杨跃
(结构工程灾变与控制教育部重点实验室<；哈尔滨工业大学>，哈尔滨150090)
(哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨150090)
提要：针对隐式极限状态方程且非线性程度较高时，响应面法求解可靠指标的误差大，而采用Monte Carlo抽样包括重要抽样方法，虽然精度高但计算效率低，对于结构有A限元分析进行抽样几乎不能实现的状况。本文提 出采用Kri ging插值技术建立极限状态超曲面的代理模型，在验算点处应用M onte Car lo重要抽样方法对代理 模型抽样进而求得结构的失效概率。结果表明：方法在隐式极限状态方程且非线性程度较高时精度良好，同时
较Mont e
Ca rl o抽样或重要抽样效率高。
关键词：Kri ging技术，Mo nte Carlo抽样，结构可靠度
一、引言
目前，可靠性分析中大多数方法如数值积分法和一次二阶矩法及其改进方法等都是针对功能函数为显式表
达的。而实际工程中，由于结构本身构造复杂，作用形式多种多样，往往人们关心的结构某种极限状态不能显
式表达，即为隐式功能函数，这一类问题，可采用Mo nte Ca rl o法结合有限元分析、响应面法及随机有限元进行
求解。其中，M on te C ar l o法虽然思路清晰、编程方便，但抽样次数过多，计算花费过大，不适于大型复杂结构
的可靠度分析；随机有限元法理论复杂，计算量较大，不便于实际应用；响应面法建立结构的输入(变量值)与输第七次全国人口普查结果公布
出(响应)的转换关系，思路清晰，便于实现，但以二次多项式拟合响应面，无法解决响应面的精度问题。对于线
性及二次的功能函数，响应面的计算结果是精确的；当功能函数非线性时，随机变量分布不对称且变异性较大
时，响应面的模拟精度就较差，同时，采用响应面结合可靠指标优化模型求得的可靠指标仅具有一阶精度，
故其应用受到一定的限制。因此，本文提出采用空间估值技术
——Kr{ging技术，代替响应面方法建立输入输出关系，提高模拟精度，并根据可靠指标优化模型求得验算
点及一阶可靠指标，最后采用M ont e Ca rl o重要抽样方法对已建的Kri gi ng模型进行抽样获得结构的失效概
索尼机芯率。
二、可靠指标的优化模型
Ha so fe r-Li n d可靠指标的定义：标准正态空间内，坐标原点到极限状态曲面的最短距离。因此，将求解一阶可靠指标问题转化为求解有约束条件的极小值问题。
首先将基本随机向量{x)={XI，五，，以)’转化为相互独立的标准正态随机向量{Y)：
{Y}=[T】{X}+{B} (1)
式中：T为随机变量转换矩阵；B为补充转换向量；则功能函数g({x))相应地转化成为G({Y})：
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棉纺织技术G({Y})=g(【T】1({Y}一{B}))=g({x))
可靠指标最终转化为约束优化模型：
鳓：min({Y}7{Y)y胆
．fg({XD=0
l置≥0i=1，2，，n
三、Kriging技术及在可靠度分析中的应用
(一)Krlgi ng基本原理Kri gin g技术是一项空间插值技术，起源于上个世纪50年代，由南非矿业工程师
D．G Krige提出的，
根据矿样等级的加权平均来估计整个矿体品位的经验方法。为了纪念这位先驱者，该项技术基础体系的奠
基人同时也是地质统计学开创者的法国C t Mathemn教授将这门技术用法文命名为“Krigeage'’，译成英文
就叫做‘'Kriging'“”。目前，Kriging一词己成为空间中利用在已知位置上的观测值进行最佳预测的同义词，
它有别于其它空间估计方法的最主要特点是在于对变量的空间相关性进行分析和利用，变量的空间相关性
越
好，那么用变量的观测数据去估计未观测处的数值误差就越小。本文所采用G au ss。Kri gi ng模型，是在多元线形回归模型的基础上，加了一项平稳G au ss随机过程，对
于一个标量值多维Kriging模型定义如下：
Y(x)=f。(x)D+z(x) (4)
f(x)=[Z(x)，五(x)，，Z(x)r(5)
p=[届，尼，，屈r(6)其中f(x)为完全已知的确定性的Kriging模型基函数，基函数的数目f也是已知的，p为对应的系数向量，未知，Z(x)是均值为0的Gauss随机过程，且
cov[Z(xf)，z(x埘=盯2R[r(xf，x，)]
其中，R是相关矩阵，它是n×”的对称正定矩阵，且对角线元素全为1，n表示试验点的数目；口2称
为过程方差，是待定变量；r(xf，x』)是试验点Xi和x，之间的相关函数，本文选用Gauss型相关函数，即：
佴x步exp[一∑“弦们
其中，#和x；表示试验点x，和x，的第露维分量，s表示试验变量的数目(即x的维数)；幺是待定系数，变量B和仃2的估计值e和毋2可由下两式计算
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6：(F7R一1F)-‘F7R一1Y(9)
子：：．(Y-FOZR-'(Y-FI])(10) F由各试验点的f向量所组成；随机过程的对数似然函数可写成
n In(6-2+LnIRl)
2
