.1　点估计

1.点估计定义：设x1,x2,…xn是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…xn的统计量的取值作为θ的估计值，称为θ的点估计.

2.点估计的两种常用方法
（1）替换原理和矩法估计
① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.
② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：
用样本均值估计总体均值E（X），即；
用样本二阶中心矩估计总体方差，即；
用事件A的频率估计事件A的概率等.
例题1. P146
【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：
29.8　27.6　28.3　27.9　30.1　28.7　29.9　28.0　27.9　28.7
28.4　27.2　29.5　28.5　28.0　30.0　29.1　29.8　29.6　26.9
【答疑编号12070101】

（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计

设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk爱玛先声夺人）是未知参数或参数向量，x1,龚绮…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0<j<k），μj都存在。

（3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。
　

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例题2. P146
【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为

【答疑编号12070102】
这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
例题3. P147
【例7－3】设x1,…,xn是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ>0为未知参数。求θ的矩估计。
【答疑编号12070103】

矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。
小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。
（4）极大似然估计
设总体的概率函数为p（x,θ），，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，是参数θ的取值范围，x1,x2,…xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为，

则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得
，
则称为θ的极大似然估计.
例题4. P147

【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？
【答疑编号12070104】
解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。
例题在职攻读硕士5. P147
【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。
【答疑编号12070105】