§3 M/M/s排队模型
一、单服务台模型(即M/M/1/ / 或 M/M/1) 服务台数: 1;
系统容量: 无限;
国家公路网规划(2013年-2030年)
排队长度(客源): 无限;
服务规则: FCFS.
1. 队长的分布
设课堂内外高中版
为系统平稳后队长的概率分布, 则由 (1) , (累积服务率)
(2) (无客的概率)
(3) , (有客的概率)
及,和,, 并记
(服务强度, 一般)
可得
,
电信空间故有 ,
其中
.
因此 ,.
无客的概率: ,
至少有一客的概率服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率
如单位时间,, 遭遇昨天,则,即40%在忙.
2. 几个主要指标
(1) 系统中平均顾客数=平均队长
过渡时期(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长
.
可以证明(见第二版P328的注释)
在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即 密度分布函数:
分布函数:
于是得
(3) 在系统中顾客平均逗留时间
;
(4) 在队列中顾客平均等待时间
因为 逗留时间=等待时间+服务时间, 即
故, 从而得
另外还可得到(时间与空间关系):
和
这两个常称为Little公式.
各公式可记忆如下:
由和服务效率,
从逗留时间人体工程学在室内设计中的应用等待时间
队长排队队长或
还可导出关系
和
3. 服务机构的忙期和闲期分析
(1) 因为
忙期=至少一客的概率, 闲期=无客的概率
忙期时间长度/闲期时间长度=
(2) 因为
忙闲交替,次数平均平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=.
(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性
任闲时刻起,下一客到达间隔仍为负指数分布
平均闲期=下一客到达间隔
平均忙期=
即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.
例1 一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间 间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求
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