克⾥⾦法是通过⼀组具有 z 值的分散点⽣成估计表⾯的⾼级地统计过程。与插值⼯具集中的其他插值⽅法不同，选择⽤于⽣成输出表⾯的最佳估算⽅法之前，有效使⽤⼯具涉及 z 值表⽰的现象的空间⾏为的交互研究。
什么是克⾥⾦法？
IDW（反距离加权法）和样条函数法插 值⼯具被称为确定性插值⽅法，因为这些⽅法直接基于周围的测量值或确定⽣成表⾯的平滑度的指定数学公式。第⼆类插值⽅法由地统计⽅法（如克⾥⾦法）组成， 该⽅法基于包含⾃相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。因此，地统计⽅法不仅具有产⽣预测表⾯的功能，⽽且能够对预测的确定性或准确性提供某种度 量。 克⾥⾦法假定采样点之间的距离或⽅向可以反映可⽤于说明表⾯变化的空间相关性。克⾥⾦法⼯ 具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进⾏拟合以确定每个位置的输出值。克⾥⾦法是⼀个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模 和创建表⾯，还包括研究⽅差表⾯。当您了解数据中存在空间相关距离或⽅向偏差后，便会认为克⾥⾦法是最适合的⽅法。该⽅法通常⽤在⼟壤科学和地质中。
克⾥⾦法公式
由于克⾥⾦法可对周围的测量值进⾏加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。这两种插值器的常⽤公式均由数据的加权总和组成：
其中：
Z(s i) = 第 i 个位置处的测量值
λi = 第 i 个位置处的测量值的未知权重
s0 = 预测位置
N = 测量值数
在反距离权重法中，权重 λi 仅取决于预测位置的距离。但是，使⽤克⾥⾦⽅法时，权重不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。要在权重中使⽤空间排列，必须量化空间⾃相关。因此，在普通克⾥⾦法中，权重 λi 取决于测量点、预测位置的距离和预测位置周围的测量值之间空间关系的拟合模型。以下部分将讨论如何使⽤常⽤克⾥⾦法公式创建预测表⾯地图和预测准确性地图。
党英杰使⽤克⾥⾦法创建预测表⾯地图
要使⽤克⾥⾦法插值⽅法进⾏预测，有两个任务是必需的：
到依存规则。
进⾏预测。
要实现这两个任务，克⾥⾦法需要经历⼀个两步过程：
黑龙江生态工程职业学院1. 创建变异函数和协⽅差函数以估算取决于⾃相关模型（拟合模型）的统计相关性（称为空间⾃相关）值。
2. 预测未知值（进⾏预测）。
由于这两个任务是不同的，因此可以确定克⾥⾦法使⽤了两次数据：第⼀次是估算数据的空间⾃相关，第⼆次是进⾏预测。
变异分析
拟合模型或空间建模也称为结构分析或变异分析。在测量点结构的空间建模中，以经验半变异函数的图形开始，针对以距离 h 分隔的所有位置对，通过以下⽅程进⾏计算：
Semivariogram(distance
h
) = 0.5 * average{(value
i
– value
j
}
2
]
该公式涉及到计算配对位置的差值平⽅。
下图显⽰了某个点（红⾊点）与所有其他测量位置的配对情况。会对每个测量点执⾏该过程。
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计算配对位置的差值平⽅
酿酒酵母通 常，各位置对的距离都是唯⼀的，并且存在许多点对。快速绘制所有配对则变得难以处理。并不绘制每个配对，⽽是将配对分组为各个步长条柱单元。例如，计算距 离⼤于 40 ⽶但⼩于 50 ⽶的所有点对的平均半⽅差。经验半变异函数是 y 轴上表⽰平均半变异函数值，x 轴上表⽰距离或步长的图（请参阅下图）。
经验半变异函数图⽰例
空 间⾃相关量化时采⽤以下地理的基本原则：距离较近的事物要⽐距离较远的事物更相似。因此，位置对的距离越近（在半变异函数云的 x 轴上最左侧），具有的值就应该越相似（在半变异函数云的 y 轴上较低处）。位置对的距离变得越远（在半变异函数云的 x 轴上向右移动），就应该变得越不同，差值的平⽅就会更⾼（在半变异函数云的 y 轴上向上移动）。
根据经验半变异函数拟合模型
下 ⼀步是根据组成经验半变异函数的点拟合模型。半变异函数建模是空间描述和空间预测之间的关键步骤。克⾥⾦法的主要应⽤是预测未采样位置处的属性值。经验半 变异函数可提供有关数据集的空间⾃相关的信息。但是，不提供所有可能的⽅向和距离的信息。因此，为确保克⾥⾦法预测的克⾥⾦法
⽅差为正值，根据经验半变异 函数拟合模型（即，连续函数或曲线）是很有必要的。该操作理论上类似于回归分析，在此回归分析中将根据数据点拟合连续线或曲线。
