崔琛;沙正虎;李莉;王粒宾
【摘 要】针对图像过完备稀疏收缩去噪的阈值选取问题,根据图像的常规稀疏模型,提出一种基于SURE无偏估计的自适应阈值选择算法.在一阶可导收缩函数的基础上,推导阈值选择的优化目标函数,证明该函数是关于阈值的凸函数,利用黄金分割法搜索其全局最小值.仿真结果表明,该算法选择的阈值接近峰值信噪比-阈值曲线的极大值点,将该算法应用于图像的块稀疏模型,可取得比常规稀疏模型更好的去噪效果.%Aimming at the choice of threshold under over-compeleted sparese shrinkage denoising of image, a new adaptive threshold selection algorithm is investigated over image normal sparse model based on SURE agonic estimation. Based on the one order derivable shrinkage function, the optimal objective function about threshold selection is derived and it is shown to be convex function on threshold, and then its global minimum is searched by golden section method. Simulation result shows that the choice of threshold is closer to the maxima of PSNR-threshold curve. The new algorithm is extended over image block sparisity model, and a better denoising result than normal sparse model is gotten. 【期刊名称】长春大学学报《计算机工程》
【年(卷),期】2012(038)023
【总页数】5页(P231-235)
【关键词】稀疏表示;块稀疏模型;收缩去噪;通用阈值;Minimaxi阈值;SURE无偏估计
【作 者】angola崔琛;沙正虎;李莉;王粒宾
【作者单位】安徽省电子制约技术重点实验室,合肥230037;电子工程学院信息工程系,合肥230037;电子工程学院信息工程系,合肥230037;中国人民解放军61541部队,北京100094;电子工程学院信息工程系,合肥230037
【正文语种】中 文
焊后热处理>华中理工大学出版社
【中图分类】TN911.73
吉林建筑工程学院设计院1 概述
图像在摄取或传输过程中极易受到噪声的污染，进而影响图像信息的提取，因此，在图像处理领域，保护信号与抑制噪声一直是图像预处理的热点问题。目前，图像去噪的方法主要在变换域进行，即首先对含噪图像进行某种变换，将其从空间域转换到变换域，随后再对变换域中的变换系数进行处理，之后进行逆变换将含噪图像从变换域再转换到原始空间域，以此来达到去除图像中噪声的目的。常见的变换基概括起来有正交集、紧框架及冗余字典3类。正交集主要由小波基构成，小波分析具有良好的时频局域分析能力，以及比傅里叶分析能更稀疏地表示点状奇异特性，但却不能最优表示含线或者面奇异特性；紧框架对应着相应的多尺度几何变换，表示线奇异或面奇异特性足够稀疏，但只是每种变换所对应的相应的特性是稀疏的；冗余字典代表图像的稀疏表示，正是冗余字典的这种冗余性恰能更好地刻画图像的各种奇异特性，而且这种表示具有自适应性，因此，在图像表示上具有极大的优势。
收缩是目前运用最为广泛的去噪方法，其最初是在小波变换基础上提出的[1]。小波收缩的主要思想是认为在小波域中，一些绝对值较小的不重要的小波系数中噪声占主要成分，应该加以消除或减少，而那些绝对值较大的重要的小波系数含有重要的信息应该予以保留。收缩的这种思想也同样适用于稀疏域。而稀疏表示在图像表示上的极大优势，使得稀疏收
缩去噪的研究显得格外必要。