将(9)，(10)两式带入(11)，则式(11)仅是关于目的函数，其极值解即为ok，(七=1,2，，S)的极大似然估计。
这样Kriging模型完全确定。
(二)Kri gin g技术在可靠度分析中的应用Kr ig in g技术在可靠度中的应用具体通过以下步骤实现：将随
机变量
观潮教学实录
转化为标准正态随机变量，在标准
正态随机空间通过K r ig in g技术建立极限状态方程的代理模型，利用可靠指标优化模型得到验算点及一阶可靠指标，以下给出了具体的迭代步骤：
1．对各原始随机变量当量正态化，通过式(1)；
2．假定随机变量初值(中心点){y}。=(y,．o，号，，砰)，一般取均值点；
3．利用Bucher&Bourgund[zl建议的内插方法或者中心复合设计方法，建立在中心点处的KrigiIlg模型；
4．利用式(3)求解验算点{y}叶和可靠指标砬，其中上标七表示迭代次数；
5．如果I惑一篪1I<￡(￡为收敛精度)，则停止迭代，否则用以下公式求得新的中心点
{y}M k={y}‘+({y}”一{y}‘)乏i器(12)
然后返回步骤3，以{y)乞为迭代点进行下一步迭代，直至收敛条件满足。
这样迭代得到的可靠指标仅具有一阶精度，当极限状态方程非线形程度较高时，误差较大。因此本文
研究提出，当得到验算点后，在验算点附近重新构建K ri g in g代理模型，然后通过对代理模型进行
Mo nt e Ca r lo重要抽样得到结构的失效概率，提高求解的精度。
四、Monte Carlo重要抽样
Monte C ar l o方法是结构可靠度分析最基本的方法之一，这种方法：F需进行复杂的数学运算，回避了
结构可靠度分析中可能遇到的数学困难。而是利用结构设计参数的随机率f征，通过随机抽样、统计分析
来确定结构的失效概率。M on te Ca r l o方法的精度依赖于结构的失效概率的大小和随机抽样的样本数。
本文在求得验算点的条件下，在标准正态空间内对采用K r ig in g技术构建的代理模型进行重要抽样求得
结构的失效概率。设{Y)=(X，艺，，‘)7为服从标准正态分布的随机l句量，其概率分布函数为F(y)，概
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率密度函数为f(Y)。由此随机向量表示的结构功能函数为
氮z=“(川U3)
这里Z表示由K ri gin g技术构建的功能函数的代理模型，由结构可靠度理论，结构失效的概率为数学课堂教学模式
，+∞，十∞
只=l H I(Z)f(y)dx=IⅡG(y)】厂(y)dY M(14)
其中，(-)为示性函数，表示为
f17<0
邶)2％z>o (”)
若根据厂(y)产生Ⅳ个随机样本向量，则失效概率弓的估计值弓为
弓=专姜耶(聊(16)为：弓：e掣m)dy：o(17)
其中￥为第i个样本向量。为达到提高抽样效率的目的，将式(14)表示
’J-。p(y)
其中P(Y1为引入重要抽样的概率密度函数。
若以p(y)进行随机抽样，则失效概率哆的估计值<；为
E=专射％学)㈣，
则巧的平均值和方差为
即=E《=弓(19)
司=专{I：紫妙一乎)=专{仁紫妙一巧}cz。，
在以p(．y)代替．厂(y)进行随机抽样时，P(Y)一定取得合适，否则仃。2降低不多甚至增大，达不到提高
抽样效率的目的。由于代理模型是在验算点附近构建的，构建代理模型时有一定的取值范围，因此在进行重要抽样时样本点必须在代理模型的范围内，本文采用文献【3】中提出的子域抽样方法使样本点满足要求。
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五、计算实例及分析
算例1141：首先以单变量高次曲线模型构建为例，比较K ri gi n g模型和响应面模型的精度问题。模型函数为：
9
y=厂(功=∑口如-900)‘卜1’
f=l
表1样本点信息
X
图1真实曲线、响应面模型及Krig ing模型结果比较
其中：a l=-659．23，a2=190．22，a3=-17．802，a4=0．82691，a5=一0．021885，a6=0．0003463，
a7=一3．2446x10。6，a8=1．6606x10一，a9=一3。5757x10一¨。
以表1中的五个样本点构建Kri gin g模型和二次响应面模型，图1为真实曲线、响应面模型及Krig ing模型曲线。在[922，942]内随机产生16个样本，计算两个模型的最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差及对应的相对误差，结果在表2中给出，从图l和表2可以看出Kri ging模型的精度明显高于响应面。对于单变量的情况，采用Kr ig ing技术构建的代理模型精度高于响应面，对于多变量的情况亦如此，因此，采用
Kriging技术构建极限状态方程精度必然提高。
表2响应面模型与Krig岖模型误差比较
算例2【5】：设极限状态方程可表示为：
Z=c+∑111【西(一’：)]=o
i=1
其中l(f=1，2，刀)为相互独立的标准正态随机变量，西为标准正态随机变量的累积分布函数，这里取n=5，c=23．4092，计算结构的失效概率。
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