要 根据经验半变异函数拟合模型，则选择⽤作模型的函数（例如，开始时上升并在距离变⼤⽽超过某⼀范围后呈现⽔平状态的球⾯类型）（请参阅下⾯的球⾯模型⽰ 例）。经验半变异函数上的点与模型有⼀些偏差；⼀些点在模型曲线上⽅，⼀些点在模型曲线下⽅。但是，如果添加⼀个相应的距离，每个点都会在线上⽅，或者如 果添加另⼀个相应的距离，每个点都会在线下⽅，这两个距离值应该是相似的。有多种半变异函数模型可供选择。
半变异函数模型
克⾥⾦法⼯具提供了以下函数，可以从中选择⽤于经验半变异函数建模的函数：
圆
球⾯
指数
⾼斯
线性
所选模型会影响未知值的预测，尤其是当接近原点的曲线形状明显不同时。接近原点处的曲线越陡，最接近的相邻元素对预测的影响就越⼤。这样，输出曲⾯将更不平滑。每个模型都⽤于更准确地拟合不同种类的现象。
下图显⽰了两个常⽤模型并确定了函数的不同之处：
球⾯模型⽰例
该模型显⽰了空间⾃相关逐渐减⼩（等同于半⽅差的增加）到超出某个距离后⾃相关为零的过程。球⾯模型是最常⽤的模型之⼀。
球⾯模型⽰例
指数模型⽰例
该模型在空间⾃相关随距离的增加呈指数减⼩时应⽤。在这⾥，⾃相关仅会在⽆穷远处完全消失。指数模型也是常⽤模型。要选择使⽤哪个模型基于数据的空间⾃相关和数据现象的先验知识。
官学清指数模型⽰例
有关更多数学模型的信息，请参见。
了解半变异函数 - 变程、基台和块⾦
正如前⽂所述，半变异函数显⽰了测量样本点的空间⾃相关。由于地理的基本原则（距离越近的事物就越相似），通常，接近的测量点的差值平⽅⽐距离很远的测量点的差值平⽅⼩。各位置对经调整后进⾏绘制，然后模型根据这些位置进⾏拟合。通常使⽤变程、基台和块⾦描述这些模型。
变程和基台
查看半变异函数的模型时，您将注意到模型会在特定距离处呈现⽔平状态。模型⾸次呈现⽔平状态的距离称为变程。⽐该变程近的距离分隔的样本位置与空间⾃相关，⽽距离远于该变程的样本位置不与空间⾃相关。
变程、基台和块⾦的插图
半变异函数模型在变程处所获得的值（y 轴上的值）称为基台。偏基台等于基台减去块⾦。块⾦会在以下部分进⾏描述。
块⾦
从理论上讲，在零间距（例如，步长 = 0）处，半变异函数值是 0。但是，在⽆限⼩的间距处，半变异函数通常显⽰块⾦效应，即值⼤于0。如果半变异函数模型在 y 轴上的截距为 2，则块⾦为 2。
块 ⾦效应可以归因于测量误差或⼩于采样间隔距离处的空间变化源（或两者）。由于测量设备中存在固有误差，因此会出现测量误差。⾃然现象可随着⽐例范围变化⽽ 产⽣空间变化。⼩于样本距离的微刻度变化将表现为块⾦效应的⼀部分。收集数据之前，能够理解所关注的空间变化⽐例⾮常重要。
进⾏预测
出数据中的相关性或⾃相关性（请参阅上⾯的部分）并完成⾸次数据应⽤后（即，使⽤数据中的空间信息计算距离和执⾏空间⾃相关建模），您可以使⽤拟合的模型进⾏预测。此后，将撇开经验半变异函数。
现 在即可使⽤这些数据进⾏预测。与反距离权重法插值类似，克⾥⾦法通过周围的测量值⽣成权重来预测未测量位置。与反距离权重法插值相同，与未测量位置距离最 近的测量值受到的影响最⼤。但是，周围测量点的克⾥⾦法权重⽐反距离权重法权重更复杂⼀些。反距离权重法使⽤基于距离的简单算法，但是克⾥⾦法的权重取⾃ 通过查看数据的空间特性开发的半变异函数。要创建某现象的连续表⾯，将对研究区域（该区域基于半变异函数和附近测量值的空间排列）中的每个位置或单元中⼼ 进⾏预测。
克⾥⾦⽅法
有两种克⾥⾦⽅法：普通克⾥⾦法和泛克⾥⾦法。
普通克⾥⾦法是最普通和⼴泛使⽤的克⾥⾦⽅法，是⼀种默认⽅法。该⽅法假定恒定且未知的平均值。如果不能拿出科学根据进⾏反驳，这就是⼀个合理假设。
泛 克⾥⾦法假定数据中存在覆盖趋势，例如，可以通过确定性函数（多项式）建模的盛⾏风。该多项式会从原始测量点扣除，⾃相关会通过随机误差建模。通过随机误 差拟合模型后，在进⾏预测前，多项式会被添加回预测以得出有意义的结果。应该仅在您了解数据中存在某种趋势并能够提供科学判断描述泛克⾥⾦法时，才可使⽤ 该⽅法。
半变异函数图形
克⾥⾦法是⼀个复杂过程，需要的有关空间统计的知识⽐本主题中介绍的还要多。使⽤克⾥⾦法之前，您应对其基础知识全⾯理解并对使⽤该技术进⾏建模的数据的适宜性进⾏评估。如果没有充分理解该过程，强烈建议您查看本主题结尾列出的⼀些参考书⽬。
地址标准化克⾥⾦法基于地区化的变量理论，该理论假定 z 值表⽰的现象中的空间变化在整个表⾯就统计意义⽽⾔是⼀致的（例如，在表⾯的所有位置处均可观察到相同的变化图案）。该空间⼀致性假设对于地区
化的变量理论是⼗分重要的。
数学模型
下⾯是⽤于描述半⽅差的数学模型的常⽤形状和⽅程。
球⾯半⽅差模型插图
圆半⽅差模型插图
指数半⽅差模型插图
⾼斯半⽅差模型插图
线性半⽅差模型插图
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