收缩的关键在于确定收缩函数和选择阈值。收缩函数的确定，一般来说与图像的变换关系不大，可以说小波收缩框架下的收缩函数在稀疏收缩框架下也同样适用；另一点就是阈值的选择。目前的小波阈值选择方法可分为2类：一类无关小波系数分布，如Visu阈值、SureShrink阈值[2]、Minimaxi阈值[3]等，这一类阈值可以直接或重新推导后在稀疏收缩中加以应用；另一类则是假设小波系数的分布，如BayesShrink阈值[4]、Neigh阈值[5]等，由于稀疏分解后的系数很难再满足同样的分布，因此这类方法暂不可用。
针对以上问题，本文研究稀疏框架下收缩去噪问题，在图像常规稀疏模型下，提出一种基于SURE无偏估计的自适应阈值选择算法，推导稀疏收缩的SURE无偏估计目标函数，用黄金分割法搜索全局最小值点，对应的阈值即为自适应SURE阈值，并将其扩展到图像块稀疏模型中。
2 图像的稀疏模型
自 Mallat和 Zhang提出匹配追踪算法[6](Matching Pursuit, MP)以来，图像的稀疏表示理论
得到极大的发展，并取得了丰硕的成果，其基本思想是过完备字典取代传统中的正交基，字典的选择应尽可能地包含被表达图像所含有的特殊结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。
设像素大小的数字图像X，对应的含噪图像Y ，x∈Rn×1是其序列形式，y∈Rn×1是含噪图像序列，D∈R n×K(n ≪K)的标准化的过完备字典，噪声为加性高斯白噪声，根据贝叶斯最大后验概率(MAP)估计，图像的稀疏模型可建立如下：
其中，ε是误差因子；w是原图像的稀疏表示。如果将约束项转化成惩罚项，可以得到模型：
其中，µ称为惩罚因子，在给定合适µ条件下，两式是等价的，也统称为常规稀疏模型。业已证明，精确求解式(2)是一个 NP难题[6]。近些年研究人员提出多种有效的近似求解算法，主要可以概括为贪婪追踪和凸松弛[7]2类算法，常见的有匹配追踪、基追踪(Basis Pursuit, BP)等，可以很好地解决这一问题。
3 常规稀疏模型下基于SURE的稀疏收缩去噪
类似于传统的正交基和紧框架，在稀疏框架下，收缩同样要经过噪声信号的正变换、利用收缩函数对系数进行收缩处理和输出的系数的逆变换3个过程，不同的是用过完备字典取代传统的正交基或紧框架。整个过程如图1所示，可以采用下式表示：
其中，w是y的稀疏表示；λ表示阈值；Sλ(·)是收缩函数。
图1 稀疏框架下的收缩去噪框图
与多数传统去噪方法不同，稀疏收缩去噪不是将图像从频率上将信息和噪声分开，而是按是否是图像中的稀疏成分将图像中的信息与噪声分开，即先从图像中提取出图像的稀疏成分，然后按照一定的策略进行收缩，利用收缩后的稀疏成分重构图像[8]。
收缩的关键在于如何选择合适的收缩函数和收缩阈值。收缩函数的选择，Donoho提出2种常用的收缩函数：硬阈值函数和软阈值函数，但这2种函数导数都不连续，为使用SURE无偏估计阈值，本文采用如下高阶可导的收缩函数[9]：
其中，k表示偶常数。k取值越大，对应的曲线越接近硬阈值函数，而当k取 20时，收缩曲线实际上已经非常接近硬阈值。
而关于阈值λ的选择，本文采用SURE无偏估计准则进行推导。在高斯噪声模型下有[10]：
其中，h(u)表示算法估计子；∇表示散度。SURE是上述均方误差的无偏估计，表达式记为：
对于稀疏收缩去噪，由式(3)可令：
其中，tr[·]表示矩阵的迹；表示一个对角矩阵，其主对角元素分别为w在收缩函数微分上的投影。本文选用式(4)所示的收缩函数，则其一阶导数为：
将式(6)～式(9)代入式(5)，可以得到稀疏收缩的SURE无偏估计表达式：
兰州石化研究院上式是关于变量λ的隐函数，去噪的目的是使η()λ最小化。事实上，函数η()λ在区间(0,+∞)是一个关于λ的凸函数，存在唯一的全局最小值，下面进行简要的凸分析。
对式(10)进行拆分，则有：
代入式(10)，可以化简为：
此时，式中-2yTDw项为已知常数，可以舍弃，再进行展开可得：
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